Classes de Premières S1-S2 Année scolaire 2011-2012
Sens de variation - Fonction valeur absolue
I) Sens de variation d’une fonction
1) Définitions : Soitf une fonction définie sur un intervalle I. On dit quef est croissante sur I si, pour tous réelsaet bde I tels que :
Pour a≤b, on a :f(a)≤f(b).
On dit quef est décroissante sur I si, pour tous réelsaet bde I tels que : Pour a≤b, on a :f(a)≥f(b).
On dit quef est constante sur I si, pour tous réelsaetbde I, on a :f(a) =f(b).
Remarque : On dit quef est monotone sur I elle est croissante ou décroissante sur I.
2) Fonctions de référence :
Propriétés :a) Fonction affine :f(x) =ax+b, a et b des réels.
a>0,f est croissante surR a<0,f est décroissante surR. a=0,f est constante surR. Démonstration en exercice.
b) Fonction carrée :f(x) =x2
la fonction carrée est décroissante sur ]−∞;0].
la fonction carrée est croissante sur [0 ;+∞[.
c) Fonction inverse :f(x) = 1
x, définie surR∗ f est décroissante sur ]−∞;0[.
f est décroissante sur ]0 ;+∞[.
3) Fonction valeur absolue
a) Définition : Soitxun nombre réel, une droiteD muni d’un repère (O;−→ i ).
On considère le pointM de la droiteDd’abscisse x.
On appelle "valeur absolue" dexla distanceOM et on la note|x|.
La fonction "valeur absolue" est définie surRparf(x) =|x|.
b) Propriétés :
La valeur absolue d’un nombre réel est toujours un nombre positif ou nul.
Les valeurs absolues de deux réels opposés sont égales.
six≥0, alors|x|=xet six≤0, alors|x|=−x
La fonction valeur absolue est décroissante sur ]−∞;0] et croissante sur [0 ;+∞[.
c) Tableau de variation et courbe représentative :
x
|x|
−∞ 0 +∞
0 0
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Représentation graphique :La courbe de la fonction valeur absolue est formée par deux demi-droites d’origine O, situées au dessus de l’axe des abscisses.
II)Comparaison des fonctions de références :x,x2,√ x 1) Fonction racine carrée
La fonction racine carrée, notée√
xest définie sur [0 ;+∞[.
Propriétés :
La fonction racine carrée est strictement croissante sur [0 ;+∞[.
Tableau de variation :
x
√x
0 +∞
0 0 Représentation graphique :
Démonstration : La fonctionx7→ |x|est strictement croissante.
Sit a et b deux réels de [0 ;+∞[ tels que 0≤a < b.
On compare les réelsf(a) et f(b), pour cela on étudie le signe de :
f(b)−f(a) =
√ b−√
a
On multiplie et on divise par l’expression conjuguée de√ b−√
aqui est :√ b+√
a.
f(b)−f(a) =
√ b−√
a= (√ b−√
a)(√ b+√
√ a) b+√
a = b−a
√ b+√
a
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Comme 0≤a < b, on ab−a >0 en plus√ b−√
a >0 Donc on déduit quef(b)−f(a)>0, ainsi on a :f(a)< f(b).
La fonction est donc croissante.
2) Comparaison des réelsx,x2 et√ x: Propriété :
Si 0≤x≤1 alorsx2≤x≤√ x.
Six≥1 alors √
x≤x≤x2. Démonstration :
Si 0≤x≤1, on multiplie parx(qui est positif), on a alorsx2≤x.
En partant dex2≤x, en utilisant le fait que√
xest croissante, on a :√ x2≤x.
Comme√
x2=x, on en déduit quex≤√ x Ainsi on a pour 0≤x≤1 :x2≤x≤√
x
Si x≥1, on multiplie cette inégalité parx, on obtient :x≤x2. En tenant compte que √
xest croissante, on a :√ x≤√
x2=√ x.
Ainsi, pourx≥1 alors√
x≤x≤x2. Illustration graphique de cet encadrement :
x2enVert,xenRouge,√
xenBleu.
La position relative des trois courbes change selon l’intervalle [0 ;1] et [1 ;+∞]
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III) Opérations sur les fonctions 1)Fonctionu+ket λu
Définition :uétant une fonction définie sur un intervalle I,ketλdeux constantes réelles :
La fonctionu+kest définie sur I paru(x) +k.
La fonctionλuest définie sur I parλu(x).
2) Propriété : Sens de variation
Les fonctionsuetu+kont le même sens de variation sur I.
Siλ >0, les fonctionsuetλu ont le même sens de variation sur I.
Siλ <0, les fonctionsuetλu ont des sens de variations contraires sur I.
3) Fonction 1 u a) Définition :
Soituune fonction définie sur un intervalle I et ne s’annulant pas sur I, la fonction 1
u, appelée fonction inverse est définie sur I par : 1 u(x). b) Propriété :
Si u(x) garde le même signe sur I, alors les fonctions u et 1
u ont des sens de variations contraires sur I.
4) Fonction√ u:
Soituune fonction définie sur un intervalle I etu(x)≥0 sur I, la fonction√ u est définie sur I par :p
u(x).
Les fonctions uet √
uont le même sens de variation sur I.
5) Somme et produit de fonctions :
Soituet v deux fonctions définies sur un intervalle I.
La fonctionu+vest définie sur I par :u(x) +v(x).
La fonctionuxv est définie sur I par :u(x)xv(x).
Propriété :
La somme de deux fonctions croissantes sur I est croissante sur I.
La somme de deux fonctions décroissantes sur I est décroissante sur I.
Remarque : Siuet vont des sens de variations contraires, on ne peut rien dire pour leur somme.
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