Aix–Marseille Université -

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Mathématiques – L3 Calcul différentiel et optimisation

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Exercice 1 On définit surU =R²\ {(0,0)}la fonction :

f(x, y) =

x

x²+y², y x²+y²

.

Montrer quefest unC¹-difféomorphisme deU sur lui-même. Calculer les matrices jacobiennes de f et def⁻¹.

Exercice 2 Montrer que φ : R² → R² défini par φ(x, y) = (e^x −e^y, x+y) est un C¹- difféomorphisme deR²surR².

Exercice 3 Soitf :R²→R²définie parf(x, y) = (x+asiny, y+bsinx), oùaetbsont des réels vérifiant|ab|<1.

1. Démontrer quefest un difféomorphisme sur son image.

2. Démontrer quefest surjective. En déduire quefest un difféomorphisme deR²surR².

Exercice 4 Considérons les ouvertsΩ⊂R²et les applicationsf : Ω→R²suivantes :

(i) Ω =]0,1[², f(x, y) = (x+y, x−y), (ii) Ω =]−1,1[², f(x, y) = (x, y²),

(iii) Ω =R²\(0,0), f(x, y) = (x²−y²,2xy).

Pour chacun des couples ci-dessus, répondre aux questions suivantes.

1. Déterminer l’ensemble imagef(Ω).

2. Déterminer l’ensemble des points deΩen lesquelsf est un difféomorphisme local.

3. L’applicationf : Ω→f(Ω)est-elle un difféomorphisme global deΩsur son image ?

Exercice 5 Soitf :R²→Rdéfinie parf(x, y) = siny+xy⁴+x².

1. Montrer qu’il existe deux voisinagesU etV de0dansRainsi qu’une fonctionφ:U →R tels que pour toutx∈U,φ(x)est l’unique solutionydeV de l’équationf(x, y) = 0.

2. Donner un développement limité deφau voisinage de0à l’ordre 2.

Exercice 6 Montrer que l’équationz³+ 2z+e^z−x−y2 = cos(x−y+z)définit implicitement une fonctionz=φ(x, y)de classeC^∞, au voisinage de l’origine deR². Calculer les dérivées partielles deφen(0,0).

Exercice 7 On considère l’équationf(x, y) =x³+xy+y²e^x+y= 0. Posery=xzet exprimer l’équationf(x, y) = 0à l’aide des variablesxetz. Trouvery(x)de classeC^∞ au voisinage de0 telle quey(0) =y⁰(0)etf(x, y(x)) = 0. Calculery”(0).

Aix-Marseille Université 1 Mathématiques L3 – Calcul différentiel

Exercice 8 On considère dansR³l’ensembleCdes points(x, y, z)tels quex²−2y−2z= 0et 2x+y²+z²= 0.

1. Montrer queCest une courbe deR³et déterminer la tangente en chacun de ses points.

2. Soit(x0, y0, z0)un point deCtel quex0y06=−1. Montrer qu’il existe un voisinage ouvert U0dez0dansR, un voisinageV0de(x0, y0, z0)dansR³et des fonctionsφetψ:U0→R tels que :

(x, y, z)∈ C ∩V0⇔x=φ(z)ety=ψ(z).

Calculerφ⁰(z)etψ⁰(z)en fonction dex, yetz.

Exercice 9

1. Montrer que le paraboloïde deR³défini parx²+y²−z²=aest une sous-variété deR³si a >0. Quel est l’espace tangent à ce paraboloïde au point(√

a,0,0)?

2. Pourquoi l’équationx²+y²−z²= 0ne définit-elle pas une sous-variété deR³?

Exercice 10 SoitSa,b,c,(a, b, c)6= (0,0,0), le sous-ensemble deR³d’équationax²+by²+cz²= 1et soitSle sous-ensemble deR³d’équationxyz= 1.

1. Montrer queSa,b,cetSsont des surfaces deR³.

2. Déterminer la condition pour queSa,b,c etS se coupent à angle droit et préciser en quels points.

Exercice 11 Déterminer les points où les surfaces de niveaux²+ 3y²+ 2z²= C^teetx²+y²+ z²−8x−8y−6z= C^tesont tangentes.

Exercice 12 Soitf :R²→R, définie parf(x, y) = 2x³−y²+ 2xy+ 1. Déterminer les extrema locaux def sur la droitex+y= 1. Existe-t-il des extrema globaux ?

Exercice 13 Soitf : Rⁿ → R, définie par f(x₁, . . . , x_n) = Σⁿ_i=1x_iln(x_i). Déterminer les extrema locaux def sur l’hyperplanΣⁿ_i=1xi=a, aveca >0

Exercice 14 Déterminer les extrema de la fonctionf(x, y, z) = 5x+y−3zsur l’intersection du planx+y+z= 0avec la sphère unité deR³.

Exercice 15 Trouver le point du plan d’équation2x−y+z = 16le plus proche de l’origine de R³.

Exercice 16 Exprimer un nombreA >0sous la forme d’un produit de3réels de sorte que leur somme soit minimale.

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