Licence Physique et Sciences Physiques TD 5 : mécanique quan6que

Licence Physique et Sciences Physiques

TD 5 : mécanique quan6que

Système à 2 niveaux

(P. Ruello)

H u

= ! ω ^u

H u

= 2 ! ω ^u

A u

= a u

A u

= a u

L’opérateur A est un opérateur de couplage. Il couple les états u₁ et u₂.

Energie

u

u

! ω 2 ! ω

A

u

u

Exemple : transi6on entre deux niveaux

u

u

e-

L’opérateur A peut par exemple correspondre à une interac6on

électrosta6que (E=champ électrique). L’opérateur A peut être associé à une énergie électrosta6que W qui est propor6onnelle à x

A ˆ = x ˆ

( W = − eEx )

e-

u₂ u₁ = 0 u₂ A u₁ ≠ 0

(cas de H₂⁺ par

exemple)

Avec les mains …

u₂ u₁ = 0 u₂ A u₁ ≠ 0 u₁ A u₂ ≠ 0

Dire que revient à considérer en quelque sorte que l’opérateur A « déforme » l’orbitale 1 et que du coup l’état obtenu est une nouvelle fonc6on d’onde qui « possède un caractère de l’état 2 ». Il y a donc recouvrement possible. S’il y a recouvrement, la par6cule peut donc « passer » sur cet état 2.

u₂ A u₁ ≠ 0

A u₁ = a u₂

Exemple Non-recouvrement entre les orbitale s et p

ψ_s ψ_p =

∫

Avec l’effet de l’opérateur x (ou r à 3D), le recouvrement devient possible : on dit qu’une transi6on est possible.

(programme Master 1&2)

ψ_s ψ_p =

∫

ψ_p ψ_s

Fonc6on x ψ_p

Ques6on 1

H = m n q r

⎡

⎣

⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥

H u

= m n q r

⎡

⎣

⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥

1 0

⎡

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥ = m q

⎡

⎣

⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ = ! ω ^u

= ! ω ¹ 0

⎡

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥ m = ! ω

q = 0

Ques6on 1

H u

= ! ω ⁿ 0 r

⎡

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥ 0 1

⎡

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥ = n r

⎡

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥ = 2 ! ω ^u

n = 0

r = 2 ! ω

Au final

H = ! ω ⁰ 0 2 ! ω

⎡

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥

(u₁,u₂)

Ques6on 1

A = s t u v

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥

A u₁ = s t u v

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥ 1 0

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥= s u

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥= a u₂ = a 0 1

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥ s = 0

u = a

A u₂ = 0 t a v

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥ 0 1

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥= t v

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥= a u₁ = a 1 0

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥ t = a

v = 0

A = 0 a a 0

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥

Au final

Ques6on 2

•  Commutateur [H,A]

H, A

[ ]

0 2!ω

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥ 0 a a 0

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥− 0 a a 0

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥ !ω ⁰ 0 2!ω

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥

= 0 !ω^a 2!ω^{a 0}

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥− 0 2!ω^a

!ω^{a 0}

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥= 0 −!ω^a

!ω^{a 0}

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥ ≠ 0

H et A ne commutent pas, donc ils ne possèdent pas la même base de vecteurs propres

Ques6on 3

•  Valeurs propres de H ?

L’Hamiltonien H est diagonal donc les valeurs propres sont immédiates.

La base propre est u₁, u₂

Valeurs propres de A

H = ! ω ⁰ 0 2 ! ω

⎡

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥

det A − λ ^I =

− λ ^a

a − λ ^{= 0 ⇔} λ

= a

λ = ± a

•  Vecteurs propres de A

0 a a 0

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ α

β ^{= a}

α β a α = a β ⇔ α = β

ϕ

α ^u

+ α ^u

Normalisa6on

ϕ₁ ϕ₁ =1=_⎡⎣α ^{* u}₁ +α ^{* u}_{2 ⎤⎦⎡⎣}α ^u₁ +α ^u_{2 ⎤⎦}

2α² =1⇒α = 1 2 ϕ₁ = 1

2 u₁ + 1

2 u₂

•  Vecteurs propres de A

0 a a 0

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ α

β ^{= − a}

α β a α = − a β ⇔ α = − β

ϕ

α ^u

− α ^u

Normalisa6on

ϕ₂ ϕ₂ =1=_⎡⎣α ^{* u}₁ −α ^{* u}_{2 ⎤⎦⎡⎣}α ^u₁ −α ^u_{2 ⎤⎦}

2α² =1⇒ α = 1 2 ϕ₂ = 1

2 u₁ − 1

2 u₂

Ques6on 4

i ! ∂ Ψ

∂ t = H Ψ

Le système est préparé

dans un état mixte tel que : ψ^(t = 0 = 1

2 u₁ + 1

2 u₂

Comment va-t-il évoluer ?

Ψ (t ) = α ^{(t ) u}

+ β ^{(t ) u}

u

Ψ (t ) Ψ (t ) H Ψ (t ) Ψ (t ) A Ψ (t )

i!∂ Ψ

∂t = H Ψ

i!∂_⎡⎣α^{(t) u}₁ +β^{(t) u}_{2 ⎤⎦}

∂t = H _⎡⎣α^{(t) u}₁ +β^{(t) u}_{2 ⎤⎦}

i!∂ u_{1 ⎡⎣}α^{(t) u}₁ +β^{(t) u}_{2 ⎤⎦}

∂t = u₁ H_⎡⎣α^{(t) u}₁ +β^{(t) u}_{2 ⎤⎦}

i!∂α^(t)

∂t = u₁ Hα^{(t) u}₁ + u₁ Hβ^{(t) u}₂

=α^(t)!ω ^u₁ ^u₁ +β^(t)2!ω ^u₁ ^u₂ =α^(t)λ₁ +0 i!∂α^(t)

∂t =α^(t)!ω

On en déduit

que

α ^{(t )} = α

^e

Ψ (t ) = α

^e

^u

+ β

^e

^u

Avec un

raisonnement équivalent :

β ^{(t )} = β

^e

i!∂ u_{2 ⎡⎣}α^{(t) u}₁ + β^{(t) u}_{2 ⎤⎦}

∂t = u₂ H_⎡⎣α^{(t) u}₁ + β^{(t) u}_{2 ⎤⎦}

i!∂β^(t)

∂t = u₂ Hα^{(t) u}₁ + u₂ Hβ^{(t) u}₂

=α^(t)!ω ^u₂ ^u₁ +β^(t)2!ω ^u₂ ^u₂ = 0+β^(t)λ₂ i!∂β(t)

∂t = β^(t)2!ω

D’où : Au final :

Condi6ons ini6ales

A t=0, nous avons : ψ^(t = 0 = 1

2 u₁ + 1

2 u₂

Soit :

Ψ (t = 0) = α

^u

+ β

^u

Ainsi :

u

Ψ (t = 0) = u

_⎡⎣ α

^u

+ β

^u

_⎤⎦ = α

= 1 2

De même, nous avons :

u

Ψ (t = 0) = u

_⎡⎣ α

^u

+ β

^u

_⎤⎦ = β

= 1 2

Fonc6on d’onde générale :

Ψ (t ) = 1

2 e

u

+ 1

2 e

u

A faire

u

Ψ (t )

Ψ (t ) H Ψ (t ) Ψ (t ) A Ψ (t )

u

Ψ (0)

ϕ

Ψ (0)

ϕ

Ψ (0)

u₁ Ψ(0) = u₁ 1

2 u₁ ⁺ 1

2 u₂

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥= 1

2 u₁ u₁ + 0 = 1 2 u₁ Ψ(0) ² = 1

2

u

Ψ (0) = ?

Ceci traduit juste le fait que à t=0 le système a une chance sur 2 d’être dans l’état 1

ϕ₁ Ψ(0) = 1

2 u₁ + 1

2 u₂

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥ 1

2 u₁ + 1

2 u₂

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥= 1

2 + 1

2 =1

ϕ

Ψ (0) = ?

Ceci traduit juste le fait que à t=0 on a mis le système quan6que dans l’état ϕ₁, état propre de l’opérateur A.

ϕ

Ψ (0) = ?

ϕ₂ Ψ(0) = 1

2 u₁ − 1

2 u₂

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥ 1

2 u₁ + 1

2 u₂

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥= 1

2 − 1

2 = 0

Ceci traduit juste le fait que à t=0 on a mis le système quan6que dans l’état ϕ₁ et non dans l’état état ϕ₂.

u₁ Ψ(t) = u₁ 1

2 e^−iωt u₁ + 1

2 e^−2iωt u₂

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥= 1

2 e^−iωt u₁ u₁ + 1

2 e^−2iωt u₁ u₂

= 1

2 e^−iωt

u

Ψ (t ) = ?

Sachant que

Nous avons :

Ψ (t ) = 1

2 e

u

+ 1

2 e

u

u₁ Ψ(t) ² = 1

2 e^+iωt 1

2 e^−iωt = 1

2 Le système dans le temps aura une

probabilité constante d’être dans l’état u1.

Ψ (t ) H Ψ (t )

Par défini6on, ceje intégrale correspond à l’énergie

moyenne

Ψ(t) H Ψ(t) = 1

2 e^+iωt u₁ + 1

2 e^+2iωt u₂

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥H 1

2 e^−iωt u₁ + 1

2 e^−2iωt u₂

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥

= 1

2 e^+iωt u₁ + 1

2 e^+2iωt u₂

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥ 1

2 e^−iωtH u₁ + 1

2 e^−2iωtH u₂

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥

= 1

2 e^+iωt u₁ + 1

2 e^+2iωt u₂

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥ 1

2 e^−iωt!ω u₁ + 1

2 e^−2iωt2!ω u₂

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥

= 1

2!ω + 1

22!ω = 3 2!ω

Ceci traduit bien le résultat précédent, à savoir que le système a autant de chance d’être dans l’état u₁ que u₂, donc son énergie n’est qu’une moyenne entre ces 2 états.

Ψ (t ) A Ψ (t ) = ?

A u₁ = a u₂ A u₂ = a u₁

or

Ψ(t) A Ψ(t) = 1

2 e^+iωt u₁ + 1

2 e^+2iωt u₂

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥A 1

2 e^−iωt u₁ + 1

2 e^−2iωt u₂

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥

Donc :

Ψ(t) A Ψ(t) = 1

2 e^+iωt u₁ + 1

2 e^+2iωt u₂

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥ 1

2 e^−iωtA u₁ + 1

2 e^−2iωtA u₂

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥

= 1

2 e^+iωt u₁ + 1

2 e^+2iωt u₂

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥ 1

2 e^−iωta u₂ + 1

2 e^−2iωta u₁

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥

= a

2 e^−iωt + a

2 e^+iωt = acos(ω^t)

Ψ (t ) A Ψ (t ) = ?

Ψ(t) A Ψ(t) = acos(ω^t)

La valeur moyenne de l’opérateur A est une grandeur oscillante à la pulsa6on ω.

Elle oscille entre –a et +a.

Normal ! L’opérateur A est un opérateur qu’on appelle moment dipolaire (cas de l’interac6on dipolaire

électrosta6que… même raisonnement pour des dipôles magné6ques).

Comme notre système oscille entre les deux états, le moment dipolaire oscille entre les deux états également.

Dans le cas de la molécule H2+, ceje oscilla6on de la valeur moyenne de l’observable A correspond en fait aux allers-retours de l’électron entre les deux sites. Donc la polarisa6on

fluctue entre les deux valeurs.

e- dipôle p

dipôle p e-

+e +e

+e +e