1 Comp´ etition (bruy` ere vs herbac´ ees)
Enonc´ ´ e
On s’int´eresse dans cet exercice au mod`ele de G.W. Heil et R. Bobbink (1993) permettant d’´etudier le processus de comp´etition entre la fausse bruy`ere et deux esp`eces herbac´ees : la molinie bleue et la canche flexueuse.
La croissance est ramen´ee au calcul de la surface couverte par la callune d’une part (Sc) et par les deux herbac´ees d’autre part (Sh).
Le syst`eme d’´equations diff´erentielles gouvernant les deux types de surface est le suivant :
S˙c=r1Sck−Sc−ϕchSh
˙ k
Sh=r2Shk−Sh−ϕk hcSc Sc repr´esente le pourcentage de couverture par la callune, Shrepr´esente le pourcentage de couverture par les herbac´ees, r1 repr´esente le taux de croissance de la callune,
r2 repr´esente le taux de croissance des herbac´ees,
ϕch repr´esente le taux de substitution relatif de l’esp`ece herbac´ee par la callune, ϕhc repr´esente le taux de substitution relatif de la callune par l’esp`ece herbac´ee.
krepr´esente le pourcentage maximum de couverture (´egal `a 100).
1. Interpr´eter les ´equations. Pourquoi s’agit-il d’un mod`ele de comp´etition ? 2. Donner les quatre points d’´equilibre du syst`eme. Pr´eciser les conditions d’existence de ces points d’´equilibre dans le cadran positif (Sc >0,Sh>0).
3. Faire l’´etude de stabilit´e locale au voisinage de chacun des points d’´equilibre.
Pr´eciser leur nature. On consid`erera ici queϕch<1 et queϕhc<1.
4. Dessiner le portrait de phase du syst`eme dans le plan (Sc, Sh). Pr´eciser les isoclines nulles horizontales et verticales, ainsi que le sens des vecteurs vitesse sur chacune d’elles. Dessiner quelques trajectoires. Essayer de deviner la position des s´eparatrices (facultatif).
5. Pr´eciser ce qu’il se passe, pour les conditions initiales suivantes :
• Sc= 0 ; Sh>0 ;
• Sc>0 ;Sh= 0 ;
• Sc>0 ;Sh>0 ;
Donner une interpr´etation biologique dans chacun des cas.
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