Université Pierre et Marie Curie – Paris 6 Examen
LM216 Première session – Juin 2012
Avertissements :
– Appareils électroniques (y compris téléphones) et documents interdits.
– Les trois exercices sont indépendants.
– Les réponses doivent être justifiées et rédigées de manière rigoureuse.
– Si des résultats du cours sont utilisés, ils doivent clairement être énoncés.
Exercice I. Soientϕune fonction de classe C2 surRtelle queϕ(0) = 0, l’ensembleΩ =R2\{(0, y)|y∈R}, et la fonction f : Ω→Rdéfinie parf(x, y) = ϕ(xy)
x pour (x, y)∈Ω.
1. L’ensembleΩest-il ouvert ? fermé ? Montrer quef est C2 surΩ.
2. Écrire le développement limité deϕau voisinage de0 à l’ordre2.
3. En déduire que f se prolonge en une fonction continue sur R2, que l’on note encoref pour le reste de l’exercice. Quelle est l’expression de f(0, y), pour y∈R?
4. Calculer ∂f
∂x(x, y)et ∂f
∂y(x, y) pour(x, y)∈Ω.
5. Calculer ∂f
∂x(0, y) et ∂f
∂y(0, y)pour y∈R, si cela a un sens. La fonction f est-elleC1 surR2 ? 6. (a) Énoncer le théorème des fonctions implicites pour une fonction de deux variables.
(b) Dans cette question uniquement, on choisitϕ strictement croissante. Soit G la courbe d’équation f(x, y) = 1, supposée non vide. En quels points la courbeG peut-elle être vue localement comme le graphe d’une fonction dex à valeurs dansR ?
7. On choisitϕ(t) =t(t−1)2 pourt∈R. Déterminer l’ensemble des points critiques def surR2.
Exercice II. Le plan est rapporté au repère orthonormé usuelOxy. SoientAle point de coordonnées(a,0), où a >0,C le cercle de diamètre[O, A], etD le disque fermé de frontière C. On rappelle que siM ∈C\{O, A}, alors le triangle OM Aest rectangle en M.
1. Exprimer les coordonnées(x, y)d’un point quelconque du plan, en coordonnées polaires(r, θ). Rappeler le calcul du jacobien de ce changement de coordonnées.
2. Écrire l’équation en coordonnées polaires deC, donnant la coordonnée radialer =OM en fonction de la coordonnée angulaireθ. Dans quel intervalle θvarie-t-il ?
3. En déduire une description deD en termes de θetr.
4. En utilisant la question précédente, calculer Z Z
D
pa2−x2−y2dxdy.
Exercice III. Soient U~ ∈ C1(R2;R2) un champ de vecteurs, de composantes U1 et U2, et Γ un arc orienté de classe C1. On rappelle que la circulation de U~ le long de l’arc orienté Γ est donnée par circ(U~; Γ) = Z
Γ
U1(x, y)dx+U2(x, y)dy.
1. Soientγ : [a, b]→R2,µ: [c, d]→R2 deux paramétrages de l’arc orientéΓ. Montrer que Z b
a
U~(γ(t))·γ0(t)dt= Z d
c
U~(µ(z))·µ0(z)dz (question de cours).
2. Dans la suite de l’exercice, on suppose que U~ dérive d’un potentiel : il existe une fonction f ∈C2(R2), appelée potentiel, telle queU~ =∇f. La valeur de ∂U2
∂x −∂U1
∂y dépend-elle deU~ ?
3. Pourt∈[a, b], calculer U~(γ(t))·γ0(t) à l’aide de f et de γ(t). On pourra utiliser la fonctionf◦γ. 4. En déduire la valeur decirc(U~; Γ) en fonction def,γ(a) etγ(b).
