DEUG premier semestre : algèbre linéaire
Serge Cohen
23 septembre 2004
Table des matières
1 Introduction 4
2 Résolution de systèmes linéaires 5
2.1 Système de m équations à n inconnues . . . 5
2.1.1 Rappels sur les systèmes m= 2, n= 2 . . . 5
2.1.2 Définitions et notations . . . 7
2.1.3 Exemples . . . 8
2.1.4 Systèmes homogènes . . . 11
2.2 Méthode du pivot de Gauss . . . 13
2.2.1 Transformations élémentaires . . . 13
2.2.2 Algorithme . . . 15
2.2.3 Applications . . . 17
3 Calcul matriciel 23 3.1 Opérations sur les matrices. . . 23
3.1.1 Ensemble des matrices . . . 23
3.1.2 Opérations. . . 25
Addition . . . 25
Multiplication par un réel . . . 26
Produit de deux matrices. . . 27
3.1.3 Matrices carrées . . . 31
Existence d’un élément neutre? . . . 31
Est-ce que l’ordre dans le produit est important ? . . . 32
Application : formule du binôme . . . 33
Inversibilité d’une matrice . . . 33
3.2 Matrices et systèmes linéaires . . . 35
3.2.1 Transformation de systèmes et matrices . . . 35
3.2.2 Rang, calcul d’inverse par le pivot de Gauss . . . 38
4 Espaces vectoriels 43 4.1 Structure vectorielle . . . 43
4.1.1 Vecteurs et géométrie . . . 43
Addition : règle du parallélogramme. . . 44
Multiplication par un réel . . . 45
4.1.2 Définition algébrique . . . 46
4.1.3 Exemples . . . 47
4.1.4 Propriétés élémentaires vraies pour tous les espaces vectoriels . . . 53
4.2 Systèmes générateurs, systèmes libres et bases . . . 55
4.2.1 Systèmes générateurs . . . 55
4.2.2 Systèmes libres . . . 56
4.2.3 Bases. . . 59
4.3 Sous-espaces vectoriels . . . 63
4.3.1 Définition, théorème de la base incomplète . . . 63
4.3.2 Exemples . . . 66
Exemples géométriques . . . 68
5 Applications linéaires 70 5.1 Applications linéaires et matrices . . . 70
5.1.1 Définition et exemples . . . 70
5.1.2 Matrice d’une application linéaire . . . 73
Changements de bases . . . 79
5.2 Retour aux sous-espaces vectoriels . . . 82
5.2.1 Noyaux et images . . . 82
5.2.2 Isomorphismes et dimension . . . 84
5.2.3 Dimension et applications linéaires . . . 87
Index 90
Chapitre 1 Introduction
Cette partie du polycopié de DEUG premier semestre présente l’algèbre linéaire. Cette théorie n’a normalement pas été abordée en terminale et à ce titre elle peut paraître difficile à un étudiant de DEUG. Pour faciliter sa compréhension nous avons choisi de partir d’une notion qui est en général bien assimilée au lycée : la résolution de systèmes linéaires. Ainsi le premier chapitre de ce cours rappellera la résolution des systèmes linéaires, puis on s’intéressera aux matrices pour résoudre ces systèmes. Cependant les matrices ne servent pas qu’à cela, et nous verrons dans les chapitres suivants sur les espaces vectoriels et les applications linéaires que ce sont en fait des outils très pratiques dans toute cette partie de l’algèbre.
Chapitre 2
Résolution de systèmes linéaires
2.1 Système de m équations à n inconnues
2.1.1 Rappels sur les systèmes m = 2, n = 2
On considère un système de deux équations linéaires à deux inconnues.
Nous supposerons que les coefficients sont réels, nous les noteronsa,b,c,a0,b0,c0. On cherche les réels x, y qui vérifient simultanément les deux équations sui- vantes.
(S)
ax + by =c a0x + b0y =c0.
(2.1) Plus que de résoudre le système, ce qui nous intéresse est de voir les différents types d’ensembles de solutions et d’essayer de ne pas oublier de cas particulier.
Il y a un premier cas courant oùab0−a0b6= 0,on obtient alors une solution
unique que l’on peut noter sous forme de couple
(x, y) =
cb0−c0b
ab0−a0b,ac0 −a0c ab0 −a0b
. Retrouver ce résultat en guise de révision !
Mais si ab0 −a0b = 0, l’ensemble des solutions peut ˆêtre très différent.
On peut en distinguer trois types que nous illustrerons par des exemples. La suite du cours montrera que ce sont les seuls types.
• Pas de solutions.
(S0)
x = 0 x = 1.
(2.2) Ici b=b0 = 0 et doncab0−a0b= 0.
• Une infinité de solutions dépendant d’un paramètre.
(Si)
x +y = 0 2x +2y = 0.
(2.3)
Ici encore ab0−a0b = 0, en fait la deuxièmes équation du système est la première multipliée par deux. Il suffit de choisir x = λ où λ est un réel quelconque et de prendre y = −λ. On appelle λ un paramètre et pour chaque valeur de λ on a une solution(λ,−λ) de(Si). En tout on a bien sûr une infinité de solutions.
• Une infinité de solutions dépendant de deux paramètres. Si dans le système (S),on prend tous les coefficients nuls
a=b=c=a0 =b0 =c0 = 0 on a bien sûrab0−a0b = 0. On peut choisir deux paramètresλ etµarbitrairement etx=λ ety=µ. Ici encore on a une infinité de solutions mais on a plus de choix pour les paramètres, c’est ce qui distingue ce cas du précédent.
Essayons de voir si ces remarques élémentaires s’étendent quand on a plus d’équations ou d’inconnues.
2.1.2 Définitions et notations
Le premier problème consiste à écrire le système avec des notations qui ne prennent pas trop de place. On notera les inconnues (x1, . . . , xn)sous forme d’une liste dennombres que l’on appellen-uplet. Et l’on présente le système
(S)
a11x1 +. . . +a1nxn =b1 a21x1 +. . . +a2nxn =b2 ... + ... + ... = ... am1x1 +. . . +amnxn =bm,
(2.4)
où l’on s’est donné m×n nombres réels aij et m nombres réels bi L’entier i indique la ligne à laquelle appartient le coefficient et varie entre 1 et m;
l’entier j,qui varie entre 1etn, indique la colonneoù apparaît le coefficient.
Ce sont des conventions, mais il faut les respecter.Une solution de (S)est la donnée dennombres(x1, . . . , xn)qui vérifient simultanément lesméquations du système (S). On montrera que, comme dans le cas des systèmes de deux équations à deux inconnues, l’ensemble des solutions de (S) peut prendre trois formes :
• pas de solution,
• une solution unique,
• une infinité de solutionsque l’on peut décrire au moyen depparamètres choisis arbitrairement, le nombre p étant un entier naturel non nul toujours inférieur ou égal à n et à m.
2.1.3 Exemples
Illustrons l’affirmation du paragraphe précédent par des exemples.
Exemple 2.1.1 Si m=n= 2 et que l’on considère le système :
x +y = 4 2x +2y = 6.
on est dans le premier cas et on n’a pas de solution.
Exemple 2.1.2 Si m=n= 2 et que l’on considère le système :
x +2y = 4 2x +2y = 6.
on est dans le deuxième cas et on a une solution unique {(x, y) = (2,1)}.
Exemple 2.1.3 Sim =n = 2et que l’on considère le système(Si)de (2.3):
x +y = 0 2x +2y = 0.
on est dans le troisième cas et p= 1.
Exemple 2.1.4 Si m = n = 2 et que l’on considère le système où a =b = c=a0 =b0 =c0 = 0, on est dans le troisième cas et p= 2.
Exemple 2.1.5 On veut résoudre le système à quatre inconnues :(x1, x2, x3, x4)
(S1)
x1 +x2 = 1 (L1) x2 +x3 = 1 (L2) x3 +x4 = 1 (L3) x1 +x4 = 1 (L4)
(2.5)
On va transformer le système(S1)en un système équivalent(S2) au sens de la définition suivante.
Définition 2.1.1 On dit que deux système linéaires (S) et (S0) ayant le même nombre d’inconnues sont équivalents s’ils ont le même ensemble de solutions.
Attentionil faut bien vérifier que l’on ne gagne ni ne perdde solution quand on transforme (S)en (S0).
Dans notre exemple, on a quatre équations donc m = 4. On peut rem- placer (L4)par (L4) à laquelle on ajoute (L2) et on retranche(L3)et (L1).
On obtient un système équivalent
(S2)
x1 + x2 = 1 (L1)
x2 + x3 = 1 (L2)
x3 + x4 = 1 (L3)
(x1+x4) + (x2+x3) − (x3+x4) − (x1+x2) = 1 + 1−1−1 (L04).
Après simplification nous avons
(S2)
x1 +x2 = 1 (L1) x2 +x3 = 1 (L2) x3 +x4 = 1 (L3)
0 = 2−2 (L4) + (L2)−(L3)−(L1) = (L04)
(2.6)
Le système (S2)a le même ensemble de solutions que
(S3)
x1 +x2 = 1 (L1)
x2 −x4 = 0 (L2)−(L3) = (L02) x3 +x4 = 1 (L3),
(2.7)
ou encore
(S4)
x1 +x4 = 1 (L1)−(L02) x2 −x4 = 0 (L02)
x3 +x4 = 1 (L3).
(2.8)
On en déduit que l’ensemble des solutions des systèmes(S1)à(S4)peut être décrit en fixant x4 =λ un paramètre réel arbitraire et que toutes les autres inconnues sont alors déterminées par ce choix. L’ensemble E des solutions est infini et E = {(1−λ, λ,1−λ, λ), pour tout λ réel}. On trouve donc ici p= 1.
On remarque qu’il n’y a pas une écriture unique de l’ensemble des solu- tions, on peut présenter les choses plus symétriquement
E ={(1
2 −µ,1
2+µ,1
2 −µ,1
2+µ),pour tout µ réel}.
Remarque 2.1.1 On peut éviter les petits points “. . .” dans l’écriture des systèmes en utilisant le symbole P
j=
qui veut dire que l’on ajoute tous les termes à droite de P
j=
, en faisant varier j de la valeur écrite en bas, à celle écrite en haut. Le système général (S) devient
(S)
n
P
j=1
a1jxj =b1 (1) ... ... ... ...
n
P
j=1
amjxj =bm (m),
(2.9)
ou encore pour i variant de 1 à m
n
P
j=1
aijxj =bi
2.1.4 Systèmes homogènes
Définition 2.1.2 Les m réels bi pour un système (S) sont appelés second membre du système. Un système linéaire est dithomogène si tous ses seconds membres sont nuls. On appelle système homogène associé à (S) le système (Sh) obtenu en remplaçant les bi par 0. Si (S) est donné par
n
P
j=1
aijxj = bi pour i variant de 1 à m, le système homogène associé (Sh) est donné par
n
P
j=1
aijxj = 0 pour i variant de 1 à m.
En fait les systèmes homogènes sont plus simples que les systèmes avec second membre pour deux raisons. Ils possèdent toujours la solution xj = 0 pour j = 1 à n, et quand on a deux solutions d’un système homogène on peut en construire une infinité d’autres en faisant des combinaisons linéaires.
Précisons cette notion dans la définition suivante.
Définition 2.1.3 Soientnetpdes entiers naturels. On appelle combinaison linéaire de p n-uplets
(A11, . . . , An1),(A12, . . . , An2), . . . ,(A1p, . . . , Anp) tout n-uplet de la forme
(λ1A11+· · ·+λpA1p, . . . , λ1An1+· · ·+λpAnp) où λ1, . . . , λp sont p réels arbitraires.
Exemple 2.1.6 (λx1+µx01, . . . , λxn+µx0n)est une combinaison linéaire des deux n-uplets (x1, . . . , xn) et (x01, . . . , x0n).
Exemple 2.1.7 Le couple ( ou 2-uplet) (x, y) est une combinaison linéaire de (1,0) et (0,1):
(x, y) = (1×x+ 0×y,0×x+ 1×y) pour tous x, y réels.
Proposition 2.1.1 • Len-uplet(0, . . . ,0)est toujours solution d’un sys- tème homogène.
• Si (x1, . . . , xn) et (x01, . . . , x0n) sont deux solutions d’un système homo- gène, alors toute combinaison linéaire de ces deux solutions est aussi une solution du système homogène.
Preuve
• Comme pour i variant de 1 à m,
n
P
j=1
aij × 0 = 0, (0, . . . ,0) est une solution d’un système homogène.
• Si
n
P
j=1
aijxj = 0 alors pour λ réel λ
n
P
j=1
aij(xj) =
n
P
j=1
aij(λxj) = 0. De même pour µ et le n-uplet (x01, . . . , x0n)donc
n
P
j=1
aij(λxj) +
n
P
j=1
aij(µx0j) =
n
P
j=1
aij(λxj+µx0j) = 0 pour i variant de 1 à m. La deuxième partie de la proposition est donc établie.
Proposition 2.1.2 Soit (x1, . . . , xn) une solution particulière du système (S). Pour que (x01, . . . , x0n) soit une solution de (S) il faut et il suffit que (x1−x01, . . . , xn−x0n) soit une solution du système homogène associé.
Preuve
Si pourivariant de 1 àm,
n
P
j=1
aijxj =bi,alors
n
P
j=1
aijx0j =bi,est équivalent à
n
P
j=1
aij(xj−x0j) = 0 pouri variant de 1 à m. Cela conclut la preuve.
Remarque 2.1.2 On peut exprimer cette proposition en disant que la solu- tion générale d’un système est égale à la somme d’une solution particulière de ce système et de la solution générale du système homogène associé.
2.2 Méthode du pivot de Gauss
2.2.1 Transformations élémentaires
Dans un premier temps nous allons simplifier l’écriture d’un système (S) en oubliant les inconnuesxi,les signes+et=. Nous obtenons ainsi un tableau de coefficients et une colonne pour lesquels les transformations en un système équivalent s’écrivent plus vite. Nous appellerons dans le chapitre suivant ces tableaux des matrices.
Le système (S) de (2.4), système avec m lignes et n colonnes (i.e. n inconnues) s’écrit.
a11 . . . a1n ... ... ... am1 . . . amn
b1
... bm
.
Donnons la liste des transformations élémentaires qui modifient un sys- tème (S) en un système équivalent.
• On notera Li ↔Lk la transformation qui échange la ligne i et la ligne k.
• On notera Li →λLi la transformation qui multiplie la i ème ligne par le réel λ6= 0.
• On notera Li → Li+Lk la transformation qui remplace la ligne i par la somme de la ligne i et la ligne k.
Remarque 2.2.1 Une transformation s’applique non seulement aux tableaux des coefficients mais aussi au second membre.
Exemple 2.2.1 Si on applique L1 ↔L2 au système
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1 2 3
on obtient
4 5 6 7 0 1 2 3 8 9 10 11
2 1 3
.
Preuve que le système transformé est équivalent au système initial
• Pour 1. l’ordre dans lequel on écrit les équations ne modifie pas l’en- semble des solutions.
• Pour 2. si (x1, . . . , xn)vérifie
n
P
j=1
aijxj =bi, alors pour toutλ,
λ
n
X
j=1
aijxj
!
=λbi,
et en distribuant on remarque que (x1, . . . , xn)est solution de
n
X
j=1
λaijxj =λbi.
Cela revient à dire que toute solution de (S) est aussi solution du système où l’on a appliqué la transformation Li → λLi. Attention il faut voir que toute solution du système transformé est aussi solution du
système initial pour s’assurer que les systèmes sont équivalents. Cela est immédiat car pour retrouver le système initial, il suffit d’appliquer la transformationLi →(1/λ)Li,ce qui explique le fait que l’on suppose λ6= 0.
• Pour 3. si (x1, . . . , xn) vérifie
n
P
j=1
aijxj = bi et
n
P
j=1
akjxk = bl, alors le n-uplet vérifie aussi
n
P
j=1
(aij+akj)xj =bi+bk. Donc une solution de(S) est aussi solution du système transformé par Li →Li+Lk.
Si (x1, . . . , xn) est solution du système transformé il vérifie
n
P
j=1
(aij + akj)xj =bi+bk
et
n
P
j=1
akjxj = bk. Donc par différence
n
P
j=1
aijxj = bi, qui est la ligne i du système initial.
Remarque 2.2.2 Par composition des transformations élémentaires on ob- tient d’autres transformations qui ne modifient pas l’ensemble des solutions.
Par exemple si l’on compose 2. et 3. on obtient une nouvelle transformation que nous noterons 4. et que l’on peut noter Li →Li+λLk avec λ6= 0.
2.2.2 Algorithme
Le but des transformations est de faire apparaître des 0 de manière à avoir un système le plus simple possible. Nous allons présenter l’algorithme de Gauss qui est une façon systématique de faire ces transformations. En revanche il n’est pas complètement évident, qu’à la fin de l’algorithme, le système soit plus simple à résoudre. Dans le prochain paragraphe, nous don- nerons un exemple pour nous en convaincre.
Soit un système
a11 . . . a1n ... ... am1 . . . amn
b1
... bm
.
Nous supposerons d’abord que a11 6= 0 (nous expliquerons ensuite que faire dans les autres cas). On veut que, mis à part a11, il ne reste plus que des 0dans la première colonne. Pour cela on utilise successivement les trans- formations : L2 →L2−aa21
11L1, L3 →L3−aa31
11L1, . . . , Lm →Lm−aam1
11L1. Le système
a11 . . . a1n
... ... am1 . . . amn
b1
... bm
.
devient
a11 a12 . . . a1n 0 a022 . . . a02n 0 a032 . . . a03n ... ... ... 0 a0m2 . . . a0mn
b1 b02 b03 ... b0m
.
Dans un deuxième temps on recommence avec la deuxième colonne. Sup- posons a022 6= 0, on ne touche pas à la première colonne en faisant les trans- formations L3 → L3 − aa0320
22
L2, . . . ,Lm →Lm−aam2
22L2. On obtient ainsi la
matrice
a11 a12 a13 . . . a1n 0 a022 a023 . . . a02n 0 0 a0033 . . . a003n ... ... ... ... 0 0 a00m3 . . . a00mn
b1 b02 b003 ... b00m
.
Les réels a11, a022, a0033, . . . s’appellent les pivots successifs. On itère le procédé dans les bons cas, jusqu’au dernier pivot qui est atteint quand on est soit sur la dernière ligne, soit sur la dernière colonne.
Exemple
Traitons maintenant le cas où un des pivots est nul. Supposons pour simplifier que le premier pivot a11 est nul.
• S’il existe un coefficient ai1 non nul au-dessous du pivot dans même la colonne on utiliseL1 ↔Li et l’on poursuit la méthode avec ce nouveau pivot.
• Si tous les coefficients au-dessous du pivot dans même la colonne sont nuls, on ne touche ni à la première ligne ni à la première colonne qui n’est composée que de 0 et on passe à la deuxième colonne en prenant comme pivot a12 si celui-ci n’est pas nul.
Exemples
2.2.3 Applications
Appliquons cette méthode à la résolution de systèmes.
Exemple 2.2.2 Le système
2x + y −z = 1 x − y +z = 2 4x + 3y +z = 3 est maintenant présenté
2 1 −1 1 −1 1
4 3 1
1 2 3
.
Dans l’algorithme, que nous avons présenté, on ne permute pas les colonnes (ce qui revient à échanger les inconnues (x, y, z)) pour éviter des confusions.
Mais on peut utiliser une transformation élémentaire sur les lignes en plus de l’algorithme de Gauss pour avoir un pivot plus agréable. Dans cet exemple L1 ↔L2 permet d’obtenir un pivot égal à1ce qui simplifie les divisions. On obtient après transformation
1 −1 1 2 1 −1
4 3 1
2 1 3
.
La première étape avec un pivota11= 1donneL2 →L2−2L1, L3 →L3−4L1 et le système devient
1 −1 1 0 3 −3 0 7 −3
2
−3
−5
.
Le deuxième pivot est a22= 3 et la transformationL3 →L3− 73L2 donne
1 −1 1 0 3 −3
0 0 4
2
−3 2
.
A cette étape, l’algorithme du pivot de Gauss proprement dit est terminé, mais pour résoudre le système, il est plus simple de multiplier toutes les lignes pour avoir des termes sur la diagonale égaux à 1. Faisons L2 →L2/3 et L3 →L3/4ce qui donne
1 −1 1 0 1 −1
0 0 1
2
−1 1/2
qui correspond au système
x −y +z = 2 y −z =−1
z = 1/2 qui admet une solution unique (1,−1/2,1/2).
Exemple 2.2.3 Soit
2x + y −z = 1 3x + 3y −z = 2
2x + 4y = 3
que l’on traduit en
2 1 −1 3 3 −1 2 4 0
1 2 3
.
Le premier pivot est2et on appliqueL2 →L2−32L1, L3 →L3−L1 pour obtenir
2 1 −1 0 3/2 1/2
0 3 1
1 1/2
2
.
Le deuxième pivot est 3/2 et on appliqueL3 →L3−2L2 pour obtenir
2 1 −1 0 3/2 1/2
0 0 0
1 1/2
1
.
On en déduit que le troisième pivot est nul, l’algorithme de Gauss est terminé et l’ensemble des solutions est vide à cause de la troisième ligne qui donne un équation sans solution.
Exemple 2.2.4 Soit le système
x1 +3x2 −2x3 +x4 +x5 = 1 x1 +3x2 −x3 +3x4 +2x5 = 3 x1 +3x2 −x3 +4x4 +4x5 = 4 que l’on traduit en
1 3 −2 1 1 1 3 −1 3 2 1 3 −1 4 4
1 3 4
.
Le premier pivot est1 et on applique L2 →L2−L1, L3 →L3 −L1 pour obtenir
1 3 −2 1 1 0 0 1 2 1 0 0 1 3 3
1 2 3
.
Le deuxième pivot est nul et la deuxième colonne au-dessous du pivot est nul. On doit donc chercher le pivot dans la troisième colonne et c’est un 1, on applique L3 →L3−L2 pour obtenir
1 3 −2 1 1 0 0 1 2 1 0 0 0 1 2
1 2 1
.
L’algorithme de Gauss est terminé, on constate que les pivots non nuls sont dans les colonnes 1, 3, 4. On va utiliser des combinaisons de lignes comme dans la méthode du pivot de Gauss pour qu’il ne restedans ces colonnesqu’un coefficient non nul égal à 1. Une fois ces opérations effectuées on exprimera les inconnues x1, x3, x4 qui correspondent aux colonnes des pivots grâce aux autres inconnues x2, x5. Supprimons d’abord le coefficient −2 en première ligne de la troisième colonne par la transformationL1 →L1+ 2L2,on obtient
1 3 0 5 3 0 0 1 2 1 0 0 0 1 2
5 2 1
.
Il nous faut ensuite annuler les coefficients 5et2de la quatrième colonne au moyen des transformations L1 →L1−5L3, etL2 →L2−2L3, pour obtenir
1 3 0 0 −7 0 0 1 0 −3 0 0 0 1 2
0 0 1
.
Le tableau est maintenant sous sa forme finale que l’on appelleraréduitedans la suite du cours et le système est
x1 +3x2 −7x5 = 0 x3 −3x5 = 0 x4 +2x5 = 1.
On pose x2 = λ, x5 = µ deux paramètres arbitraires (x−2 et x5 sont les inconnues des colonnes dans lesquelles on n’a pas pris de pivot) et on exprime les inconnues x1 = −3µ+ 7λ, x3 = 3λ, x4 = 1−2λ en utilisant ceux-ci. On constate sur cet exemple que le nombre de paramètres indépendants dont nous avons eu besoin est p= 2.
Exercices
Chapitre 3
Calcul matriciel
Lesmatricessont des tableaux de nombres. Cette notion est en particulier très utilisée en dehors des mathématiques en informatique et en physique.
Le début du cours introduit des notions d’opérations sur ces tableaux qui généralisent de manière très naturelle le calcul usuel sur les nombres tout au moins en ce qui concerne la multiplication d’une matrice par un réel et l’addition de deux matrices. Les choses sont beaucoup moins simples pour ce qui est de la multiplication des matrices entre elles. Nous établirons un lien avec les manipulations élémentaires sur les systèmes linéaires pour motiver cette opération.
3.1 Opérations sur les matrices
3.1.1 Ensemble des matrices
Commençons par fixer les notations pour ces tableaux que nous appelons matrices.
Définition 3.1.1 On noteM(m, n,R)l’ensemble des matrices à coefficients réels, à m lignes et n colonnes. Si Aappartient àM(m, n,R),
A=
a11 . . . a1n ... ... ... am1 . . . amn
est aussi notée A = (aij)1≤i≤m,1≤j≤n. On peut omettre les indices si toutes les matrices utilisées ont le même nombre de lignes et de colonnes.
Pendant ce semestre nous n’utiliserons que des matrices à coefficients réels.
Nous noterons donc leur ensemble M(m, n) mais il existe aussi des matrices à coefficients complexes.
Cas particuliers :
• si m= 1, on dit queA=
a1 . . . an
est une matrice ligne.
• si n= 1, B =
b1
... bm
est appelée matrice colonne.
• si m=n, on parle de matrice carrée.
Exemple 3.1.1 • (i−j)1≤i≤2,1≤j≤3 =
0 −1 −2 1 0 −1
• (0)1≤i≤3,1≤j≤2,=
0 0 0 0 0 0
la matrice nulle qui ne contient que des co- efficients nuls et qui admet une généralisation dans M(m, n) pour tout m, n. :
(0)1≤i≤m,1≤j≤n
où tous les coefficients sont nuls.
• I3 =
1 0 0 0 1 0 0 0 1
lamatrice identitédeM(3,3,R). Cette matrice admet
une généralisation pour tout entier n
In = (aij)1≤i≤n,1≤j≤n,
où aij = 0 si i 6= j et aii = 1 pour i variant de 1 à n. Autrement dit, la matrice In est carrée et possède des 1 sur la diagonale et des 0 en dehors de la diagonale.
3.1.2 Opérations
Addition
Lasomme de deux matricesAetB deM(m, n)est la matrice définie par la formule suivante :
A+B = (aij) + (bij)def= (aij +bij).
Autrement dit, on ajoute les coefficients qui ont la même position.
Exemple 3.1.2
1 2 3 4 5 6
+
2 3 4 5 6 7
=
3 5 7 9 11 13
.
On remarque que(0) la matrice nulle joue le même rôle que 0 dans R : Attention, on n’additionne que des matrices de même taille.
A+ (0) = (0) +A=A. (3.1) (0) est appeléélément neutre. D’autre part pour A, B, C ∈ M(m, n)
(A+B) +C=A+ (B+C); (3.2)
si A= (aij)et −A= (−aij)
A+ (−A) = (0); (3.3)
De plus, si A et B sont des matrices deM(m, n),
A+B =B+A. (3.4)
Définition 3.1.2 L’ensemble (M(m, n),+) muni de l’addition + est un groupe commutatif parce qu’il vérifie les propriétés (3.1) (existence d’un élé- ment neutre) (3.2) (associativité de l’opération) (3.3)(symétrie de l’opéra- tion)(3.4)(commutativité).
Preuve
Multiplication par un réel
Le produit d’une matrice A de M(m, n) par λ réel est la matrice notée λM définie par :
λ(aij)def= (λaij).
On vérifie facilement les propriétés suivantes :
1A=A (3.5)
λ(µA) = (λµ)A (3.6)
(λ+µ)A=λA+µA, (3.7)
et
λ(A+B) = λA+λB. (3.8)
En résumé le calcul sur (M(m, n),+, .)possède les mêmes règles de dévelop- pement et de factorisation que celui sur (R,+, .).
Produit de deux matrices
Définition 3.1.3 Leproduit d’une matriceA= (aij)1≤i≤m,1≤j≤ndeM(m, n) par une matriceB = (bij)1≤i≤n,1≤j≤p deM(n, p)est une matrice deM(m, p) définie par
C =AB= (cij)1≤i≤m,1≤j≤p
où
cij =ai1b1j+ai2b2j +. . .+ainbnj =
n
X
k=1
aikbkj. (3.9)
Remarque 3.1.1 On ne peut pas multiplier une matrice de M(3,4) avec une matrice de M(5,6) ! Il faut que les dimensions concordent !
Une méthode pratique de présentation des calculs :
. . . . . . . . ai1 ai2 . . . ain . . . . . . . .
=
... ... b1j ... ... ... b2j ... ... ... ... ... ... ... bnj ...
... . . ... ... ... ... ... ... ... cij ... ... ... ... ... . . ...
×
Exemple :
1 2 3 4 5 6
1 2
3 4
5 6
1 + 6 + 15 2 + 8 + 18 4 + 15 + 30 8 + 20 + 36
=
22 28 49 64
Exemple 3.1.1 SiA = (aij)1≤i≤m,1≤j≤n,etB =
b1
... bm
, X =
x1
... xn
,alors
AX =
a11 . . . a1n ... ... ... ... ... ... ... ... am1 . . . amn
x1
... ... xn
=
a11x1+. . .+a1nxn ...
...
am1x1+. . .+amnxn
donc l’équation AX = B pour des matrices est une manière compacte d’écrire le système linéaire général avec m équations et n inconnues :
(S)
a11x1 +. . . +a1nxn =b1 a21x1 +. . . +a2nxn =b2 ... + + ... = ... am1x1 +. . . +amnxn =bm.
(3.10)
Proposition 3.1.1 Le produit de matrices est associatif. Plus précisément si A∈ M(m, n), B ∈ M(n, p), C ∈ M(p, q) alors on a
(AB)C =A(BC) (3.11)
qui est une matrice de M(m, q).
Preuve
Le seul problème réside dans la manipulation des indices. AppelonsD= (dih) la matriceAB;le coefficient de laième ligne et de lahème colonne est donné par
dih=
n
X
k=1
aikbkh,
donc le coefficient de lai ème ligne,j ème colonne de(AB)C =E est donné par
p
X
h=1
dihchj =
p
X
h=1 n
X
k=1
aikbkh
!
chj (3.12)
=
p
X
h=1 n
X
k=1
aikbkhchj (3.13)
=eij. (3.14)
Calculons maintenant le coefficientkème ligne,jème colonne de D0 =BC = (d0kj) d0kj =
p
X
h=1
bkhchj,
le coefficient de la i ème ligne, j ème colonne de E0 = A(BC) = (e0ij) est obtenu en faisant :
e0ij =
n
X
k=1
aikd0kj (3.15)
=
n
X
k=1 p
X
h=1
bkhchj
!
(3.16)
=
n
X
k=1 p
X
h=1
aikbkhchj (3.17)
=
p
X
h=1 n
X
k=1
aikbkhchj (3.18)
d’où l’égalité que l’on appelle associativité.
Proposition 3.1.2 Le produit des matrices estdistributif par rapport à l’ad- dition. Plus précisément, si A et B sont des matrices de M(m, n) et C, D de M(n, p) alors
A(C+D) = AC+AD (3.19)
et
(A+B)C =AC+BC (3.20)
Preuve Soit E = A(C+D) = (ei,k). Le coefficient de la j ème ligne, k ème colonne de C+D est cj,k +dj,k donc le coefficient de la i ème ligne, k ème colonne de E est donné par
ei,k =
n
X
j=1
aij(cj,k +dj,k) (3.21)
=
n
X
j=1
(aijcj,k +aijdj,k) (3.22)
=
n
X
j=1
aijcj,k +
n
X
j=1
aijdj,k (3.23)
(3.24) qui est bien le coefficient de la i ème ligne, k ème colonne de AC+AD.
La preuve de la deuxième égalité est laissée en exercice.
3.1.3 Matrices carrées
Si on multiplie deux matrices de M(m, m), on trouve un élément de M(m, m), on dit que l’opération est interne. D’où plusieurs questions qui proviennent de la comparaison avec (R,×).
Existence d’un élément neutre? C’est l’équivalent dex×1 = 1×x=x.
Ici, on a la matrice Im ∈ M(m, m)qui n’a que des0sauf sur la diagonale où elle possède des 1.
Im =
1 0 . . . 0 0 1 . . . 0 ... ... ... ... 0 0 . . . 0 0 0 . . . 1
.
On vérifie que
ImA=AIm =A (3.25)
pour toute matrice A ∈ M(m, m)en utilisant les règles de la multiplication des matrices. On appelleImla matrice identité.Imest notée I quand la taille de la matrice est connue sans ambiguïté.
Est-ce que l’ordre dans le produit est important ?
En d’autres termes est-ce que (M(m, m),×) estcommutatif? Exemple 3.1.3 Si m≥2 Vérifiez que
1 0 0 2
1 1 0 1
=
1 1 0 2
(3.26)
et que
1 1 0 1
1 0 0 2
=
1 2 0 2
. (3.27)
Cet exemple suffit à montrer la proposition suivante.
Proposition 3.1.3 Le produit de matrices pour m ≥2 n’est pas une opéra- tion commutative (ou abélienne).
Remarque 3.1.2 (M(1,1),×) a les mêmes propriétés que (R,×), en par- ticulier il est commutatif.
Application : formule du binôme .
On dispose de la notion de puissance d’une matrice carrée Ak def= A×. . .×A
| {z }
kfois
. (3.28)
On rappelle également que :
Cnk = n!
k!(n−k)!.
La formule suivante dite du binôme de Newton est l’analogue de la formule de même nom connue pour les réels.
Proposition 3.1.4 ∀m ∈N, A∈ M(m, m)etB ∈ M(m, m),
si AB = BA
alors
(A+B)n =
n
X
k=0
CnkAkBn−k. (3.29) Preuve
L’hypothèse AB = BA permet d’utiliser les mêmes règles de calcul sur M(m, m) que dans R. Ainsi peut-on prouver cette formule comme on prou- vait la formule du binôme de Newton pour les réels, par exemple par récur- rence ou en utilisant un peu de dénombrement.
Inversibilité d’une matrice
Définition 3.1.4 On dit qu’une matrice carrée A de M(m, m) est inver- sible, s’il existe une matrice carrée de M(m, m) notée A−1 appelée inverse de A telle que
A−1A=AA−1 =Im
(oùIm est la matrice identité). L’ensemble des matrices inversibles deM(m, m,R) est noté GL(m,R).
Remarque 3.1.3 Dans le cas des matrices, on n’a pas besoin de vérifier les deux égalités A−1A=Im et AA−1 =Im (chacune impliquant l’autre).
Remarque 3.1.4 On ne peut pas inverser de matrices de M(m, n) si m6=n.
Remarque 3.1.5 Toute matrice n’est pas inversible : la matrice nulle (0) de M(m, m,R) n’a pas d’inverse car ∀A∈ M(m, m,R)
A(0) = (0)6=I.
C’est le même phénomène que le fait que 0n’a pas d’inverse dans(R,×). Ce qui est nouveau par rapport à l’ensemble des nombres réels c’est qu’il y a des matrices non nulles qui n’ont pas d’inverse. Par exemple N =
0 0 1 0
n’a pas d’inverse. En effet
0 0 1 0
×
0 0 1 0
=
0 0 0 0
.
Donc N2 = (0). Si on suppose qu’il existe un inverse P deN (raisonnement par l’absurde), P vérifie P N =I et donc
(P N)N =I×N
=N mais
(P N)N =P N2
=P(0)
= (0)
ce qui conduit à la contradiction N = (0) et l’on en déduit que N n’a pas d’inverse.
Remarque 3.1.6 Si A ∈ GL(n,R), l’inverse A−1 est unique. En effet si B, C sont deux inverses de A alors
B =B(AC) = (BA)C =C.
Remarque 3.1.7 Si A, B ∈GL(n,R), (AB)−1 =B−1A−1. Faire attention au changement dans l’ordre du produit. En effet
B−1A−1AB =B−1IB =B−1B =I ABB−1A−1 =AIA−1 =A−1A =I.
On peut résumer ce que l’on sait sur GL(n,R) dans le théorème suivant.
Théorème 3.1.1 Pour n ≥2, GL(n,R) est ungroupe non commutatif.
Si n = 1, GL(1,R) est un groupe mais il est commutatif. En fait, c’est un groupe très ressemblant au groupe des réels privés de 0 muni de la mul- tiplication usuelle.
3.2 Matrices et systèmes linéaires
3.2.1 Transformation de systèmes et matrices
On a remarqué que l’on peut écrire un système sous la forme matricielle AX =B.
On rappelle que deux système linéaires(S)et(S0)ayant le même nombre d’inconnues sont équivalents s’ils ont le même ensemble de solutions.
On va voir que pour un système présenté sous forme matricielle, la mul- tiplication de Aet deB par une matriceGinversible transforme un système (S) en un système équivalent.
Proposition 3.2.1 Soit A une matrice de M(m, n) et G une matrice de GL(m,R). Les systèmes(S)AX =B et(S0) (GA)X=GB sont équivalents.
Preuve SiX =
x1
... xn
est une solution de(S)alorsAX =B donc(GA)X=GB.
On ne perd pas de solution.
Si X =
x1
... xn
est une solution de (S0) alors (GA)X = GB. Comme G
est inversible,
AX = (G−1G)AX =G−1(GA)X
=G−1(GB) = (G−1G)B
=B
donc AX =B. On ne gagne pas de solutions.
Remarque 3.2.1 Un cas est particulièrement intéressant : Ainversible. On prend alors G=A−1, et l’on voit que le système AX =B est équivalent au système X = A−1B qui possède une unique solution, obtenue en faisant le
produit matriciel A−1B. Un système linéaire qui possède une solution unique est appelé système de Cramer.
Dans le premier chapitre, pour résoudre des systèmes linéaires, on a utilisé dans la méthode du pivot de Gauss, des transformations élémentaires. Nous allons interpréter ces transformations comme des produits de matrices.
L’intérêt de ces transformations est qu’elles transforment un système li- néaire en un système équivalent. La méthode du pivot de Gauss consiste à les utiliser de manière systématique pour obtenir l’ensemble des solutions d’un système linéaire.
Exemple 3.2.1 Supposons que l’on ait un système linéaire AX =B où la matrice A s’écrive
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
∈ M(3,4)
. Considérons la transformation τ qui échange la ligne 1et la ligne 2. Si l’on applique la transformation τ à la matrice identité I3 ∈ M(3,3) on obtient τ(I3)
I3 =
1 0 0 0 1 0 0 0 1
τ(I3) =
0 1 0 1 0 0 0 0 1
.
et la transformée de A que nous notons
τ(A) =
4 5 6 7 0 1 2 3 8 9 10 11
peut être obtenue comme le produit de la matrice τ(I3)A. Vérifier que
0 1 0 1 0 0 0 0 1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
=
4 5 6 7 0 1 2 3 8 9 10 11
.
En fait cet exemple est général et s’étend à toutes les transformations élémentaires.
Proposition 3.2.2 Soit un système linéaire présenté sous la formeAX =B avec A ∈ M(m, n) et τ une transformation élémentaire. Si τ transforme A en une matrice τ(A) et la matrice identité Im de GL(m,R) en τ(Im) alors
τ(A) =τ(Im)A.
3.2.2 Rang, calcul d’inverse par le pivot de Gauss
La méthode du pivot de Gauss vise à transformer un système en un sys- tème plus simple au moyen de transformations élémentaires. Encore faut-il savoir ce qu’on appelle un système simple et quand il faut arrêter les trans- formations. Vu sous forme matricielle le système AX = B est un système simple si la matrice A est réduite au sens de la définition suivante. Nous noterons min(m, n) le minimum dem et de n.
Définition 3.2.1 Une matrice R ∈ M(m, n) est dite réduite de rang r (0 ≤ r ≤ min(m, n)) si elle est obtenue à partir de la matrice identité Ir ∈ GL(r,R), d’une part en ajoutant m −r lignes de zéros en bas de la matrice, d’autre part en ajoutant entre les colonnes j et j+ 1 (pour j allant de 0 à n) un nombre quelconque de colonnes de la forme
X1
... Xk
... Xj
0 ... ... 0
j lignes
m−j lignes
où les Xk représentent des réels quelconques
La forme des matrices réduites est un peu lourde, donnons un exemple pour mieux comprendre la construction.
Exemple 3.2.2 Une matrice de M(5,10) réduite de rang 3 peut être de la forme
0 0 1 5 2 −3 0 2 0 −2 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
.
On est parti de
I3 =
1 0 0 0 1 0 0 0 1
.
On a ajouté 5−3 lignes de zéros en bas de la matrice et on a complété par 10− 3 colonnes. Sur l’exemple les deux premières colonnes ont été mises en premier d’où j = 0 et elles ne contiennent que des 0. En revanche les colonnes 4, 5, 6 correspondent à j = 1 et possèdent en première ligne un réel. De même la colonne 8 correspond à j = 2 et possède des réels au deux premières lignes. Enfin la colonne 10 correspond à j = 3.
Remarque 3.2.2 Une matrice réduite de rang 0 est la matrice nulle.
Théorème 3.2.1 Soit une matrice A de M(m, n). Il existe une matrice inversible G de GL(m,R) telle que GA soit une matrice réduite. Toutes les matrices GA obtenues de cette manière ont même rang.
Idée de preuve
On construit la matrice G comme un produit de matrices τ(Im) asso- ciées aux transformations élémentaires que l’on applique quand on résout le système AX =B par l’algorithme du pivot de Gauss.
Nous avons défini le rang d’une réduite de Gauss. Grâce au théorème 3.2.1, on peut définir le rang d’une matrice quelconque.
Définition 3.2.2 Nous dirons qu’une matrice A ∈ M(m, n) est de rang r si les matrices réduites associées dans le théorème 3.2.1 sont de rang r.
En particulier0≤r≤min(m, n).
Remarque 3.2.3 Le rang de A ∈ M(m, m) est m si une matrice réduite associée à A n’a pas de lignes nulles.
Remarque 3.2.4 la seule matrice réduite de M(m, m)de rangm est l’iden- tité.
On va envisager le cas particulier des matrices carrées pour lesquelles la situation est plus simple.
Théorème 3.2.2 Soit A une matrice de M(m, m) il y a équivalence entre les propriétés suivantes :
• A est inversible.
• Le rang de A est m.
• Pour toute matrice colonne B, le système AX = B a une solution unique.
Preuve
• Montrons que 1. ⇒3.
On a vu que siAest inversible la solution unique du système est donnée par X =A−1B.
• Montrons que 3. ⇒2.
En fait on démontre la contraposée c’est à dire que si 2. est faux alors 3. est faux.
Si le rang de A est strictement inférieur à m, la dernière ligne de A n’est composée que de 0, on suppose que G est une matrice inversible
du théorème 3.2.1 telle queGA=R. On considère
B =
0 0 ... 0 1
et essayons de résoudre le système AX =G−1B, celui ci est équivalent au sens de la définition 2.1.1 à
GAX =GG−1B ce qui revient à
RX =
0 0 ... 0 1
.
Or la dernière ligne de la matrice R est composée de0 et
. . . . ... ... ... . . . .
0 . . . 0
x1
... ... xm
=
. ... . 0
qui ne peut être égal à B, donc AX =G−1B n’a pas de solution.
• Montrons que 2.⇒1. Comme nous l’avons constaté dans la remarque3.2.4, la seule matrice réduite deM(m, m)de rangmest l’identité. On a donc GA=I d’où A=G−1 et la matrice A est inversible.
Exercices
