HX4 — Contrˆole 1993/02
Exercice 1
Q1 Soit p∈N∗ et a∈ R∗+. ´Etudiez les variations de la fonctionf : t > 07→ (p−1)t+ ap
tp−1, et montrez que f(t)>papour toutt >0.
◮Soient n∈N∗ et x1, x2, . . . , xn des r´eels strictement positifs. Notonsx= (x1, x2, . . . , xn),m(x) = 1 n
n
X
k=1
xk
etg(x) = n v u u t
n
Y
k=1
xk.
Q2 ´Etablissez g(x) 6 m(x) ; vous proc´ederez par r´ecurrence sur n, en utilisant l’in´egalit´e de Q1 avec t= n
v u u t
n
Y
k=1
xk, et un choix judicieux deaetp.
◮Notonsh(x) le r´eel d´efini par la relation 1 h(x) = 1
n
n
X
k=1
1 xk
. Q3 ´Etablissezh(x)6g(x).
◮u0,v0et w0 sont trois r´eels qui v´erifient 0< w06v06u0. Q4 Montrez que les relations de r´ecurrence
un+1= un+vn+wn
3 vn+1=√3
unvnwn
1 wn+1
= 1 3
³ 1 un
+ 1 vn
+ 1 wn
´
permettent de d´efinireffectivementtrois suites (un), (vn) et (wn) de r´eels strictement positifs.
Q5 ´Etablissez 0< wn6vn6un pour toutn∈N.
Q6 Montrez que les suites (un) et (wn) sont monotones, en pr´ecisant le sens de variation de chacune d’elles.
Q7 Montrez que les suites (un) et (wn) convergent.
Q8 Pourn∈N, ´etablissez l’´egalit´eun+1−wn+162
3(un−wn).
Q9 En d´eduire que les trois suites (un), (vn) et (wn) convergent vers la mˆeme limite.
Q10 Pour quelsn-upletsx= (x1, x2, . . . , xn) de r´eels strictement positifs a-t-on l’´egalit´eg(x) =m(x) ? Q11 Qu’en-est-il de l’´egalit´eh(x) =g(x) ?
Tournez S.V.P.
1
Exercice 2
◮⌊x⌋d´esigne la partie enti`ere du r´eel x; c’est l’unique relatif k v´erifiantk 6x < k+ 1. Les questions sont ind´ependantes.
Q1 Pourx∈Retp∈Z, ´etablissez la formule⌊x+p⌋=⌊x⌋+p.
Q2 Pour xet y r´eels, ´etablissez la formule ⌊x⌋+⌊y⌋+⌊x+y⌋6 ⌊2x⌋+⌊2y⌋. Vous commencerez par vous ramener au cas o`u xet y sont tous deux dans [0,1].
Q3 Soientn∈Zet m∈N∗. ´Etablissez la formule−j
−n m
k=jn+m−1 m
k.
Q4 R´epartissons nobjets dansptiroirs. Montrez que l’un au moins des tiroirs contient au plusjn p
kobjets ; et que l’un au moins des tiroirs contient au moins−j
−n p
kobjets.
Q5 Pourxr´eel etnnaturel non nul, ´etablissez la formule⌊nx⌋=
n−1
X
k=0
j x+k
n k
Exercice 3
◮Quelques rappels : pour 06p6n, µn
p
¶
= n!
p!(n−p)! = µ n
n−p
¶
; pour 0< p6n, p µn
p
¶
=n µn−1
p−1
¶
; pour 0< p < n,
µn p
¶
=
µn−1 p
¶ +
µn−1 p−1
¶
. Toute autre formule devra ˆetre justifi´ee.
Q1 PourpetqdansN, ´etablissez la relation
q
X
k=0
µp+k p
¶
=
µp+q+ 1 p+ 1
¶ .
Q2 Une urne contientn+ 1 jetons num´erot´es de 1 `an+ 1. Soientp∈[[0,n]] etk∈[[p, n]]. De combien de fa¸cons peut-on choisir dans cette urnep+ 1 jetons, si l’on exige que le plus grand num´ero choisi soit ´egal `ak+ 1 ? Retrouvez ainsi le r´esultat pr´ec´edent.
◮Un article intitul´ehhNote on internal mergingii, paru dansSoftware – Practice and Experience 2(1972), se termine par :
hhIt can be shown that the expected number of saved transfers. . . is given by the expression T =
n
X
r=0
rm−r−1Cm−n−1 mCn
[. . .] mCn is the symbol for the number of combinations ofm objects taken n at a time[. . .] The author is grateful to the referee for reducing a more complex equation for expected transfers saved to the form given here.ii
Q3 Traduisez le texte pr´ec´edent, y compris les coefficients binomiaux. Cette question est facultative pour celles et ceux qui n’ont jamais ´etudi´e l’anglais.
Q4 En ´ecrivant k = m−(m−k), ´etablissez la relation
n
X
k=0
k
µm−k−1 m−n−1
¶
= mA −(m−n)B, o`u A =
n
X
k=0
µm−k−1 m−n−1
¶
etB =
n
X
k=0
µm−k m−n
¶ .
Q5 En utilisant le r´esultat de Q1, simplifiez B, puisA.
Q6 Donnez alors une expressiontr`es simple deT. Q7 Quelles r´eflexions vous inspire cet exercice ?
[Contr^ole 1993/02] Compos´e le 7 mars 2008
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