Leçon 233

Universit´e Paris Sud Master 2 F.E.S.

Ann´ee 2020-2021 Pr´eparation `a l’agr´egation

Le¸con 233 : Analyse num´erique matricielle.

R´esolution approch´ee de syst`emes lin´eaires.

Recherche d’´el´ements propres. Exemples

Dans cet exercice, nous allons d´ecire une m´ethode it´erative de r´esolution de syst`eme lin´eaire qui s’appelle lam´ethode de Kaczmarz. On consid`ere l’espaceR^dmuni de sa structure euclidienne canonique. Pour toute matriceAPM_dpRq, on note~A~la norme deAsubordonn´ee `a la norme euclidienne.

1)Soit u PR^d un vecteur unitaire. Montrer que la matrice P de la projection orthogonale sur l’hyperplan Vectpuq^K s’´ecrit P “ Id´u^tu. V´erifier de plus que ~P~ “ 1 et que, pour tout xPR^dzVectpuq^K, on a }P x} ă }x}.

Soit A P GLdpRq et b P R^d. Soit ¯x P R^d la solution du syst`eme lin´eaire Ax “ b. Pour tout i P t1, . . . , du, on note <sup>t</sup>ai la i-i`eme ligne de A (ai P R^d est donc un vecteur colonne) et bi la i-i`eme composante deb, ainsi que

αi “ ai

}a_i} PR^d, βi “ bi

}a_i} PR, et l’hyperplan affine H_i “ txPR^d: xα_i, xy “β_iu “α_iβ_i`Vectpα_iq^K. 2)Montrer quetxu “¯ Ş_d

i“1Hi.

La m´ethode de Kaczmarz est une m´ethode it´erative de r´esolution du syst`eme lin´eaire Ax“b.

Partant dex₀ PR^d, on construit une suitepx_nqnPN de vecteurs de R^d comme suit :

— On projette orthogonalementx0 surH1, ce qui d´efinitx1;

— On projette orthogonalementx₁ surH₂, ce qui d´efinitx₂;

— On it`ere la proc´edure jusqu’`a projeterx_d´1 surH_d, ce qui d´efinit x_d.

— On recommence `a partir de xd (on projette xd surH1, etc...).

Pour tout i P t1, . . . , du, on note P_i “ Id´α^t_iα_i la matrice de projection orthogonale sur l’hyperplan vectoriel Vectpα_iq^K et on pose T “P_dP_d´1¨ ¨ ¨P₁.

3)Pour toutnPN, note noteεn“xn´x. Montrer que la suite¯ p}εn}qnPN converge.

4)Montrer que~T~ ă1.

5)En d´eduire que εnÑ0 puis conclure.

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