IUT Mesures Physiques, Vibrations et Ondes, 04–05 1
Calculatrice et feuille A4 manuscrite recto–verso autorisées.
De nombreuses questions sont indépendantes. Pour les questions dont le résultat est donné, il sera, bien-sûr, tenu le plus compte de la qualité de l’argumentation.
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Un fil de masse négligeable est tendu entre deux pointsA et B distants de 3`. On ne tient pas compte de la pesanteur. La tension du fil estT. On ne considérera que des écarts faibles, et chaque portion de fil sera considérée comme très proche de l’horizontale. Aux 1/3 et 2/3 de la longueur du fil, deux masses identiquesmsont accrochées, dont on étudie les oscillationstransversesdans un plan donné, qui est le plan de la figure. L’écart de la première masse par rapport à l’équilibre est repéré par son ordonnéey1 et celui de la seconde pary2.
0A 1 B
2
m
3
m
y1
y2
` ` `
FIG. 1 – Masses sur la corde. Les écarts par rapport à l’horizontale sont minimes, mais sont amplifiés pour la lisibilité de la figure.
1. Montrer que le déplacement de la première masse est régi par l’équation différentielle
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y1+ 2ω02y1 =ω02y2, (1) et indiquer l’expression deω0en fonction deT etm.
2. On impose à la deuxième masse un mouvementy2 =acos(Ωt). Quel est le mouvement de la première masse correspondant aux conditions initialesy1(0) =b,y˙1(0) = 0?
3. Les deux masses sontlibres.
– Écrire un système d’équations différentielles couplées régissant l’évolution dey1(t)ety2(t).
– Montrer que ce système se ramène par combinaisons linéaires à un système d’équations dé- couplées.
– Calculer les pulsations propresω1etω2en fonction deω0.
– Donner les expression de y1(t) et y2(t) si à t = 0, on a les conditions initialesy1(0) = b1, y2(0) =b2,y˙1(0) = 0ety˙2(0) = 0.
– Observera-t-on des battements ?
IUT Mesures Physiques, Vibrations et Ondes, 04–05 2
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On considère un puits vertical cylindrique de sectionS, très profond, rempli d’eau jusqu’au bord x = 0, qui est l’origine de la profondeurx. La qualité de l’eau à l’instant t et au pointx (elle ne dépend pas des autres coordonnées) est mesurée parn(x, t), le nombre de moles par unité de volume du seul polluant considéré.
L’expérience montre que si la concentration à l’instanttest plus forte enx0 qu’au pointxvoisin, une migration de polluant est observée, mesurée par un flux j, qui est le nombre de moles de polluant déplacées par unité de temps et unité de surface, proportionnel à la différencen(x0, t)− n(x, t)et inversement proportionnel à la distancex0−x, le facteur de proportionnalitéα(positif) caractérisant la mobilité du polluant dans l’eau. En passant à la limitex0 → x, on obtient la loi de Fick
j(x, t) =−α∂n(x, t)
∂x .
a) Décrire une loi analogue dans un autre domaine de physique.
b) Écrire le bilan de polluant pour la zone comprise entrexetx+ dx, pendant un intervalle de tempsdt, et montrer que l’évolution de la concentration est régie par une loi du type
a∂n(x, t)
∂t = ∂2n(x, t)
∂x2 , en donnant la valeur deaen fonction des données.
c) On cherche comment se généralise en profondeur (x >0) une concentration en surface n(0, t) =n0cos(ωt),
imposée par les conditions atmosphériques, et à cette fin, on considère une solution complexe de la forme
n(x, t) =Aexp(iωt) exp(kx).
CalculerA, et montrer quek2 =ia. Quelle est la solution physiquement acceptable pourk? d) En déduire la solutionréellen(x, t).
e) Quelles sont les différences majeures entre la propagation de cette onde de concentra- tion et la propagation d’une onde mécanique sur une corde, notamment en ce qui concerne la dépendance vis-à-vis de la pulsationω?
f) Comment serait transmis en profondeur un signal de surface n(0, t) =n0cos(ωt) +n00cos(ω0t), comprenant deux pulsations ?
