Séries
Contents
1 Le cas général 3
1.1 Convergence . . . 3
1.1.1 Dénition . . . 3
1.1.2 Restes . . . 3
1.1.3 Divergence grossière . . . 3
1.1.4 Exemples . . . 3
1.1.5 Linéarité . . . 3
1.2 Lien suite-série . . . 4
2 Séries numériques positives 4 2.1 Théorème de comparaison . . . 4
2.2 Règle de d'Alembert . . . 4
2.2.1 Théorème . . . 4
2.2.2 Démonstration . . . 4
2.2.3 Exemples . . . 5
2.3 Comparaison série-intégrale . . . 5
2.3.1 Lemme . . . 5
2.3.2 Théorème . . . 5
2.3.3 Un exemple . . . 5
2.4 Les séries de Riemann . . . 6
2.5 Exercice : les séries de Bertrand . . . 6
2.5.1 Exemples de séries de Bertrand . . . 6
2.5.2 Le cas général : nature de P 1 nα.lnβn . . . 6
2.6 Comparaison à n1. . . 6
2.7 La règle de Raabe-Duhamel . . . 7
3 Séries absolument convergentes 8 3.1 Dénition . . . 8
3.2 Théorème . . . 8
3.2.1 Remarque . . . 8
3.2.2 Dénition . . . 8
3.3 Exemple : la fonctionη . . . 8
3.4 Complément : le théorème du point xe . . . 8
4 Le critère des séries alternées 9 4.1 Les suites adjacentes . . . 9
4.2 Théorème . . . 9
4.3 Signe de la somme . . . 9
4.4 Majoration de la somme . . . 9
4.5 Exemple 1 . . . 10
4.6 Exemple 2 . . . 10
4.7 Exemple 3 . . . 10
4.8 Un contre-exemple . . . 10
5 Sommation des relations de comparaison, cas convergent 11 5.1 Théorème . . . 11
5.2 Exemple 1 . . . 11
5.3 Exemple 2 . . . 11
6 Sommation des relations de comparaison, cas divergent 12
6.1 Théorème . . . 12
6.2 Le lièvre et la tortue . . . 13
6.3 Un premier exemple . . . 13
6.4 Le lemme de Cesaro . . . 13
6.5 Variantes . . . 13
6.5.1 Un =n12 Pn k=1k.uk . . . 13
6.5.2 Un =np+11 Pn k=1kp.uk . . . 14
6.6 Application aux suites récurrentes . . . 14
6.6.1 un+1= ln (1 +un) . . . 14
6.6.2 un+1= sinun . . . 14
6.7 (an+ 2an+1)tend vers 0 . . . 14
6.8 21n Pn k=0 n k ak . . . 15
7 Un exemple de développement asymptotique 15 7.1 Rappel . . . 16
7.2 2e étape . . . 16
7.3 3e étape . . . 16
8 Complément : la transformation d'Abel : application àP bnsinnt 17 8.1 Calcul préliminaire . . . 17
8.2 La convergence deP bnsinnt . . . 17
8.3 Quand utiliser une transformation d'Abel ? . . . 17
8.3.1 Cas où(un)est de signe constant . . . 17
8.3.2 Cas où(un)n'est pas de signe constant . . . 18
9 Exercices sur les produits innis 18 9.1 pn=Qn k=0cos2ak . . . 18
9.2 pn=Qn k=0(1 +ak). . . 18
9.3 pn=Qn k=0(1−ak). . . 18
9.4 Un produit inni caché . . . 19
9.5 Généralisation àC . . . 19
1 Le cas général
F désigne un espace normé de dimension nie.
1.1 Convergence
1.1.1 Dénition Soit(un)∈FN; on note
sn =
n
X
k=0
uk
(sn)est appelée suite des sommes partielles de la sériePuk. On dit quePuk converge si la suite (sn)converge.
Dans ce cas on appelle somme de la série la limitesde(sn). On la note
s=
∞
X
k=0
uk
1.1.2 Restes
On suppose quePuk converge.
Soitp∈Nxé. On dénit rp=
∞
X
k=p+1
uk
comme la limite quandq tend vers+∞de la suite :
(tq) =
q
X
k=p+1
uk
q≥p+1
On remarque que
∀q > p, tq=sq−sp
ce qui prouve que(tq)q≥p+1 converge, et rp=s−sp Il en découle que(rp)p≥0 tend vers 0.
1.1.3 Divergence grossière Si la sérieP
uk converge, alors(un)tend vers 0.
Si(un)ne tend pas vers 0, on dit que la série diverge grossièrement.
Démonstration
∀n≥1, un=sn−sn−1 1.1.4 Exemples
Des exemples de séries divergentes dont le terme général tend vers 0 : -un= ln (n+ 1)−ln (n) = ln 1 +n1
-un=n1 1.1.5 Linéarité
L'ensemble des suites(un)∈FNtelles quePunconverge est un sous-espace vectorielC deFN.
L'application suivante est linéaire :
(un)∈C→
∞
X
k=0
uk
Corollaire
Que dire de la nature de la somme de deux séries ? De trois séries ?
1.2 Lien suite-série
Que dire de l'application suivanteT deFNdansFN T : (un)→(sn)
Réponse
T est un automorphisme d'espace vectoriel de FN.
L'application réciproque(sn)→(un)est dénie parun=sn−sn−1pour n≥1 etu0=s0.
Remarque
Soit(vn)∈FN ; la suite(vn)et la sérieP
vn−vn−1 sont de même nature.
2 Séries numériques positives
2.1 Théorème de comparaison
Soit(un)et(vn)des suites de réels positifs.
1) Si pour toutn,0≤un ≤vn, et siP
vnconverge, alorsP
unconverge.
2) Se généralise au cas où(un)est dominée par(vn). 3) Siun ∼vn, les deux séries sont de même nature.
Démonstration
Supposons(un)dominée par(vn):
∃M >0,∃n0,∀n≥n0,0≤un≤M.vn Notonssn=Pn
k=0uk et tn =Pn
k=0vk ; alors :
∀n≥n0,0≤sn≤sn0+M.
n
X
k=1+n0
vk
∀n≥n0,0≤sn≤sn0+M.tn
(sn)est donc croissante et majorée, donc converge.
2.2 Règle de d'Alembert
2.2.1 Théorème
Soit (un) une suite de réels strictement positifs ; on suppose que u
n+1
un
tend versL.
- si0≤L <1, la sériePun converge.
- siL >1, la sériePun diverge.
2.2.2 Démonstration
Cas où0≤L <1: on xe atel queL < a <1. A partir d'un certain rangp,0≤un+1u
n ≤a; d'où
∀n≥p,0≤un≤up.an−p=C.an
La série converge par comparaison à une série géométrique convergente.
Cas oùL >1: à partir d'un certain rangp,1≤uun+1
n ; d'où
∀n≥p, un ≥up>0 La série diverge grossièrement.
2.2.3 Exemples
2n
n! ; 2nn ; n1 ; n12 ; √1n!.
2.3 Comparaison série-intégrale
Ici, f est une fonction continue par morceaux et décroissante de R+dans R+.
2.3.1 Lemme
∀n≥1, f(n)≤ ˆ n
n−1
f ≤f(n−1) en sommant :
n
X
k=1
f(k)≤ ˆ n
0
f ≤
n−1
X
k=0
f(k)
ou ˆ n+1
1
f ≤
n
X
k=1
f(k)≤ ˆ n
0
f
Cas fréquent
Le cas oùf n'est pas continue en 0 : ˆ n+1
1
f ≤
n
X
k=1
f(k)≤f(1) + ˆ n
1
f
2.3.2 Théorème Pourn≥1, posons
an= ˆ n
n−1
f−f(n) = ˆ n
n−1
(f(t)−f(n)) dt
La sériePan converge.
Démonstration
∀n≥1,0≤an≤f(n−1)−f(n) Notonsun =f(n−1)−f(n)pour n≥1.
∀n≥1,
n
X
k=1
uk =f(0)−f(n)
DoncPun converge.
La sériePan converge donc par comparaison à une série positive con- vergente.
2.3.3 Un exemple
f(t) = 1t ; que vautAn =Pn k=2ak ? Réponse
An=
n
X
k=2
ak= lnn−
n
X
k=2
1 k
Remarque Soit
Hn=
n
X
k=1
1
k, γn=Hn−lnn
D'après le théorème,(γn)converge vers une limite qu'on noteγ (constante d'Euler).
2.4 Les séries de Riemann
Théorème P 1
nα converge si et seulement siα >1. Démonstration
Cas oùα >1:
sn≤1 + ˆ n
1
dt
tα ≤1 + 1 α−1 Cas oùα= 1:
sn≥ ˆ n
1
dt t = lnn
Cas oùα <1: se ramène au précédent, car n1 =o n1α .
2.5 Exercice : les séries de Bertrand
2.5.1 Exemples de séries de Bertrand
lnn
n3 , lnn2n, √n.1lnn, n.1lnn.
2.5.2 Le cas général : nature de P 1 nα.lnβn
Siα >1,Pun converge : un=o n1γ
, oùγ= 1+α2 Siα <1,la série diverge :
1
n =o(un)
Siα= 1, la série converge siβ >1, par comparaison à une intégrale.
2.6 Comparaison à
n1Exercice
Soit(un)une suite de réels positifs ; on suppose queun=o n1 Peut-on conclure queP .
un converge ? On suppose queP
un converge.
Peut-on conclure queun=o n1
? Réponse
Non pour les deux ; pour le premier : un= 1
nlnn
Pour le deuxième : un= n1 sinest une puissance de 2, 0 sinon.
u1= 1, u2=1
2, u4=1
4, u8=1 8...
(n.un)vaut 1 pour une innité de valeurs den, maisP
un converge.
Cas où (un) est décroissante On suppose queP
un converge et que (un)est décroissante ; montrer que un=o
1 n
Démonstration
Soitn≥2 ; soitp=pn=E n2.
sn−sp−1=
n
X
k=p
uk ≥(n−p+ 1)un≥n 2un≥0
Donc(n.un)tend vers 0 par encadrement.
2.7 La règle de Raabe-Duhamel
Exercice
Soit(un)une suite de réels strictement positifs. On suppose que un+1
un
= 1−α n+o
1 n
oùαest un réel.
Le critère de d'Alembert ne permet pas de connaître la nature dePun. Néanmoins
- Siα >1, la série converge.
- Siα <1, la série diverge.
Démonstration
Le critère de d'Alembert consiste à comparer à une série géométrique.
Ici, on compare à une série de Riemann.
Cas où α >1
On choisit un réelβ tel que
1< β < α On va comparerun à vn= n1β. On pose donc
wn =un
vn
=un.nβ
On calcule : wn+1
wn = un+1
un .
1 + 1 n
β
=
1−α n +o
1
n 1 + β
n+o 1
n
Donc wn+1
wn
= 1−α−β n +o
1 n
Donc(wn)est décroissante à partir d'un certain rangn0:
∀n≥n0, wn≤wn0 Soit
∀n≥n0,0≤un≤ C nβ Orβ >1, donc la sérieP
un converge.
Le casα <1 est analogue.
3 Séries absolument convergentes
3.1 Dénition
On dit que la sériePun est absolument convergente siP
kunkconverge.
3.2 Théorème
Toute série absolument convergente est convergente.
Démonstration
Dans le cas des séries de réels : analogue au cas des intégrales.
∀n≥0, un=u+n −u−n De plus :
∀n≥0,0≤u+n ≤ |un| DoncP
u+n converge par comparaison de séries positives.
De même,P
u−n converge.
Dans le cas général
On verra plus tard qu'on se ramène au cas des réels à l'aide d'une base de F.
3.2.1 Remarque
Ce théorème ne s'applique pas siF n'est pas de dimension nie.
3.2.2 Dénition
Une série convergente mais non absolument convergente est appelée semi- convergente.
Exemples P(−1)n
n ; P(−1)n n +n12
3.3 Exemple : la fonction η
On pose
η(x) =
∞
X
n=1
(−1)n−1 nx
La série est-elle absolument convergente ? Convergente ? Réponse
Absolument convergente six >1; convergente six >0. Pourx∈C, absolument convergente si Re(x)>1.
3.4 Complément : le théorème du point xe
On dit qu'une fonction est contractante si elle est lipschitzienne de rapport k <1.
SoitAun fermé deF ; soitf :A→Acontractante.
Alorsf possède un unique point xec ; de plus, toute suite récurrente dénie par
u0∈A, un+1=f(un) converge versc.
Démonstration
On montre facilement l'unicité du point xe.
Soitu0∈A ; on dénitun parun+1 =f(un); on montre aisément par récurrence surnque :
∀n≥0,kun+1−unk ≤knku1−u0k Par comparaison de séries positives,Pkun+1−unkconverge.
Donc P
un+1−un converge absolument, donc converge, ce qui signie exactement que(un)converge vers une limiteu∈F.
De plus,Aétant fermé dansF,u∈A.
Pour nir, f étant continue, (un) ne peut converger que vers un point xe def.
4 Le critère des séries alternées
4.1 Les suites adjacentes
Soit(un)une suite de réels croissante,(vn)une suite de réels décroissante.
On suppose que(un−vn)tend vers 0.
Alors(un)et (vn)convergent vers la même limite.
Démonstration
(un−vn) est croissante et tend vers 0, donc est négative ; (un) est donc majorée parv0.
4.2 Théorème
Soit(un)une suite de réels décroissante et convergeant vers 0.
Alors la sérieP
(−1)nun converge (c'est le critère des séries alternées).
Démonstration
(s2n)est décroissante,(s2n+1)est croissante, et la diérence tend vers 0.
Remarque
0≤u0−u1≤u0−u1+u2−u3≤...≤S≤...≤u0−u1+u2≤u0
4.3 Signe de la somme
S=P∞
n=0(−1)nun est positif.
Démonstration S≥s1=u0−u1≥0. Généralisation
Soit(un)n≥p une suite de réels décroissante et convergeant vers 0.
Alors la somme
S =
∞
X
n=p
(−1)nun
est du signe du premier terme : celui de(−1)p.
4.4 Majoration de la somme
SoitS=P∞
n=0(−1)nun ;0≤S ≤u0 ; en particulier :
|S| ≤u0
Généralisation
Soit(un)n≥p une suite de réels décroissante et convergeant vers 0.
Alors la somme
S =
∞
X
n=p
(−1)nun
est majorée par le premier terme : |S| ≤up.
4.5 Exemple 1
Nature deP (−1)n n+sinn ? Réponse
Converge d'après le TSA.
4.6 Exemple 2
Nature deP (−1)n n+5 sinn ? Réponse
(−1)n
n+ 5 sinn = (−1)n
n −5 (−1)n sinn n2 +o
1 n2
La série converge.
4.7 Exemple 3
Nature de
X (−1)n
√n+ (−1)n
Réponse
un = (−1)n
√n+ (−1)n =(−1)n
√n − 1 n+o
1 n
Comment conclure ?
un= (−1)n
√n −vn avec
vn ∼ 1 n
C'est donc la somme d'une série convergente et d'une série divergente.
4.8 Un contre-exemple
Trouver des suites(un)et(vn)équivalentes, telles queP
un etP
vn soient de natures diérentes.
Réponses
(−1)n
√n ∼ (−1)n
√n+ (−1)n (−1)n
√n ∼(−1)n
√n + 1 n
5 Sommation des relations de comparaison, cas convergent
5.1 Théorème
Soit(an)et(bn)deux suites de réels ou de complexes. On suppose -(bn)réelle positive à partir d'un certain rang.
-Pbn convergente.
-an=o(bn). On note
An=
∞
X
k=n
ak, Bn=
∞
X
k=n
bk
Dans ces conditions :
An=o(Bn)
De même sian∼bn, ou si(an)est dominée par(bn). Démonstration
Soitε >0 ; soitn0 tel que :
∀n≥n0,|an| ≤εbn Alors :
∀n≥n0,|An| ≤εBn Remarque
Convergence deP an ? Réponse
Pan converge car elle est absolument convergente.
5.2 Exemple 1
Trouver un équivalent de
un=
∞
X
k=n
1 k3+k√
k Réponse
Soit
vn =
∞
X
k=n
1 k3
un∼vn ; comment trouver un équivalent de(vn)? Par comparaison à une intégrale :
vn∼ 1 2.n2
5.3 Exemple 2
Trouver un équivalent de
tn=
∞
X
k=n
1 k!
Réponse
On vérie facilement que uk= 1
k! ∼ 1
k!− 1
(k+ 1)! =vk
1 k!
est le terme général d'une série positive convergente.
On en déduit que
∞
X
k=n
uk ∼
∞
X
k=n
vk Conclusion :
tn ∼ 1 n!
Autre méthode
D'après l'inégalité de Taylor-Lagrange appliquée à la fonction exponentielle sur[0,1]:
tn+1=
e−
n
X
k=0
1 k!
≤ e (n+ 1)!
Donctn+1=o n!1; donc
tn= 1
n!+tn+1= 1 n!+o
1 n!
Conclusion :
tn ∼ 1 n!
6 Sommation des relations de comparaison, cas divergent
6.1 Théorème
Soit(an)et(bn)deux suites de réels ou de complexes. On suppose -(bn)réelle positive à partir d'un certain rang.
- la sériePbn divergente.
-an=o(bn). On note
An=
n
X
k=0
ak, Bn=
n
X
k=0
bk AlorsAn =o(Bn).
De même sian∼bn, ou si(an)est dominée par(bn). Démonstration
Soitε >0 ; soitn0 tel que :
∀n≥n0,|an| ≤ ε 2bn Soitn≥n0 :
|An| ≤ |An0|+ε
2(Bn−Bn0) =C+ε 2Bn
D'où |ABnn|≤ BC
n+ε2 ; pour conclure... ?
∃n1≥n0,∀n≥n1, |An| B ≤ε
6.2 Le lièvre et la tortue
Ici,an= 1n : la tortue opiniâtre, etbn= (−1)n : le lièvre inconstant.
Que sontAn etBn ? Quelle est la morale ?
6.3 Un premier exemple
On cherche un équivalent simple de
sn= 1! + 2! +...+n!
Méthode élémentaire
∀n≥2, n!≤sn≤n! + (n−1)! +n.(n−2)!
donc
∀n≥2,1≤ sn
n! ≤1 + 1 n+ 1
n−1 Avec le théorème
n!∼n!−(n−1)!; donc sn∼
n
X
k=1
k!−(k−1)! =n!−1 On retrouve
sn∼n!
6.4 Le lemme de Cesaro
Si(un)tend versa, alors
sn
n = 1 n
n
X
k=1
uk
tend versa. Démonstration Cas oùa= 0:
un=o(1), doncsn =o(n). Cas oùa∈C:
se ramène au cas précédent en écrivantun =a+vn aveclim
n vn= 0. Cas oùa= +∞:
1 =o(un), doncn=o(sn).
6.5 Variantes
6.5.1 Un =n12Pn k=1k.uk
Si(un)tend versa∈C, que dire de Un= 1
n2
n
X
k=1
k.uk
Réponse Cas oùa= 0:
k.uk=o(k), doncPn
k=1k.uk =o n2
, donclim
n Un= 0. Cas général :
On écritun=a+vn aveclim
n vn = 0. Alors Un= n(n+ 1)
2.n2 a+Vn
Dans tous les cas,(Un)converge vers a2.
6.5.2 Un =np+11
Pn
k=1kp.uk
On supposep >0 ; si(un)tend versa∈C, que dire de Un= 1
np+1
n
X
k=1
kp.uk
Réponse
Tout d'abord : n
X
k=1
kp∼ 1 p+ 1np+1 Se démontre à l'aide d'une somme de Riemann :
1 p+ 1 =
ˆ 1 0
tpdt= lim
n
1 n
n
X
k=1
k n
p
De manière analogue aux casp= 0oup= 1, on montre que limn Un = a
p+ 1
6.6 Application aux suites récurrentes
6.6.1 un+1= ln (1 +un)
On suppose0< u0; montrer que(un)tend vers 0.
Chercherα >0 tel que
1 uαn+1 −u1α
n
converge vers une limitea >0. Réponse
u−αn+1−u−αn = (ln (1 +un))−α−u−αn =
un−1
2u2n+o u2n −α
−u−αn =u−αn
1−1
2un+o(un) −α
−1
!
Donc
u−αn+1−u−αn =u−αn α
2un+o(un) On est conduit à choisirα= 1.
Alors :
1 un+1−u1
n
converge versa= 12 ; d'où 1
un ∼ n 2 Conclusion :
un∼ 2 n 6.6.2 un+1= sinun
On suppose0< u0< π ; Réponse
De manière analogue : α= 2;a= 13 ; d'où u12 n ∼ n3. Conclusion :
un ∼ r3
n
6.7 (a
n+ 2a
n+1) tend vers 0
Soit(an)une suite de réels ; soit
bn=an+ 2an+1
On suppose que(bn)tend vers 0.
Exprimer(a )en fonction de(b ), puis montrer que(a )tend vers 0.
Démonstration
an = 1 2n
n−1
X
k=0
(−1)n−k+12k.bk+(−1)n 2n a0
de plus,2k.bk=o 2k...
6.8
21nP
n k=0n k
a
kSoit(an)une suite de réels ; soit bn= 1
2n
n
X
k=0
n k
ak
On suppose que(an)converge.
Montrer que(bn)converge vers la même limite.
Démonstration
On suppose que(an)converge vers 0.
Soitε >0; soit n0 tel que :
∀n≥n0,|an| ≤ ε 2 On découpe la somme en deux :
bn= 1 2n
n0
X
k=0
n k
ak+ 1 2n
n
X
k=1+n0
n k
ak
Que dire de
1 2n
n
X
k=1+n0
n k
ak
Réponse :
1 2n
n
X
k=1+n0
n k
ak
≤ ε 2 Que dire de
1 2n
n0
X
k=0
n k
ak
Réponse :
C'est 21nP(n), avecP polynôme de degré au plus n0. Donc tend vers 0 par croissances comparées.
Donc :
∃n1≥n0,∀n≥n1,
1 2n
n0
X
k=0
n k
ak
≤ε 2 Et :
∀n≥n1,|bn|= 1 2n
n
X
k=0
n k
ak
≤ε
Remarque
Ici, on ne peut pas utiliser le théorème de sommation des relations de com- paraison.
7 Un exemple de développement asymptotique
On étudie
Hn=
n
X
k=1
1 k
7.1 Rappel
Soitf(t) =1t ; pour n≥2, posons an=
ˆ n n−1
f −f(n) = ˆ n
n−1
(f(t)−f(n)) dt= lnn−ln (n−1)− 1 n Soit
sn=
n
X
k=2
ak= lnn−Hn+ 1
f étant décroissante à valeurs dansR+, on sait que la sériePan converge.
On en déduit que(lnn−Hn)converge : Hn = lnn+γ+o(1)
oùγ est une constante appelée constante d'Euler.
7.2 2e étape
On pose
Hn = lnn+γ+un
et on cherche à préciserun. On pose
vn=un−un−1 Etudiervn ; qu'en déduire pourun ?
Réponse
vn = 1
n+ ln (n−1)−lnn D'oùvn∼ −2n12.
Avec le théorème de sommation des relations de comparaison, cas con- vergent,
on en déduit que
un ∼ 1 2n
7.3 3e étape
On sait que
Hn= lnn+γ+ 1 2n +wn
avecwn=o 1n.
On posetn=wn−wn−1; on étudietn : tn ∼ 1
6n3 On en déduit que
wn ∼ − 1 12n2
Conclusion
Hn= lnn+γ+ 1 2n− 1
12n2 +o 1
n2
8 Complément : la transformation d'Abel : application à P
b
nsin nt
8.1 Calcul préliminaire
Simpier
gn(t) =
n
X
k=1
sinkt
Réponse
∀t∈R\2πZ,
n
X
k=0
eikt= ei(n+1)t−1
eit−1 =ei(n+1)2t
ei2t .ei(n+1)2t −e−i(n+1)2t ei2t −e−it2
∀t∈R\2πZ,
n
X
k=0
eikt =eint.sin (n+ 1)t2 sin2t D'où
∀t∈R\2πZ, gn(t) = sinnt
2.sin (n+ 1)2t sin2t Majoration
Soitt6∈2πZ.
∀n≥1,|gn(t)| ≤ 1 sin2t
majorant indépendant den.
8.2 La convergence de P
b
nsin nt
Hypothèse
Soit(bn)une suite décroissante et qui tend vers 0 ; soit t∈R.
Dans ce cas,Pbnsinntconverge.
Démonstration
Principe : on remplacesinktpargk(t)−gk−1(t).
n
X
k=1
bksinkt=
n
X
k=1
bk(gk(t)−gk−1(t)) =
n
X
k=1
(bk−bk+1)gk(t) +bn+1gn(t)
on montre ensuite que la sérieP
(bk−bk+1)gk(t)converge absolument.
8.3 Quand utiliser une transformation d'Abel ?
Pour étudier la nature d'une sériePun : - Est-ce-que(un)est bien dénie ? - Si oui, est-ce-que(un)tend vers 0 ? - Si oui est-elle de signe constant ?
8.3.1 Cas où(un)est de signe constant
Règle de d'Alembert, comparaison à une série de Riemann, comparaison à une intégrale,...
8.3.2 Cas où(un)n'est pas de signe constant Est-elle absolument convergente ?
- Si oui, elle est convergente
- Sinon, peut-on appliquer le critère des séries alternées ? - Sinon, peut-on calculer un développement limité ?
- Sinon, on peut peut-être envisager une transformation d'Abel...
9 Exercices sur les produits innis
9.1 p
n= Q
nk=0
cos
2akSoita∈ 0,π2
; soit
pn=
n
Y
k=0
cos a 2k
Montrer que(pn)converge, puis trouver sa limite.
Idée
Utilisercosx=2 sinsin 2xx ; Réponse
L= sin 2a 2a Remarque
La limite n'est pas nulle.
9.2 p
n= Q
nk=0
(1 + a
k)
Soit(an)une suite de réels positifs ; soit
pn =
n
Y
k=0
(1 +ak)
Montrer que(pn)converge si et seulement siPan converge.
Démonstration
Pan converge si et seulement siP
ln (1 +an)converge.
Peut-on dire que :
(pn)converge si et seulement si(lnpn)converge ?
9.3 p
n= Q
nk=0
(1 − a
k)
Soit(an)une suite de réels ; on suppose que :
∀n≥0,0≤an<1 Soit
pn =
n
Y
k=0
(1−ak) Montrer que(pn)converge vers une limite non nulle
si et seulement si Pan converge.
Remarque Un exemple est
pn=
n
Y
k=0
cos a 2k
Démonstration Pan converge SSI
Pln (1−an)converge SSI
(lnpn)converge SSI
(pn)converge vers une limite non nulle.
9.4 Un produit inni caché
Soit(un)une suite de réels positifs. On suppose queP
un diverge.
On note
sn =
n
X
k=0
uk
Soit
an= un
sn
Montrer quePan diverge.
Démonstration On remarque que
an =sn−sn−1 sn
= 1−sn−1 sn
On suppose que(an)tend vers 0.
an ∼ −ln (1−an) = ln sn
sn−1
terme général d'une série qui diverge, doncPan diverge.
9.5 Généralisation à C
Soit(zn)une suite de complexes ; soit
pn=
n
Y
k=0
(1 +zk)
Montrer que siP
zn converge absolument, alors(pn)converge.
Démonstration SoitS=P∞
n=0|zn|; on montre que(pn)est bornée, par M = exp (S)
On remarque que
pn−pn−1=pn−1.zn
Comment conclure ?
Réponse
|pn−pn−1|=O(|zn|) Par comparaison de séries à termes positifs :
P|pn−pn−1|converge.
Ppn−pn−1 est donc absolument convergente, donc convergente,
ce qui signie que(pn)converge.
