Chapitre n°2 : Fonctions : continuité, limite.partie 1/2 Objectifs :

(1)

(2)

1/2 Objectifs :

Niveau a eca n

C2.a 1 Savoir déterminer des limites finies ou infinies d'une

fonction à l'infini.

C2.b 1 Savoir déterminer des limites infinies d'une fonction en

un point.

C2.c 2 Savoir déterminer des asymptotes.

C2.d 2 Savoir déterminer les limites d'une somme, d'un produit

ou d'un quotient de fonctions.

C2.e 1 Calculer la limite de fonctions composées

C2.f 1 Calculer la limite de fonctions en utilisant les théorèmes

de comparaison

C2.g 1 Savoir utiliser le théorème des valeurs intermédiaires

Activité d'approche n°1

Sur la figure ci-contre , A est fixe, de coordonnées

(1;2) . H est le projeté orthogonal de A sur l'axe des ordonnées. I est le projeté orthogonal de A sur l'axe des abscisses. M est un point mobile sur l'axe des abscisses, d'abscisse x strictement supérieure à 1 . P

est le point d'intersection de la droite (AM) avec l'axe des ordonnées. On note f(x) l'aire du triangle HAP . 1. En utilisant un logiciel de géométrie, indiquer approximativement l'évolution de l'aire du triangle

HAP en fonction de x .

2. Conjecturer les valeur de lim

x → +1

f ( x ) et lim

x → + ∞

f ( x ) . lim

x → +1

f ( x )= ... .et lim

x → + ∞

f ( x )= ... .

3. Calculer l'aire du triangle HAP en fonction de x .

...

4. Retrouver les conjectures de la question 2 en étudiant les variations de f .

...

(3)

2/84 -

...

Cours n°1

Chapitre n°2 : Fonction : continuité et limite. Partie 1/2

I) Limites de fonctions

Définition n°1 : limite finie en l'infini

Dire que lim

x → + ∞

f ( x )= l signifie que quelque soit l'intervalle contenant l que l'on se fixe, il existe toujours une valeur x 0

…...…

...…...…

...…..

Remarque :

Un énoncé similaire permet d'interpréter lim

x → − ∞

f ( x )= l

Définition n°2 : limite finie en a

Dire que lim

x → a

f ( x )= l signifie que quelque soit l'intervalle contenant l que l'on se fixe, il existe toujours une valeur x 0 …...

…...

Définition n°3 : limite infinie en l'infini

Dire que lim

x → + ∞

f ( x )= +∞ signifie que quelque soit l'intervalle ]A;+ ∞ [ ( A nombre réel positif) que l'on se fixe, il existe toujours une valeur x 0

...

2/84

(4)

…...

Remarque :

Un énoncé similaire existe pour lim

x → ...

f ( x )= ... lim

x → ...

f ( x )= ...et lim

x → ...

f ( x )= ...

Définition n°4 : limite infinie en a

Dire que lim

x → a

f ( x )= +∞ signifie que quelque soit l'intervalle

]A;+ ∞ ^[ ⁽ ^A nombre réel positif) que l'on se fixe, il existe toujours une valeur x 0 suffisamment proche de a pour laquelle ...

...

…...

Remarque :

Lorsque x tend vers le réel a par valeur inférieure, o note : …...

et on parle de l... …...

Lorsque x tend vers le réel a par valeur supérieure, o note : …...

et on parle de l... …...

Exemple n°1 :

Déterminer lim

x → +∞

1 x :

Intuitivement, on peut conjecturer que lim

x → +∞

1 x = ... .

Soit a un nombre réel positif quelconque et l'intervalle ]–a;+a[ . Alors, si x>..., on a 1 x

….... Ce qui confirme que lim

x → +∞

1 x =... . puisque l'on peut prendre a aussi petit que l'on veut.

Exercice n°1 Ex.1 p.54 Exercice n°2

Ex.34 p.56

Exercice n°3

(5)

4/84 - Ex.8 p.54

Cours n°2

II) Asymptotes

Définition n°5 : asymptote horizontale

Soit f une fonction. Si lim

x → + ∞

f ( ^x ) = l , c'est que la courbe représentative de f s'approche progressivement, à l'infini, d'une droite horizontale d'équation …... . Cette droite s'appelle alors

…...

Définition n°6 : asymptote verticale Soit f une fonction. Si lim

x → a

f ( x ) =+∞ , c'est que la courbe représentative de f s'approche progressivement en a

d'une droite verticale d'équation …... . Cette droite s'appelle alors

…...

Exemple n°2 :

Soit f la fonction inverse. Donner les équations des asymptotes.

…...

...

Se tester – Test.n°2 Ex.1 [/6] :

Soit f la fonction définie par : f(x) = −1 x+6 +4

1. Déterminer la limite en −6 ⁻

...

...…

2. Déterminer la limite en −6 ⁺

...

4/84

(6)

(7)

(8)

(9)

5/84 -

...

...…

3. Déterminer la limite en + ∞

...

...…

4. En déduire deux asymptotes dont on donnera les équations.

...

...…

Interrogation n°2 Objectifs

C2.a_Niv1 :Savoir déterminer des limites finies ou infinies d'une fonction à l'infini.

C2.b_Niv1 :Savoir déterminer des limites infinies d'une fonction en un point.

C2.c_Niv2 :Savoir déterminer des asymptotes.

Exercice n°4 Ex.6 p.54 Exercice n°5

Ex.36 p.56 Exercice n°6*

Ex.63 p.58 Exercice n°7**

Ex.7 et 8 p.54

Cours n°3

III) Limite des fonctions usuelles Propriété n°1

a. lim

x → − ∞

x ² =... .et lim

x → + ∞

x ² =... . b. lim

x → − ∞

x ³ = ... .et lim

x → + ∞

x ³ = ... . c. Si n est pair : lim

x → − ∞

x ⁿ =... . et lim

x → + ∞

x ⁿ =... .

d. Si n est impair : lim

x → − ∞

x ⁿ =... .et lim

x → + ∞

x ⁿ =... .

5/84

(10)

x → − ∞ x

x → + ∞ x

x → 0 x<0

x x → 0

x>0

x

f. lim

x → + ∞

√ ^x ^=... ^.

Propriété n°2

Si a est un nombre réel : lim

x → a

1 x =... .pour a ≠ 0 lim

x → a

P ( x ) =... . si P est un polynôme.

lim

x → a

√ ^x=... ^.pour ^a  0.

IV) Opérations sur les limites Propriété n°3 : Somme ¿

lim x→ a ( ^f ( ^x ) + g ( ^x ¿

lim

x →a f (x) →

lim x→a g ( x ) ¯

L + ∞ – ∞

L' ... ... ...

+ ∞ ... ... ...

– ∞ ... ... ...

Propriété n°4 : Produit lim

x→ a f ( x ) × g ( x )

lim

x→a f ( x) → lim

x →a g ( x ) ¯

L<0 L>0 L=0 + ∞ – ∞

L'<0 ... ... ... ... ...

L'>0 ... ... ... ... ...

L'=0 ... ... ... ... ...

+ ∞ ... ... ... ... ...

– ∞ ... ... ... ... ...

(11)

7/84 -

Propriété n°5 : Quotient lim

x→ a

f ( x ) g ( x )

lim

x→a f ( x) → lim

x →a

g ( x ) ¯

L<0 L>0 L=0 + ∞ – ∞

L'<0 ... ... ... ... ...

L'>0 ... ... ... ... ...

L'=0 ... ... ... ... ...

+ ∞ ... ... ... ... ...

– ∞ ... ... ... ... ...

Exemple n°3 :

Déterminer lim

x → + ∞ ( ¹⁺ ¹ ^x ) ^x ² ^:

...

Exemple n°4 :

Déterminer lim

x → + ∞

1 x ² + 1 :

...

7/84

(12)

...

Exemple n°5 :

Déterminer lim

x →−2

x + 1 x + 2 :

...

Exemple n°6 :

Déterminer lim

x → − ∞

x ³ − 1 x ² +1

...

(13)

9/84 -

...

Exemple n°7 :

Déterminer lim

x → + ∞

x +1 2 x +1 :

...

Exemple n°8 :

Déterminer lim

x → − ∞

5 x ² + 3 x+1

− 2 x + 1 :

...

9/84

(14)

...

Exemple n°9 :

Déterminer lim

x → − 2

x ² +6 x+8

− 2 x − 4 :

...

Se tester – Test n°3 Ex.1 [/1,5] :

Déterminer lim

x → +∞ ( ⁺ ³ ⁺ ⁵ ^x ) ^x ² ^:

...

(15)

(16)

Ex.2 [/1] : Déterminer lim

x→ +∞

−3 x ² + 3 :

...

Ex.3 [/1,5] : Déterminer lim

x→ 3

⁺

− x +7 x−3 :

...

Ex.4 [/2] : Déterminer lim

x → +∞

x ² + 8 x ³ + 3

...

Ex.5 [/2] : Déterminer lim

x→ +∞

x +3 2 x+6 :

...

(17)

12/84 -

...

Ex.6 [/2] : Déterminer lim

x→ −2

x ² + 11 x + 18 x + 2 :

...

Interrogation n°3 Objectifs

C2.d_Niv2 :Savoir déterminer les limites d'une somme, d'un produit ou d'un quotient de fonctions.

Exercice n°8 Ex.10 p.54 Exercice n°9

Ex.15 p.54 Exercice n°10*

Ex.21 p.55 Exercice n°11*

Ex.22 p.55 Exercice n°12

Ex.47 p.56

12/84

(18)

(19)

(20)

V) Fonctions composées Définition n°7

Soit f une fonction définie sur un intervalle I, soit J l'ensemble de toutes les valeurs

f(x) où x appartient à I , et soit g une fonction définie au moins sur J . On appelle fonction composée f suivie de g la fonction h définie par :

…...

On note cette composée : h = …...

Exemple n°9 :

Soit h la fonction définie par h( x )= ( ^x ² ⁺ ^x ³ ) ³ ^{. É} ^crire ^h comme composée de deux fonctions :

...

Propriété n°6 : limite de fonctions composées

Si lim

x →a

f ( x )= b et si lim

x → b

g ( x )= c alors lim

x → a

...=.. .

Remarque :

Cette propriété est aussi valide en + ∞ ^et – ∞ ^. Exemple n°10 :

Déterminer la limite en - ∞ de la fonction h de l'exemple précédent.

...

Se tester – Test n°4

(21)

14/84 - Ex.1 :

1 (/2) . Soit h la fonction définie par ( ⁴ ⁶ ^x ⁺ ^x ⁴ ) ² ^{. Écrire} ^h comme composée de deux fonctions :

...

……….

2 (/4) . Déterminer la limite en -∞ de la fonction h de l'exemple précédent.

...

...…..……....……...……...…...

……...…...…....………..

Interrogation n°4 Objectifs

C2.e_Niv1 :Calculer la limite de fonctions composées Exercice n°13

Ex.24 p.55 Exercice n°14*

Ex.78 p.59

Cours n°5

VI) Calcul de limites par comparaison

Propriété n°7 (Théorème des gendarmes)

Soient a et L deux réels, et s oient f , g et h trois fonctions définies sur un intervalle contenant a telles que l'on ait :

- Au voisinage de a : f(x)g(x)h(x)

14/84

(22)

x →a x →a

Alors …...

…...

Remarque :

Cette propriété est aussi valide en + ∞ ^et – ∞ ^. Exemple n°11 :

Déterminer lim

x → +∞

cos ( x ) x :

...

Propriété n°8 (Théorème de comparaison)

Soient a et L deux réels, et s oient f et g deux fonctions définies sur un intervalle contenant a telles que l'on ait, au voisinage de a : f(x)  g(x)

Alors : Si lim

x → a

f ( x )= +∞ alors …...

Si lim

x → a

g ( x )= −∞ alors …...

Exemple n°12 :

Soit f la fonction définie par : f(x)=x+1+cos(x) . Déterminer lim

x → + ∞

f ( x ) :

...

(23)

16/84 -

Se tester – Test n°5 Ex.1 [/3] :

Déterminer : lim

x → +∞

3 cos x 5 x + 8

...

…...

...

Ex.2 [/2] :

Soit f la fonction définie par : f(x) = 3x+5 - 2cos(x) . Déterminer lim

x→ +∞

f ( x ) :

...

Interrogation n°5 Objectifs

C2.f_Niv1 : Calculer la limite de fonctions en utilisant les théorèmes de comparaison Exercice n°15

Ex.28 p.55 Exercice n°16

Ex.89 p.60 Exercice n°17*

Ex.83 p.59 Exercice n°18**

Ex.86 p.60

Activité d'approche n°2

On définit la fonction, appelée « partie entière », notée E de la façon suivante : à tout nombre réel x , on fait correspondre l'unique entier relatif n tel que nx<n+1.

1. Calculer E(-2,7) et E(4,57) .

16/84

(24)

...

2. Représenter la fonction E sur le graphique ci-dessous :

3. Conjecturer les limites suivantes sur le graphique : lim

x → 3 x<3

E ( x ) et lim

x → 3 x>3

E ( x) ...

...

4. La fonction E admet-elle une limite en 3 ? Pourquoi ?

...

(25)

(26)

...

Cours n°6

VII) Continuité d'une fonction – théorème des valeurs intermédiaires

Définition n°8

Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un réel de cet intervalle.

f est dite continue en a si …... =...

…...

f est dite continue sur I si elle est continue en tout nombre de l'intervalle I .

Remarque :

Une fonction continue sur un intervalle I est une fonction dont la représentation graphique sur cet intervalle se trace sans lever le crayon.

Exemple n°13 :

La fonction partie entière est discontinue à chaque …...

…...

La fonction carrée est …... sur …...

Propriété n°9 (admis)

Les fonctions dérivables sur un intervalle sont continues sur cet intervalle.

Remarque :

Les fonctions rencontrées jusqu'à présent sont très souvent continues sur leur ensemble de définition.

Propriété n°10 : théorème des valeurs intermédiaires (admis)

Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle [a;b] .

Alors, quelque soit le réel k de l'intervalle [f(a);f(b)] , il existe au moins un nombre c

de l'intervalle [a;b] tel que …...

Remarque :

Autrement dit, si f est une fonction continue, l'équation f(x)=k admet au moins une solution dans l'intervalle [a;b] .

Exemple n°14 :

Soit la fonction f définie par f ( x )= x ³ +5

x ² + 3 . L'équation f(x)=2 admet-elle au moins une solution sur IR ? Justifier.

...

(27)

19/84 -

...

Propriété n°11 : Théorème de la bijection

Si f est une fonction continue strictement monotone sur un intervalle [a;b] , alors pour tout réel k de l'intervalle [f(a);f(b)] , il …...

…... tel que …...

Remarque :

Ce théorème est une conséquence (=corollaire) du théorème des valeurs intermédiaires.

Exemple n°15 :

Soit la fonction f définie par f ( x )= 5

x ² +3 . L'équation f(x)=1 admet-elle une solution sur

IR ⁺ ? Cette solution est-elle unique ? Justifier.

...

19/84

(28)

...

Se tester – Test n°6 Ex.1 (/3,5) :

Soit la fonction f définie par f(x) = 8 x ³ + 9

3 x ² + 2 . L'équation f(x)=2 admet-elle au moins une solution sur IR ? Justifier.

...

Ex.2 (/4,5)

Soit la fonction f définie par f(x) = 8

3 x ² + 2 L'équation f(x)=1 admet-elle une solution sur IR ? Cette solution est-elle unique ? Justifier.

...

(29)

21/84 -

...

21/84

(30)

...

... ...

...

Interrogation n°6 Objectifs

C2.g_Niv1 : Savoir utiliser le théorème des valeurs intermédiaires Exercice n°19*

Ex.32 p.55 Exercice n°20*

Ex.105 p.61 Exercice n°21*

Ex.106 p.61 Exercice n°22*

Démontrer qu'il existe une fonction qui coupe toutes les droites du plan.

Exercice n°23****

Sujet A p.69 Exercice n°24**

Sujet D p.70 Exercice n°25***

Asymptotes obliques p.65 Exercice n°26**

Ex.146 p.71 Exercice n°27**

Ex.152 p.72 Exercice n°28**

Ex.153 p.73

Exercice n°29****

Ex.154 p.73

(31)

23/84 -

Résultats ou indices

Ex. n°1-Ex.1 p.54- x>5 ; x>50 ; lim

x → +∞

f ( x ) =−∞

Ex. n°2-Ex.34 p.56- 1. lim

x → 2 x>2

f ( ^x ) =−∞ 2. lim

x → +∞

f ( ^x ) = 0

Ex. n°3-Ex.8 p.54- Dans tous les cas : lim

x → +∞

f ( ^x ) =+∞ et lim

x → +∞

g ( ^x ) = 0 1. lim

x → +∞

f ( ^x ) × g ( ^x ) = 1 2.

lim

x → +∞

f ( ^x ) × g ( ^x ) =0 3. lim

x → +∞

f ( ^x ) × g ( ^x ) =+ ∞ 4. lim

x → +∞

f ( ^x ) × g ( ^x ) =− ∞ Test.1 :1. + ∞ 2. - ∞ 3. 4 4. x=6 et y = 4

Ex. n°4-Ex.6 p.54-

1. (d 1 ) a pour équation x = -2. (d 2 ) a pour équation x = 1. (d 3 ) a pour équation x = -1. 2.

lim

x → −∞

f ( ^x ) =−1 , lim

x → +∞

f ( ^x ) =−1 , lim

x → −2 x < −2

f ( ^x ) =+∞

lim

x → −2 x > −2

f ( ^x ) =−∞ lim

x → 1 x < 1

f ( ^x ) =+∞lim

x → 1 x > 1

f ( ^x ) =+∞ 3.

Ex. n°5-Ex.36 p.56- 1.

2. Si x<-1 ou x>1, c est

strictement au dessus de (d 3 ) . Si -1<x<1, c est strictement en dessous de (d 3 ) . **Ex. n°6*-Ex.63 p.58- 1.** lim

x → −∞

f ( ^x ) =+∞ lim

x → +∞

f ( ^x ) = 3 asymptote : y=3 en + ∞ 2.b. lim

x → −∞

g ( ^x ) = 0

lim

x → +∞

g (x)= 1

3 2.c. asymptote y=0 en - ∞ et asymptote y= 1

3 en + ∞ Ex. n°7-Ex.7p.54- Dans tous les cas,** lim

x → +∞

f ( ^x ) =+ ∞ et lim

x → +∞

g ( ^x ) =− ∞ Cas n°1 : lim

x → +∞

f ( ^x ) + g ( ^x ) = 5

; cas n°2 : lim

x → +∞

f ( ^x ) + g ( ^x ) =0 ; cas n°3 : lim

x → +∞

f ( ^x ) +g ( ^x ) =+ ∞ ; cas n°4 : lim

x → +∞

f ( ^x ) + g ( ^x ) =− ∞ - Ex.8p.54- Dans tous les cas, lim

x → +∞

f ( ^x ) =+ ∞ et lim

x → +∞

g ( ^x ) =0 ; cas n°1 : lim

x → +∞

f ( ^x ) × g ( ^x ) =1 ; cas n°2 : lim

x → +∞

f ( ^x ) × g ( ^x ) = 0 ; cas n°3 : lim

x → +∞

f ( ^x ) × g ( ^x ) =+ ∞ ; cas n°4 : lim

x → +∞

f ( ^x ) × g ( ^x ) =− ∞ Test.3 : Ex1 : + ∞ Ex2 : 0 Ex3 : + ∞ Ex4 : 0 Ex5 : ¹

2 Ex6 : 11

Ex. n°8-Ex.10 p.54- a. lim

x → −∞

f ( ^x ) =−∞ et lim

x → +∞

f ( ^x ) =+∞ b. lim

x → −∞

g ( ^x ) =−∞ et lim

x → +∞

g ( ^x ) =+∞ c.

lim

x → −∞

h ( ^x ) =−∞ et lim

x → +∞

h ( ^x ) =+∞

Ex. n°9-Ex.15 p.54- a. lim

x → −∞

f ( ^x ) =−∞ b. lim

x → −∞

g ( ^x ) =−∞ c. lim

x → −∞

h ( ^x ) =−∞ d. lim

x → −∞

k ( ^x ) =+∞

**Ex. n°10*-Ex.21 p.55- 1. Si x<3, 3 –** x>0 ; Si x>3, 3 – x<0 2.a. lim

x → 3 x>3

f ( ^x ) =− ∞ 2.b. lim

x → 3 x>3

g ( x )=+ ∞

2.c. lim

x → 3 x>3

h ( ^x ) =+ ∞ 3.a. lim

x → 3 x<3

f ( ^x ) =+ ∞ 3.b. lim

x → 3 x<3

g ( ^x ) =− ∞ 3.c. lim

x → 3 x<3

h ( ^x ) =− ∞

23/84

(32)

→ x>1

→ x<1

lim x → ¹

x < 1 g ( ^x ) = +∞ 2.c. lim

x → 1 x<1

h ( ^x ) =− ∞

Ex. n°12-Ex.47 p.56- a. lim

x → −∞

f ( ^x ) =−∞ et lim

x → +∞

f ( ^x ) =+∞ b. lim

x → −∞

g ( ^x ) =+∞ et lim

x → +∞

g ( ^x ) =−∞ c.

lim

x → −∞

h ( ^x ) =+∞ et lim

x → +∞

h ( ^x ) =+∞ d. lim

x → −∞

k ( ^x ) =−∞ et lim

x → +∞

k ( ^x ) =−∞

Test.4 : Ex1.1 : h1(x)= 6 x

4 x + 4 ^et h2(x)=x ² ^{2 :} 36 16

Ex. n°13-Ex.24 p.55- lim

x → +∞

f ( ^x ) =+∞ , lim

x → +∞

g ( ^x ) =+∞ et lim

x → +∞

h ( ^x ) =+∞

**Ex. n°14*-Ex.78 p.59-** lim

x → 1 x>1

f ( ^x ) =+ ∞ et lim

x → 3 x<3

f ( ^x ) =+ ∞ Test.5 : Ex1 : 8 Ex2 : + ∞.

Ex. n°15-Ex.28 p.55- lim

x → +∞

f ( ^x ) =+∞

Ex. n°16-Ex.89 p.60- lim

x → +∞

g ( ^x ) =+∞ et lim

x → −∞

g ( ^x ) =−∞

**Ex. n°17*-Ex.83 p.59- 1. La droite d d'équation y=1 est une asymptote à c** f en - ∞ et + ∞. c f

est strictement en dessous de d. 2.

3. Pour x> √ ¹⁹⁹ , la distance entre le point de c f , d'abscisse x et le point de d d'abscisse x est strictement inférieure à 0,01 .

Ex. n°18-Ex.86 p.60- 2. La droite d d'équation y=-3 est une asymptote à c** f en - ∞ et + ∞. Si x< ⁵

2 c f est au-dessus de d. Si x> ⁵

2 c f est en dessous de d. 3.

Test.6 : Ex1 : Oui Ex2 : 2 solutions

(33)

25/84 -

**Ex. n°19*-Ex.32 p.55- 3. 1,3<  <1,4** .

**Ex. n°20*-Ex.105 p.61- 1. f** est strictement croissante sur R. 2. Théorème des valeurs intermédiaires 3. 1,121<  <1,122.

**Ex. n°21*-Ex.106 p.61- 1.**

4. -0,79<  ¹ <-0,78 et

-0,79< ² <-0,78.

Ex. n°23-Sujet A p.69- P.A.1.

lim

x → +∞

g ( ^x ) =−∞ P.A.3.

P.A.4.b.3,09    3,10. P.A.5.Sur [0;α[, g(x)<0 et sur ]α;+∞[,

g(x)>0.P.B.1.A'(x)=2g(x) P.B.2. Sur [0;  [ , A est strictement croissante.

Sur [ ;+∞ [, A est strictement décroissante. P.C.2. Oui.

Ex. n°24-Sujet D p.70- 1.b.2.b.3.c.4.c.**

Ex. n°25*-Asymptotes obliques p.65-**

>Dans le triangle MHP rectangle en H, la longueur de l’hypoténuse est supérieure à celle des autres côtés donc MH …. MP.

> 0  MH  MP. Or MH=u(x) ...0 u  (x) f  (x) – (1 + x ). lim

x→ +∞ f ( ^x ) − ( ¹ +x ) =0 est une condition suffisante.

Ex. n°26-Ex.146 p.71- 1. f° affine. 2.a.** lim

x → −∞

f _m ( ^x ) =−∞ et lim

x → +∞

f _m ( ^x ) =+∞ 2.b. Si m<0, lim

x → 0 x<0

f _m ( ^x ) =+∞ et lim

x → 0 x>0

f _m ( ^x ) =−∞ , Si m<0, lim

x → 0 x<0

f _m ( ^x ) =−∞ et lim

x → 0 x>0

f _m ( ^x ) =+∞

25/84

(34)

x

4. La courbe bleue est celle de f 1 et la courbe rouge est celle de f -1 . Ex. n°27-Ex.152 p.72- 2. 0,8< ** <0,9

Ex. n°28-Ex.153 p.73- P.A.1. x=4 et x=8. 4000 unités et 8000 unités. 2. Au-dessous de 200€.**

P.B.1. lim

x → +∞

f ( ^x ) = 0 : les consommateurs sont prêts à acheter une quantité très, très grande de produit lorsque le prix est très proche de 0. P.B.2.c.455€.

Ex. n°29-Ex.154 p.73- P.A.1. lim

x → −∞

g ( ^x ) =−∞ et lim

x → +∞

g ( ^x ) =+∞ P.A.2.g'(x)=9x ² – …. P.A.3 ^.

P.A.4.

1,7<<1,71 P.A.5.

Si x<  , g(x)<0.

Si x>  , g(x)>0.

P.B.1. lim

x → −∞

f ( ^x ) =−∞ et lim

x → +∞

f ( ^x ) =+∞ , lim

x → 0 x<0

f ( ^x ) =+∞ et lim

x → 0 x>0

f ( ^x ) =+∞ . L'axe des ordonnées est une

asymptote à c'.

P.B.3.

P.B.4.a. Si -1 x<0 ^ou x>0 , c' est au-dessus de d . Si -1x, c' est en-dessous de d.

(35)

27/84 - P.B.4.b. lim

x → −∞

d ( ^x ) =0 et lim

x → +∞

d ( ^x ) =0 . Lorsque x tend vers l’infini, la distance entre le point de c' d’abscisse x et le point de d d’abscisse x tend vers 0.

P.B.5.

27/84

(36)

de travail au-delà.

Date d’aujourd’hui : ...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser les interrogations : C. ;C. ;C. ;C.

Travail à faire pour la prochaine fois : Exercices n° : … / … / … / … / … / …/…

Activité n° : ….

Exemples n° : … / … / … / … / … du Cours n° :...

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.

Date d’aujourd’hui : ...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser les interrogations : C. ;C. ;C. ;C.

Travail à faire pour la prochaine fois : Exercices n° : … / … / … / … / … / …/…

Activité n° : ….

Exemples n° : … / … / … / … / … du Cours n° :...

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.

Date d’aujourd’hui : ...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser les interrogations : C. ;C. ;C. ;C.

Travail à faire pour la prochaine fois : Exercices n° : … / … / … / … / … / …/…

Activité n° : ….

Exemples n° : … / … / … / … / … du Cours n° :...

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.

Date d’aujourd’hui : ...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser les interrogations : C. ;C. ;C. ;C.

Travail à faire pour la prochaine fois : Exercices n° : … / … / … / … / … / …/…

Activité n° : ….

Exemples n° : … / … / … / … / … du Cours n° :...

de travail au-delà.

Date d’aujourd’hui : ...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser les interrogations : C. ;C. ;C. ;C.

Travail à faire pour la prochaine fois : Exercices n° : … / … / … / … / … / …/…

Activité n° : ….

Exemples n° : … / … / … / … / … du Cours n° :...

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.

Date d’aujourd’hui : ...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser les interrogations : C. ;C. ;C. ;C.

Travail à faire pour la prochaine fois : Exercices n° : … / … / … / … / … / …/…

Activité n° : ….

Exemples n° : … / … / … / … / … du Cours n° :...

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.

Date d’aujourd’hui : ...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser les interrogations : C. ;C. ;C. ;C.

Travail à faire pour la prochaine fois : Exercices n° : … / … / … / … / … / …/…

Activité n° : ….

Exemples n° : … / … / … / … / … du Cours n° :...

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.

Date d’aujourd’hui : ...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser les interrogations : C. ;C. ;C. ;C.

Travail à faire pour la prochaine fois : Exercices n° : … / … / … / … / … / …/…

Activité n° : ….

Exemples n° : … / … / … / … / … du Cours n° :...

(37)

29/84 -

Chapitre n°2 : Fonctions : continuité, limite.partie 1/2

Objectifs :

Niveau a eca n

C2.a 1 Savoir déterminer des limites finies ou infinies d'une

fonction à l'infini.

C2.b 1 Savoir déterminer des limites infinies d'une fonction en

un point.

C2.c 2 Savoir déterminer des asymptotes.

C2.d 2 Savoir déterminer les limites d'une somme, d'un produit

ou d'un quotient de fonctions.

C2.e 1 Calculer la limite de fonctions composées

C2.f 1 Calculer la limite de fonctions en utilisant les théorèmes

de comparaison

C2.g 1 Savoir utiliser le théorème des valeurs intermédiaires

Activité d'approche n°1

Sur la figure ci-contre , A est fixe, de coordonnées

(1;2) . H est le projeté orthogonal de A sur l'axe des ordonnées. I est le projeté orthogonal de A sur l'axe des abscisses. M est un point mobile sur l'axe des abscisses, d'abscisse x strictement supérieure à 1 . P

est le point d'intersection de la droite (AM) avec l'axe des ordonnées. On note f(x) l'aire du triangle HAP . 1. En utilisant un logiciel de géométrie, indiquer approximativement l'évolution de l'aire du triangle

HAP en fonction de x .

2. Conjecturer les valeur de lim

x → +1

f ( x ) et lim

x → + ∞

f ( x ) . lim

x → +1

f ( x )= ... .et lim

x → + ∞

f ( x )= ... .

3. Calculer l'aire du triangle HAP en fonction de x .

...

4. Retrouver les conjectures de la question 2 en étudiant les variations de f . ...

29/84

(38)

...

Cours n°1

Chapitre n°2 : Fonction : continuité et limite. Partie 1/2

I) Limites de fonctions

Définition n°1 : limite finie en l'infini

Dire que lim

x → + ∞

f ( x )= l signifie que quelque soit l'intervalle contenant l que l'on se fixe, il existe toujours une valeur x 0

…...…

...…...…

...…..

Remarque :

Un énoncé similaire permet d'interpréter lim

x → − ∞

f ( x )= l

Définition n°2 : limite finie en a

Dire que lim

x → a

f ( x )= l signifie que quelque soit l'intervalle contenant l que l'on se fixe, il existe toujours une valeur x 0 …...

…...

Définition n°3 : limite infinie en l'infini

Dire que lim

x → + ∞

f ( x )= +∞ signifie que quelque soit l'intervalle ]A;+ ∞ [ ( A nombre réel positif) que l'on se fixe, il existe toujours une valeur x 0

...

(39)

31/84 - ...

…...

Remarque :

Un énoncé similaire existe pour lim

x → ...

f ( x )= ... lim

x → ...

f ( x )= ...et lim

x → ...

f ( x )= ...

Définition n°4 : limite infinie en a

Dire que lim

x → a

f ( x )= +∞ signifie que quelque soit l'intervalle

]A;+ ∞ ^[ ⁽ ^A nombre réel positif) que l'on se fixe, il existe toujours une valeur x 0 suffisamment proche de a pour laquelle ...

...

…...

Remarque :

Lorsque x tend vers le réel a par valeur inférieure, o note : …...

et on parle de l... …...

Lorsque x tend vers le réel a par valeur supérieure, o note : …...

et on parle de l... …...

Exemple n°1 :

Déterminer lim

x → +∞

1 x :

Intuitivement, on peut conjecturer que lim

x → +∞

1 x = ... .

Soit a un nombre réel positif quelconque et l'intervalle ]–a;+a[ . Alors, si x>..., on a 1 x

….... Ce qui confirme que lim

x → +∞

1 x =... . puisque l'on peut prendre a aussi petit que l'on veut.

Exercice n°1 Ex.1 p.54 Exercice n°2

Ex.34 p.56

Exercice n°3

31/84

(40)

Cours n°2

II) Asymptotes

Définition n°5 : asymptote horizontale

Soit f une fonction. Si lim

x → + ∞

f ( ^x ) = l , c'est que la courbe représentative de f s'approche progressivement, à l'infini, d'une droite horizontale d'équation …... . Cette droite s'appelle alors

…...

Définition n°6 : asymptote verticale Soit f une fonction. Si lim

x → a

f ( x ) =+∞ , c'est que la courbe représentative de f s'approche progressivement en a

d'une droite verticale d'équation …... . Cette droite s'appelle alors

…...

Exemple n°2 :

Soit f la fonction inverse. Donner les équations des asymptotes.

…...

...

Se tester – Test.n°2 Ex.1 [/6] :

Soit f la fonction définie par : f(x) = 1 x+8 +5

1. Déterminer la limite en −8 ⁻

...

...…

2. Déterminer la limite en −8 ⁺

...

(41)

33/84 -

...

...…

3. Déterminer la limite en − ∞

...

...…

4. En déduire deux asymptotes dont on donnera les équations.

...

...…

Interrogation n°2 Objectifs

C2.a_Niv1 :Savoir déterminer des limites finies ou infinies d'une fonction à l'infini.