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Cahier - Chapitre « Découvertes »

Ces exercices se font en groupe, en classe, une fois par semaine.

CHACUN DOIT COMPLETER SON DOCUMENT.

LE PROFESSEUR RAMASSE LE DOCUMENT EN FIN DE SEANCE (et ce document peut être noté ! ).

Exercice n°1 (Cours n°1 du Chapitre I : Proportionn alité – Quatrième proportionnelle, échelle, fréquences)

1. Voici des tableaux de proportionnalité à 4 cases. Dans chacun des cas, calculer le nombre manquant.

6 2

3

5 3

8

7

8 24

1

8 10

1 2

9

5 7

8

5

8 9

4

9 10

Calcul : ………..

Résultat : ………

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(2)

2. D’une manière générale, donnez une méthode (il en existe plusieurs) qui explique comment remplir la case manquante dans le tableau de proportionnalité à 4 cases suivant.

A B

C

P.S : Le nombre manquant est appelé quatrième proportionnelle.

3. Dans les tableaux de proportionnalité de la question 1, que peut-on dire des fractions constituées des nombres de chaque colonne (par exemple, pour le premier tableau, il s’agit de

6 9^{et de}

2 3^{) ?}

………

……….

4. D’une manière plus générale, dans le tableau de proportionnalité suivant :

A B

D C

Quelles fractions sont égales ? ………..

5. Dans les tableaux de proportionnalité de la question 1, choisissez un tableau, puis effectuez le « produit en croix », c'est-à-dire multipliez d’une part la case en haut à gauche par la case en bas à droite. Faites de même pour les cases en haut à droite et en bas à gauche.

Calcul n°1 : ………. Résultat : ……….

Calcul n°2 : ………. Résultat :…………

Que constatez-vous ?

………

……….

Vérifiez avec un autre tableau de la question 1 :

Calcul n°1 : ………. Résultat : ……….

Calcul n°2 : ………. Résultat :…………

6. De manière plus générale, quels produits sont égaux dans le tableau suivant :

………

A B

D C

(3)

Exercice n°2 (COURS N°5 DU CHAPITRE 2 : NOMBRES REL ATIFS :

CLASSEMENT,ADDITION,SOUSTRACTION) – CALCULATRICE INTERDITE.

Remarque : Dans une addition à trou, par exemple a + ҈ = c, on a c – a = ҈_ETc – ҈ = a.

Par exemple, si 5 + ҈ = 8, on a 8 – 5 = ҈_ET8 – ҈ = 5 (puisque ҈_vaut3 ). C’est cette deuxième relation qui est utilisée ici.

1. Compléter : (+5) + (……. ) = +13 donc +13 ─ (+…..) = +5 2. Calculer : +13 + (─8) = ……

3. Compléter : (+5) + (……..) = ─ 1 donc ─1 ─ (……) = +5 4. Calculer : ─1 + (+6) = ……

5. Compléter : (─5) + (……..) = ─3 donc ─3 ─ (…….) = ─5 6. Calculer : ─3 + (─2) = ……

7. Compléter : (─5)+(……..)= ─7 donc ─7 ─ (…….) = ─5 8. Calculer : ─7 + (+2) = ……

9. Comparer +13+(─8) et +13─(+8), ─1+(+6) et ─1─(─6), ─3+(─2) et ─3─(+2), ─7+(+2) et

─7─(─2) :

………

10. Comment transformer une soustraction en addition avec les nombres relatifs ? Compléter :

« Soustraire revient à ……….. l’o……….du deuxième terme ».

(4)

Exercice n°3 (Cours n°1 du Chapitre III : Triangles et milieux – partie I) – EN SALLE INFORMATIQUE

REMARQUE : si vous ne pouvez pas utiliser d’ordinateur, construisez plusieurs triangles ABC

quelconques et différents (au moins 4), et les milieux I de [AB] et J de [BC]. Faites ensuite les questions ii. (en mesurant) et iii de la partie « conjecture ».

1. Conjecture avec TracenPoche

a. Construction de la figure : i. Construis un triangle ABC¹.

ii. En utilisant le bouton ² , place le point I

milieu de [AB] et le point J milieu de [BC]. iii. Trace la droite (IJ)³.

b. Conjecture :

i. À l'aide du bouton ⁴, fais apparaître les longueurs des segments [IJ] et [AC].

ii. Déplace les sommets du triangle et note, ci-dessous, les longueurs IJ et AC pour quatre triangles différents, en bougeant B et C .

IJ ……. ……. …… ……

AC ……. ……. …… ……

Que remarques-tu ?

...

iii. Déplace à nouveau les sommets du triangle. Comment semblent être les droites (IJ) et

(AC) ?

………

iv. Dans la fenêtre Analyse, saisis (sans espace ni guillemets) : « position (IJ,AC) = » puis appuie sur la touche F9. Déplace à nouveau les sommets du triangle. Qu'indique

Tracenpoche ?

………

1 plusieurs fois.

2 , puis

3 , puis

4 , puis

(5)

Exercice n°4

Démonstration :

a. Ci-dessous, trace un triangle ABC, construis I le milieu de [AB] et J le milieu de [BC]. Construis le point K symétrique de I par rapport à J (Autrement dit, J est le milieu de [IK])

La figure ( y compris K ) :

b. On souhaite montrer que les droites (IJ) et (AC) sont parallèles et que la longueur du segment [IJ] est égale à la moitié de celle du segment [AC].

1) Complète les quatre propriétés de 5^ème suivantes :

1. Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en un même milieu, alors c’est un ………..

2. Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés opposés sont p……….

3. Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés opposés sont de m……… l………

4. Si un quadrilatère n’est pas croisé et a deux côtés opposés parallèles et de même longueur, alors c’est un ………..

2) La démonstration :

Étape 1. Montre que le quadrilatère BKCI est un parallélogramme.

On sait que : ………

et que :……….

Or : ………

………

Donc :………

Étape 2. Que peux-tu en déduire pour les droites (KC) et (BI) ?

Or : ………

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(6)

………

Donc :………

Étape 3. Que peux-tu en déduire pour les segments [KC] et [BI] ?

Or : ………

………

Donc :………

Étape 4. Que peux-tu dire des segments [BI] et [IA] ?

Donc :………

Étape 5. En utilisant les questions iii. et iv., que peux-tu dire des segments [IA] et [KC] ? On sait que : ………

et que :………..

Donc :………

Étape 6. De même, en utilisant le fait que les points A, I et B sont alignés et la question ii., que peux-tu dire des droites (IA) et (KC) ?

et que :………..

Donc :………

Étape 7. Déduis des questions v. et vi. que le quadrilatère IKCA est un parallélogramme.

et que :……….

Or : ………

………

Donc :………

Étape 8. Que peux-tu en déduire pour les droites (IJ) et (AC) ?.

Or : ………

………

Donc :………

Étape 9. En utilisant la conclusion de la question vii., et le fait que J soit le milieu de [IK],

montre que : IJ = 1 2 AC.

Or : ………

………

Donc :………

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(7)

De plus :……….

Donc :………

Étape 10. Écris les deux propriétés que tu viens de démontrer.

Propriété n°1 : La droite qui passe ………

……….

……….

Propriété n°2 : Le segment qui joint ………

………

Exercice n°5

ABC est un triangle. I est un point de [AB] tel que AI= 1

4AB. J est un point de [AC] tel que

AJ= 1 4AC.

1. Démontrez que (IJ) est parallèle à (BC) [ attention : au moins deux étapes sont nécessaires ].

………

2. On suppose que BC=8cm. Combien vaut IJ ? Prouvez-le.

………

(8)

………

Exercice n°6: −Introduction à la notion d’inverses (Source : Sésamath) (Cours n°1 du chapitre IV)

1. Quelle est la longueur du côté d'un carré d'aire 1 unité d'aire ?

……….

2. On considère plusieurs rectangles qui ont tous la même aire de 1 unité d’aire.

Complète le tableau suivant par les nombres qui conviennent :

Rectangle 1 Rectangle 2 Rectangle 3 Rectangle 4 Rectangle 5 Rectangle 6

Longueur 2 ………… ………… 3 ………… ⁴₃

Largeur ………… 0,1 0,25 ………… 1

7 …………

3. Quel lien y a-t-il entre la longueur et la largeur de chacun de ces rectangles ?

………

4. Recopie et complète : les nombres 2 et 0,5 ou 1

2 sont inverses l'un de l'autre, ainsi que

0,1 et 10 ; 0,25 et 4 ; 3 et 1 3 ; 1

7^{et 7;}

4 3^et

3

4 ou 0,75 . 5. Que peux-tu dire pour le nombre 1 ?

………..

6. Soit x un nombre non nul, quel est l'inverse dex ? Justifie en prouvant que x et ton nombre obéissent bien à la condition encadrée ci-dessus :

………

On dit que deux nombres sont inverses l'un de l'autre quand leur produit est égal à 1.

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(9)

7. Soient a et b deux nombres non nuls, quel est l'inverse de a

b ? Justifie en utilisant la condition encadrée.

………

Exercice n°7 − Additions et soustractions de fracti ons (Cours n°2 du Chapitre IV)

Première partie : Fractions ayant le même dénominateur.

Voici deux gâteaux :

1. Quelle fraction du gâteau n°1 est hachurée ? ……

……

3. Au total, en considérant qu’un gâteau est l’unité choisie, quelle fraction de l’unité

« gâteau » est hachurée ? ……

……

4. Complétez : « On peut donc écrire : ……

…… + ……

…… = ……

……. »

5. Établissez la règle d’addition de deux fractions ayant le même dénominateur : « Si deux fractions ont le même dénominateur, pour les additionner, il suffit

d’………. les n……… et de garder le

……… commun. »

Gâteau n°1 Gâteau n°2

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(10)

Deuxième partie : Fractions ayant des dénominateurs différents.

Voici deux gâteaux :

……

3. Pourquoi ne peut-on pas directement additionner les parts hachurées pour connaître la quantité hachurée au total ?

………

4. En redivisant chaque part de chaque gâteau, essayez de constituer des parts égales dans les deux gâteaux (Indice : divisez chaque part du gâteau n°2 en q………….).

Nombre de parts découpées au total dans chaque gâteau : ………

5. Avec cette nouvelle division, quelle fraction du gâteau n°1 est hachurée ? …..

…..

6. Avec cette nouvelle division, quelle fraction du gâteau n°2 est hachurée ? …..

…..

7. Peut-on maintenant utiliser la technique d’addition de la première partie ? ………..

Pourquoi ?

………

8. Au total, en considérant qu’un gâteau est l’unité choisie, quelle fraction de l’unité

« gâteau » est hachurée ? ……

……

9. Complétez : « On peut donc écrire : ……

…… + ……

…… = ……

……. » Gâteau n°1

Gâteau n°2

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(11)

10. Complétez : « Il faut en fait que chaque gâteau contienne le m……… nombre de parts. Ce qui revient à dire qu’il faut d’abord mettre les deux fractions au

m……… d………. ».

Troisième partie : Bilan

1. Énonce une règle qui permet d'additionner ou de soustraire des fractions de dénominateurs différents.

………

2. Applique cette règle pour effectuer les calculs suivants : 1

5 + 7

2 = ……….

7 10 − 11

15 =……….

Exercice n°8 – Des quadrillages et des aires (merci à Gilles Bougon !)

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(12)

A l'aide du quadrillage, détermine les aires de chaque carré (l'unité est le carreau) puis complète le tableau suivant:

Triangle Petit carré Moyen carré Grand carré T1

T2 T3 T4 T5

Que remarques-tu ?

…...

...

...…...

...

En déduire la longueur du côté manquant du triangle rectangle suivant :

………

……….

(13)

Exercice n°8 – Avec des ciseaux

1. Découpages :

a. Sur une feuille non quadrillée, construis un triangle rectangle quelconque, puis, sur chacun des côtés, dessine un carré comme dans la figure 1 ci-dessous.

b. Ensuite, découpe les carrés des petits côtés, et essaie de remplir totalement le carré du grand côté, en s’inspirant pour le découpage, de la figure 2 ci-dessus.

2. Á ton avis, peut-on refaire cette manipulation pour n’importe quel triangle rectangle ?...

3. On appelle h la longueur de l’hypoténuse, a la longueur de l’un des côtés de l’angle droit, et b la longueur de l’autre angle droit.

a. Quelle est l’aire du grand carré en fonction de h ? …….

b. Quelles sont les aires des deux carrés des deux côtés de l’angle droit, en fonction de a et b ? ……… et …………..

c. Quelle égalité peut-on écrire, puisque l’on recouvre le grand carré avec les deux petits carrés ? ………..=………..

4. Refais la même manipulation avec un triangle qui n’est pas rectangle.

Que constates-tu ?

...

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Fig.1 Fig.2

(14)

5. Complétez : « Si un triangle est rectangle, la somme des aires des carrés construits sur les deux petits côtés est égale à

………. ».

Exercice n°9 −Avec TracenPoche (inspiré de Sésamath )

Rappel : 5² veut dire 5×5 ; de même, AC² veut dire Ac×AC – et si AC=3, par exemple, AC²=3²=3×3=9

1. Construis un triangle ABC rectangle en A. Pour cela :

a. Place deux points A et B puis construis le segment [AB] et la perpendiculaire à

[AB] passant par A ( ).

b. Place un point C sur cette perpendiculaire ( ).

c. Construis les segments [BC] et [AC] ( ).

2. Fais apparaître les mesures des trois côtés du triangle ABC ( ).

3. Complète le tableau suivant pour des triangles rectangles ABC différents (tu déplaceras les points A, B et C, et tu noteras les longueurs affichées).

Calcule (avec une calculatrice) ensuite AB² + AC² et BC² pour chacun de ces triangles : tu donneras des valeurs arrondies au centième.

Triangle 1 Triangle 2 Triangle 3 Triangle 4 Triangle 5 Triangle 6

AB ^... ^... ^... ^... ^... ^...

AC ^... ^... ^... ^... ^... ^...

AB² + AC² ^... ^... ^... ^... ^... ^...

BC ^... ^... ^... ^... ^... ^...

BC² ^... ^... ^... ^... ^... ^...

4. Que remarques-tu ?

………

5.

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(15)

Dans la fenêtre Analyse, saisis les expressions ci- contre puis appuie sur la

touche d’analyse .

6. Déplace maintenant les points A, B et C et observe les résultats affichés dans la fenêtre Analyse.

Que semble-t-il se passer ?

………

7. Rédige cette conjecture sous la forme : « Si... alors... . ».

………

calc (ABAB+ACAC) =

calc (BC*BC) =

(16)

Exercice n°10 – Cours n°2 du Chapitre VI - (Comment diviser deux fractions entre elles)

1. Sachant que pour tous nombres a et b non nuls : a

b = a× 1

b , décompose de la même

façon le quotient

3 2 5 3

. (Indice : ici, a= ….

…)

3 2 5 3

= 3 2 × …..

2. Complète la fraction qui convient : 5 3 × …

… = 15 15 = …

3. Que peux-tu dire du nombre 1 5

3

par rapport à la fraction 5 3^?

C’est la f……… i……….

Déduis-en une fraction égale à ce nombre, en utilisant la réponse à la question 2 :

1 5 3

= …

…

4. Transforme alors le quotient

3 2 5 3

en produit de deux fractions :

3 2 5 3

= 3 2 × …

…

… = 3

2 × …

…

5. Complète la phrase suivante :

« Diviser par une fraction, c'est m……… par l’i……… de ………..».

6. Applique cette règle pour effectuer les calculs suivants :

10 11 7

8

=…

…× …

…

… = …

…×…

… = …×…

…×… = ……

……

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(17)

;

4 7 5

9

=…

…× …

…

… = …

…×…

… = …×…

…×… = ……

……

2 5 14

3 =…

…× …

…

… = …

…×…

… = …×…

…×… = ……

…… = ……

……

Exercice n°11 (n°55 p.38 Sésamath 4 ^èmeédition 2007)

Calcule les expressions suivantes (en étant astucieux.. ☺ : c’est beaucoup plus simple qu’il n’y paraît ‼), en justifiant le résultat :

A = 

 1− 1

5 

 1− 2

5 

 1− 3

5 

 1− 4

5 

 1− 5

5 3− 2

7

………

………..

B = 25 8 ×

23

4 − 13×27 19 23

4 − 13× 27 19

÷ 35 8

………

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(18)

C = 12 9 + 8

7+ 6 5+ 4

3+ 2 1+1

………

D = 

 2+ 3

4 × 1 2 + 3

4 −

3 7 − 8

9 8 9 − 3

7

………

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(19)

………

E =

 1− 1

2 

 1− 2

2 

 1 − 3

2 

 1− 4

2 

 1 − 5

2 

 1 − 6

3 1 − 1

2

………

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(20)

………

Exercice n°12 (Cours n°1 du Chapitre VII : savoir c alculer un taux de pourcentage)

Lors d’un sondage d’opinion effectué en avril 2009, 454 personnes sur les 1006 interrogées déclaraient ne pas vouloir voter pour les élections européennes.

1. Quel serait, au centième près, en pourcentage, le taux d’abstention (autrement dit, ramené à 100, combien de personnes ne voteraient pas) ?

Calcul(s) fait(s) :………

………

……….

Résultat arrondi au centième près : ………..

2. Plus généralement, en utilisant un tableau de proportionnalité, si a personnes s’abstiennent parmi b personnes interrogés, quelle formule donne le pourcentage d’abstention ?

Tableau de proportionnalité :

………

Formule :

………

Exercice n°13 (Cours n°2 du chapitre VII)

Dans un club de vacances, tous les ans, 80% des garçons choisissent le foot comme activité, et seulement 10% des filles.

1. En 2006, il y avait 40 filles et 40 garçons.

a. Combien de filles jouaient au foot (on arrondira au nombre entier le plus proche) ? Calcul : ………

Résultat : ………..

b. Combien de garçons jouaient au foot (on arrondira au nombre entier le plus proche) ?

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(21)

Calcul : ………

c. Au total, combien d’enfants jouaient au foot (on arrondira au nombre entier le plus proche) ?

Calcul : ………

d. En déduire le pourcentage, au dixième près, d’enfants jouant au foot dans le camp de vacance en 2006.

Calcul : ………

2. En 2007, il y avait 70 filles et 10 garçons.

a. Combien de filles jouaient au foot (on arrondira au nombre entier le plus proche) ? Calcul : ………

b. Combien de garçons jouaient au foot (on arrondira au nombre entier le plus proche) ?

Calcul : ………

c. Au total, combien d’enfants jouaient au foot (on arrondira au nombre entier le plus proche) ?

Calcul : ………

d. En déduire le pourcentage, au dixième près), d’enfants jouant au foot dans le camp de vacance en 2007.

Calcul : ………

e. Pourquoi n’obtient-on pas la même chose au 2d qu’au 1d, alors qu’il y a le même nombre d’enfants au total ?

………

……….

Exercice n°14 − Produit d'un nombre négatif par un nombre positif (Cours n°1 du Chapitre VIII) – SANS CALCULATRICE

1. On considère l'expression B = (– 2) + (– 2) + (– 2) + (– 2).

a. Quelle est la valeur de B ? ………..

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(22)

b. On va revenir sur le sens de la multiplication : 20 + 20 + 20 est la somme de trois termes tous égaux. On peut donc écrire cette somme sous la forme du produit 20 × 3 qui se lit « 20 multiplié par 3 ». Écris B sous la forme d'un produit.

B = ………..

2. Écris les expressions suivantes sous la forme d'une somme et calcule-les :

C = (– 6) × 3 = (─ 6)+……… = …………

D = (– 22) × 5 = ……….. = …………

E = (– 7) × 7 = ………. = ……….

F = (– 1,5) × 6 = ………= …………

3. Conjecture (c'est-à-dire devine) comment on peut calculer le produit d'un nombre négatif par un nombre positif.

………

Exercice n°15 − Conjecture sur le produit des nombr es relatifs (Cours n°1 du Chapitre VIII) – SANS CALCULATRICE sauf pour vérifier.

A. Voici une table de multiplication :

1. Complète la partie qui concerne le produit de deux nombres positifs (en haut à droite).

2. D'après le résultat de l'exercice n°14, complète les parties qui concernent le produit d'un nombre négatif par un nombre positif (en bas à droite et en haut à gauche).

3. Observe les régularités dans cette table de multiplication (comment passe-t-on, sur une même ligne, d’une colonne à la précédente ?) et complète-la entièrement.

B. Application sur quelques exemples :

1. En t'aidant de la table, donne le résultat pour chaque calcul suivant :

A = (– 5) × 4 = ………

B = ( ─3) × (– 2) = ………

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(23)

C = 5 × (– 4) = ……….

D = (– 1) × (– 3) = ………….

2. En t'inspirant de ce qui précède, propose un résultat pour les calculs suivants :

E = (– 9,2) × 2 = ………

F = ( ─1,5) × (– 8) = ……….

G = (– 3,14) × 0 = ……..

H = (– 1,2) × (– 0,1) = ………

3. Vérifie ces résultats à la calculatrice.

4. Propose une règle qui permet, dans tous les cas, de calculer le produit de deux nombres relatifs :

………..

………

Exercice n°16 − Justification du produit de deux n ombres relatifs – SANS CALCULATRICE

Le but de cette activité est de justifier que le produit de deux nombres de signes contraires est un nombre négatif et que celui de deux nombres négatifs est un nombre positif.

1. Calcul de (– 3,5) × 1,2 :

On considère l'expression Z = 3,5 × 1,2 + (– 3,5) × 1,2.

a. En utilisant la formule de distributivité de 5^ème , factorise par 1,2 et calcule la valeur de Z.

………

b. Que peut-on en déduire pour les nombres 3,5 × 1,2 et (– 3,5) × 1,2 ?

………..

c. Déduis-en la valeur de (– 3,5) × 1,2.

………

2. On considère l'expression N = (– k)×a + (– k) × (– a), où k et a sont des nombres positifs.

En t'inspirant de la méthode de la première partie, retrouve le signe de (– k) × (– a).

N = (– k)×a + (– k) × (– a) N = (– k)×[ ……….]

N = ..…

Donc (– k)×a et (– k) × (– a) sont ………

Donc le signe de (– k) × (– a) est : ………

(24)

Exercice n°17 (Cours n°2 du Chapitre VIII : le cas des fractions)

Une fraction est le résultat d’une division. En utilisant les résultats précédents, pour chaque fraction, écris une fraction égale, qui ne comporte pas de signe au numérateur et au dénominateur (Exemple : ─ 1

─2 = (─1)÷(─2)=+ 1 2^{) :}

a.A=─ 1

─5 = …. 1 5

b. B=─6 +7^{= ….}

6 7

c. C=+4

─5^{= ….}

4 5

d. D= ─(─7)

(─8) = ─ (……

)= ….

e. E=──7

+8 = ─ (……

)= ….

Exercice n°18 ─ Suite logique de nombres (les pointillés remplacent une SUITE de PLUSIEURS nombres !)

Donne le signe de chacun des produits suivants :

A = (─ 1) × 2 × (─ 3) × 4 × ... × (─ 9) : signe : ……

B = (─ 1) × (─ 2) × (─ 3) × (─ 4) × ... × (─ 12) : signe : ……

C = (─ 4) × (─ 3) × (─ 2) × ... × 3 × 4 × 5 : signe : ……

D = 5 × (─ 10) × 15 × (─ 20) × ... × (─ 100) : signe : ……

E = 1 × (─ 2) × 4 × (─ 8) × ... × 1 024 : signe : ……

Exercice n°19 – Cours n°1 du Chapitre IX − Un trian gle, un milieu et des parallèles - Conjecture avec TracenPoche – EN SALLE INFORMATIQUE

REMARQUE : si vous ne pouvez pas utiliser d’ordinateur, construisez plusieurs triangles ABC

quelconques et différents (au moins 4), et le milieu I de [AB] et la parallèle à (BC) passant par I.

Répondez ensuite à la question b.

a. Construction de la figure

i. Construis un triangle ABC et I milieu de [AB].

ii. En utilisant le bouton construis la droite parallèle au segment [BC] passant par le point I.

iii. À l'aide du bouton ⁵, nomme J le point d'intersection de cette droite avec [CA].

iv. À l'aide du bouton , fais apparaître les longueurs des segments [CJ] et [JA].

5 , puis

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(25)

b. Conjecture

Déplace les sommets du triangle et observe la position du point J. Que sembles-tu constater concernant la position de J ?

………

Exercice n°20 - La démonstration

Trace un triangle ABC, construit le point I milieu du côté [AB] et le point J milieu du côté

[AC]. La parallèle au côté [AC] passant par I coupe le côté [BC] en K.

1. La figure :

2. La démonstration :

Étape 1. Montre que les droites (IJ) et (BC) sont parallèles et IJ = 1 2 BC .

(IJ) et (BC) sont parallèles :

et que :……….

Or: ………

………

Donc :………

IJ = 1 2 BC :

et que :……….

Or: ………

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(26)

………

Donc :………

Étape 2. Montre que IJCK est un parallélogramme.

On sait que :

………

et que :

……….

Or :

………

………

……

Donc :………

……

Étape 3. Déduis-en que IJ = KC puis que K est le milieu de [BC]

IJ=KC :

On sait maintenant que :

………

Or :

………

………

……

Donc :………

……

K est le milieu de [BC] : On sait que :

………

et que :

……….

Donc :………

……

Étape 4. Écris la propriété que tu viens de démontrer.

Propriété n°3 : Si, dans un triangle, une droite passe ……… …… ……… … ……

……… et est ……… … …… ………… alors ………… ………

……… …… ……… …… ……… …………

(27)

Exercice n°21

ABC est un triangle. I est un point de [AB] tel que AI= 1

4AB. J est un point de [AC] tel que

AJ= 1 4AC.

1. Démontrez que (IJ) est parallèle à (BC).

………

2. On suppose que BC=8cm. Combien vaut IJ ? Prouvez-le.

………

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(28)

………

Exercice n°22

ABCD est un parallélogramme tel que AB=7 cm, BC=5 cm, AC=6 cm et BD=9 cm. I,

J, K et Lsont les milieux respectifs de [AB], [BC], [CD] et [DA]. 1. Quelle est la nature de IJKL ? Démontrez-le.

………

2. Calculez le périmètre de IJKL. Justifiez.

………

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(29)

………

3. Quelle condition supplémentaire sur ABCD faudrait-il pour que IJKL soit un losange ? Justifier.

………

(30)

Exercice n°23 – Un peu d’histoire (Cours n°1 du Cha pitre sur le théorème de Thalès)

1. Lisez ce texte trouvé sur Wikipédia :

Théorème de Thalès :

Théorème de Thalès, ou « théorème d'intersection » :

Selon Diogène Laërce (ayant vécu, au plus tôt, au III^ème siècle après J.C.), le pharaon Amasis (régnant de -571 à -526 en Égypte) aurait dit que personne n'était en mesure de savoir quelle était la hauteur de la Grande Pyramide et Thalès (né à Milet vers 625 av. J.C. et mort vers l'an 547 av. J.C.) aurait relevé le défi en calculant le rapport entre son ombre et celle d'un corps de référence, au moyen d'un gnomon ou d'un bâton :

« Ainsi, vous, Thalès, le roi d'Égypte vous admire beaucoup, et, entre autres choses, il a été, au-delà de ce qu'on peut dire, ravi de la manière dont vous avez mesuré la pyramide sans le moindre embarras et sans

Figure 1

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(31)

avoir eu besoin d'aucun instrument. Après avoir dressé votre bâton à l'extrémité de l'ombre que projetait la pyramide, vous construisîtes deux triangles par la tangence d'un rayon, et vous démontrâtes qu'il y avait la même proportion entre la hauteur du bâton et la hauteur de la pyramide qu'entre la longueur des deux ombres. »

Il est possible que Thalès ait attendu que l'ombre portée par un corps debout soit de même longueur que la hauteur de ce corps, puis ait déduit de manière empirique donc, et non théorique, qu'il devait en être de même pour la pyramide. Si ce moment coïncide avec l'alignement du Soleil avec un côté de la base, ce qui arrive deux fois par an, il suffit alors d'ajouter la longueur de l'ombre au sol avec la moitié de la longueur du côté de la pyramide pour obtenir la hauteur du bâtiment.

Le théorème formulé dans un triangle quelconque apparait effectivement trois siècles plus tard dans le Livre VI (proposition 2) des Éléments d'Euclide. Sa démonstration repose alors sur la proportionnalité d'aires de triangles de même hauteur. Denis Guedj, dans Le Théorème du Perroquet, résume cet épisode :

« Il partit simplement du principe qu'à un certain moment de la journée, l'ombre de tout objet devient égale à sa hauteur. Il ne lui restait qu'à déterminer le moment exact. Il devait également pour cela tenir compte de ce que les rayons du soleil devaient être perpendiculaires avec l'un de ses côtés, ce qui ne se produisait que deux fois par année (21 novembre et le 20 janvier). La raison de cela est que la pyramide de Khéops se trouve à Gizeh (30° de latitu de dans l'hémisphère nord) et pour que l'ombre soit égale à l'objet, il faut que les rayons solaires soient inclinés à 45°. De plus, pour que l'ombre soit perpendiculaire à la base, elle doit être orientée nord-sud. Par la suite, Thalès se servit de sa propre taille comme unité de mesure. Il obtint les résultats suivants : 18 thalès pour l'ombre, puis il mesura le côté de la base qu'il divisa par deux et obtint 67 thalès ; la pyramide de Khéops mesure alors 85 Thalès. Or en mesure locale, le Thalès valait 3,25 coudées égyptiennes, ce qui fait 276,25 coudées au total. Nous savons aujourd'hui que la hauteur de la pyramide de Khéops est de 280 coudées. Comme quoi, la mesure de Thalès était déjà passablement précise. Impressionnés par ce calcul, les prêtres lui donnèrent accès à la bibliothèque où il put consulter de nombreux ouvrages d'astronomie. »

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(32)

2. D’après le texte, à quel siècle a vécu Thalès ?

………..

3. Sur la figure 1, quelle(s) égalité(s) peut-on écrire entre « A », « B », « C » et « D » ?

………

4. Sachant que Thalès mesurait environ 1,70 m, quelle est la hauteur de la pyramide de Khéops (on précisera évidemment tous les calculs effectués, en les expliquant) ?

………

………..

………

………..

………

………..

………

………..

………

………..

………

………..

………

………..

………

………..

Exercice n°24

1. Lancez le logiciel « Tracenpoche .

2. Gardez le point A qui est déjà à l’écran, et construire deux points B et C avec .

3. Construisez les droites (AB) et (AC) ( , puis , puis clic sur A, puis clic sur

B ─ Même principe pour (AC).).

4. Construisez le segment [BC]( , puis , puis clic sur B, puis clic sur C.).

5. Placez un point P sur la droite (AB)( , puis , puis clic sur la droite ).

6. Construisez la parallèle à (BC) passant par P( , puis clic sur (BC), puis sur P). Suite PAGE SUIVANTE

(33)

7. Construisez le point d’intersection D de cette parallèle avec (AC) ( , puis , puis clic sur la parallèle, puis clic sur (AC)).

8. Dans la fenêtre Analyse, saisissez les expressions ci─contre puis

appuyez sur la touche F9 ou .

9. Que constatez-vous ?

………

10. Complétez le tableau ci-dessous avec « DP », « PA », « DA », « CB », « BA » et

« CA », en les disposant comme dans la fenêtre Analyse : Côtés du

triangle ADP

……… ……… ………

Côtés du triangle ACB

……… ……… ………

11. D’après les résultats de la fenêtre Analyse du logiciel Tracenpoche, que peut─on dire de ce tableau ?

………

……….

12. Déplacez le point P sur (AB), y compris « de l’autre côté » par rapport à [AB). Que remarque-t-on pour les rapports DP

CB^, PA BA^et

DA CA^?

………

13. Déplacez les autres points (A, B et C). Que remarque-t-on pour les rapports DP CB^,

PA BA^et DA

CA ? ………

14. A votre avis, quelle condition ne doit-on pas changer pour que les rapports restent égaux entre eux ?

………

15. Supposons que, en centimètre, AB=5 et que AP=7,5. On donne aussi AC=6 et DP=4. En utilisant le tableau de la question 10, montrez comment on peut alors calculer AD et

BC :

………

(34)

Exercice n°25

1. Rappelez la formule de l’aire d’un triangle, en l’accompagnant d’un dessin qui indique ce que désigne chaque lettre de la formule :

………

2. Sur la figure suivante où les droites en pointillés sont parallèles, que peut-on dire de l’aire de tous ces triangles ?

………

Exercice n°26 (une démonstration du théorème de Thalès)

1. Aidez-vous de l’exercice n°25 : que peut-on dire de s aires des triangles EDC et DBC ?

………

………...

2. En vous servant de la réponse à la question 1, par soustraction d’aires, en expliquant votre réponse, comparez les aires de AEC et de ABD :

………

………..

3. On note (HC) la hauteur issue de C dans le triangle ACD. Exprimez les aires de AEC

et de ADC en fonction de HC :

Aire de AEC :………

Aire de ADC : ………

h=3 cm

b=7 cm

A

B

C D

E

(EB) et (DC) sont parallèles

H

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(35)

4. En déduire que Aire(AEC)

Aire(ADC) est le quotient de deux longueurs :

………

………...

5. On note (H’D) la hauteur issue de D dans le triangle ACD. En utilisant la même méthode qu’aux questions 3 et 4, trouvez à quoi est égal le rapport Aire(ABD)

Aire(ADC)^:

Aire de ABD en fonction de H’D :………

Aire de ADC en fonction de H’D :………

Aire(ABD)

Aire(ADC) = ………

Aire(ABD)

Aire(ADC) = ………

Aire(ABD)

Aire(ADC)^{= …………}

6. En vous servant de la question 2, en déduire une égalité entre deux rapports de longueur, comme dans le théorème de Thalès.

………

Exercice n°27 : Le triangle de Sierpinski (source : Sésamath)

1. Répondre avec des 3 et des × uniquement ! La figure de départ est un triangle

équilatéral gris foncé. On construit à l'intérieur de celui-ci un triangle blanc obtenu en joignant les milieux des côtés du triangle de départ.

a. De la même façon, on construit un petit triangle blanc dans

chacun des triangles gris foncés de la figure 1. Combien obtient-on de triangles gris dans Figure de départ Figure n°1 Figure n°2

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(36)

la figure 2 ?

………

b. Imaginons que l'on continue à construire des triangles blancs dans les triangles gris foncés. Répondre uniquement avec des « 3 » et des « × » : combien a-t-on de triangles gris foncés dans la figure 3 ?

……….

dans la figure 4 ?...

Puis dans la figure 7 ?………

Et dans la figure 20 ? ………..

2. Une nouvelle notation : la notation « puissance »

La notation « puissance » est utilisée pour remplacer des produits comme dans les exemples suivants :

• 9 = 3×3 = 3² qui se lit « 3 au carré » ou « 3 puissance 2 » ou « 3 exposant 2 »,

• 81 = 3×3×3×3 = 3⁴qui se lit « 3 puissance 4 » ou « 3 exposant 4 ».

a. Écris, à l'aide de la notation « puissance », le nombre de triangles gris foncés qu'il y a dans la figure 7. : ……….

Recommence pour la figure 20. : ………..

b. À l'aide de ta calculatrice, indique combien il y a de triangles gris foncés dans la figure 13 : ………,

la figure 18 : ………, la figure 21 : ………

et enfin dans la figure 22. : ………..

Existe-t-il un moyen d'effectuer ces calculs facilement avec ta calculatrice ? Indique les touches que tu utilises :

………

………..

Exercice n°29 : Opérations avec des puissances posi tives de nombres entiers

1. Produit de puissances de 10

10²×10³ = 10×10×10×10×10 = 10^…

a. Complète les expressions ci-dessus.

b. Calcule de la même façon :

10⁵ × 10⁸ = ……… = 10^… 10⁷ × 10⁶= ……… = 10^….

… facteurs … facteurs

… facteurs au total

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Cahier - Chapitre « Découvertes »

calc (AB*AB+AC*AC) =

calc (BC*BC) =

Théorème de Thalès :

calc (ABAB+ACAC) =