A C 2 Sciences

LYCEE O. C. M'SAKEN DEVOIR DE SYNTHESE n° 1 Date : 08/12/2010

  

MATHEMATIQUES

  

Durée : 2 heures

Exercice 1 (4 points)

Pour chacune des questions suivantes une seule réponse est exacte, aucune justification n’est demandée. Indiquer la bonne réponse.

1) Pour tout réel

x

le trinôme :

2 x

²

 3 x  4

est

a/ négatif b/ positif c/ ne garde pas un signe constant sur

IR

^.

2) Soit P(

x

) =

( x

²

 3 )

²

 x

⁴

 6 x

²

 3 x  4

alors

a/ d°(P) = 4 b/ d°(P) = 2 c/ d°(P) = 1.

3) Le point J est l’isobarycentre des points pondérés (A, 1

 x

) et (B,

x 

1) si et seulement si : a/

x

= -2 b/

x

= 2 c/

x

= 0.

4) Dans le plan rapporté à un repère orthonormé (O, ÅÅi, Åj ), les points A(x, 1) ; B(x², x) et C(1, 3) sont les sommets d’un triangle rectangle en A si et seulement si

a/ x=1 ou x=−1 ou x=2 b/ x=−1 ou x=2 c/ x=2.

Exercice 2 (8 points)

1) Résoudre dans

IR

l’équation (E) : x² − 4x + 3=0 2) On pose pour tout réel x, P(x) = x³ −6x² +11x −6 a- Vérifier que 2 est une racine de P.

b- Déterminer alors les réels b et c tel que P(x) =(x – 2)(x² + bx + c).

c- Résoudre dans

IR

chacune des équations : P(x) = 0 puis P(x) = x²-4.

3) On pose F(x) = P(x) x²-7x+10

a- Déterminer l’ensemble D des réels x pour lesquels F(x) existe.

b- Montrer que pour tout x



IR\{2,5}, F(x) = x²-4x+3 x-5 c- Résoudre alors les inéquations F(x)≥0 puis F(x) < 1.

Exercice 3 (8 points)

Soit

ABC

un triangle et on désigne par

I

le milieu du segment

  BC

. 1) Construire le point

D

barycentre des points pondérés (

A

,−1) et (

B

,3).

2) Soit

K

le point défini par :

 KA  3 KB  3 KC  0

.

a- Montrer que

K

est le barycentre des points (

D ,

^{2) et (}

C

^{, 3).}

b- Montrer que les points

A

,

K

et

I

sont alignés.

c- En déduire une construction du point

K

. d- Exprimer le vecteur 2

AI

en fonction de

AK

.

3) Déterminer et construire chacun des ensembles suivants :

a- L’ensemble



des points

M

du plan tel que

 MA  3 MB

=

MB  MC

.

b- L’ensemble

C

des points

M

du plan tel que

 MA  3 MB  3 MC

= 5

AI

. 4) Soit G le centre de gravité du triangle

ABC

.

a- Montrer que

G

est le barycentre des points pondérés (

A

, 4) et (

K

, 5).

b- Déterminer alors l’ensemble A des points

M

du plan tel que

4 MA  5 MK

= 9

KG

^.

2^ème Sciences