Réels, bornes supérieures Feuille 6

Réels, bornes supérieures Feuille 6

Exercice6.1

Résoudre dansRl’équationb2x+ 1c=bx+ 4c.

Exercice6.2

Soientf:R−→Retg:R−→Rdeux applications réelles bornées. Que peut-on dire desup{f(x) +g(x)/ x∈ R}vis-à-vis desup{f(x)/x∈R}+ sup{g(x)/x∈R}?

Exercice6.3

SoientAet,Bdeux parties non vides majorées deR. 1. Démontrer que(A⊂B)⇒(supA≤supB).

2. Démontrer queA∪Best majorée et déterminersup(A∪B).

3. Démontrer queA∩Best majorée. Quelle propriété peut-on établir reliantsup(A∩B),supAetsupB?

Exercice6.4

Montrer que{q²/ q∈Q}est dense dansR+.

Exercice6.5

Montrer que ln 2 + ln 3

ln 5 + ln 7 est irrationnel.

Exercice6.6

1. Démontrer que la somme d’un rationnel et d’un irrationnel est un irrationnel.

2. Démontrer que la racine carrée d’un irrationnel stricternent positif est un irrationnel.

3. Soientr, sdeux rationnels positifs tels quc√ r,√

ssont irrationnels. Démontrer que√ r+√

sest irrationnel.

Exercice6.7

Soita∈R^∗+. Déterminer si elle existe la limite de la suite(E(aⁿ)ⁿ¹)n∈N^∗, oùEdésigne la partie entière.

Exercice6.8

Pourx∈Retn∈N^∗, montrer que õbnxc

n û

=bxc.

Exercice6.9

Inégalité de Cauchy-Schwarz :

1. Montrer que pour toutx, y∈R, xy≤ 1

2(x²+y²)

2. Soitn∈N^∗. En déduire que pour touta₁, . . . , a_n∈Retb₁, . . . , b_n∈R,

n

X

k=1

|a_kb_k| ≤ 1 2

n

X

k=1

a²_k+

n

X

k=1

b²_k

! . 3. En déduire l’inégalité de Cauchy-Schwarz :

Pour toutn∈N^∗, a1, . . . , an∈Retb1, . . . , bn∈R,

n

X

k=1

|a_kb_k| ≤ Ã n

X

k=1

a²_k à n

X

k=1

b²_k.

Quentin De Muynck Sous licencecbea

FEUILLE VI - RÉELS, BORNES SUPÉRIEURES

4. Montrer que pour toutn∈N^∗eta1, . . . , an∈R,

n

X

k=1

ak ≤√ n

à n

X

k=1

a²_k.

5. Montrer que, pour tout réelsx, y, zstrictement positifs :

  x+y x+y+z +

  y+z x+y+z+

  z+x

x+y+z ≤√ 6

Exercice6.10

Montrer que{√ m−√

n /(n, m)∈N²}est dense dansR.

Exercice6.11

Soit(a, b)∈R²aveca < b. Toutes les suites de cet exercice seront à valeurs dans[a, b].

Soit(xn)une suite.

On poselim sup(x_n) = lim

n→+∞sup

k≥n

x_k. etlim inf(x_n) = lim

n→+∞inf

k≥nx_k.Montrer que ces notions sont bien définies.

Soit(yn)une seconde suite.

1. Montrer que si :∀n∈N, xn≤yn,alorslim sup(xn)≤lim sup(yn)etlim inf(xn)≤lim inf(yn).

2. Montrer quelim sup(xn+yn)≤lim sup(xn) + lim sup(yn)et quelim sup(xn) + lim inf(yn)≤lim sup(xn+ yn).

3. On suppose que :∀n ∈ N, xn ≥ 0et yn ≥ 0: Montrer qne lim sup(xn) lim inf(yn) ≤ lim sup(xnyn) ≤ lim sup(xn) lim sup(yn).

Exercice6.12

Soit I un segment non vide de R. Soit f :I −→ R une application continue. Montrer que, pour tout λ ∈ f(I), λ=f(inf{z∈I / f(z) =λ}).

Exercice6.13

On munitE = [0,1]×[0,1]de l’ordre lexicographique. Montrer que toute partie non vide deEadmet une borne supérieure. Ce résultat subsiste-t-il avecE= [0,1]×]0,1]?

Exercice6.14

Montrer que{cos(ln(n))/ n∈N, n≥2}est dense dans[−1,1].

Exercice6.15

SoitAune partie non majorée deR+. Montrer queB = [

n∈N^∗

1

nAest dense dansR+.

Exercice6.16

On noteGl’ensemble des applicationsf de classeC¹ de[0 ; 1]dansRtelles quef(0) = 0etf(1) = 1.

Déterminer inf

f∈G

Z 1

0

|f⁰(x)−f(x)| dx.

Exercice6.17

1. Soitn∈N^∗Soientx1, . . . , xn+1 des réels de l’intervalle[0,1]. Montrer qu’il existei, j ∈N^∗ tel que1≤i <

j≤n+ 1et|x_i−xj| ≤ _n¹.

2. Soit x ∈ R\Qavecx > 0.Montrer que, pour toutN ∈ N^∗, il existeq ∈ N^∗ et p ∈ Ntel que q ≥ N et

x−p q

≤ 1 q².

3. Montrer qu’il existec >0tel que, pour toutq∈N^∗etp∈N,

√ 2−p

q

≥ c q².

Quentin De Muynck 2 Sous licencecbea