THÉORIE DES NOMBRES Années 1996/97-1997/98 BESANÇON
C a l c u l d e s c l a s s e s d e S t i e f e l - W h i t n e y d e s f o r m e s d e P f i s t e r
G . B E R H U Y
C a l c u l d e s c l a s s e s d e S t i e f e l - W h i t n e y d e s f o r m e s d e P f i s t e r
G r é g o r y B e r h u y
I n t r o d u c t i o n : Le but de ce qui suit est de calculer les classes de Stiefel- W h i t n e y des formes de Pfister. On en déduira alors celles de la forme trace d ' u n produit d'algèbres de quaternions, muni d ' u n p r o d u i t tensoriel d'involutions de première espèce.
R a p p e l s e t n o t a t i o n s : Soit k un corps de caractéristique différente de 2. On note Hm( k ) les groupes de cohomologie Hm( G a l ( ks e p/ k ) , Z / 2 Z ) . Si a £ A;*, on note (a) l'élément de H1( k ) correspondant. Il est bien connu que I il( k ) s'identifie à k*/k*2, et que H2( k ) s'identifie au noyau de la multiplica- tion par 2 dans le groupe de Brauer de k. On rappelle que (a) + (b) = (ab), pour a, 6 € k*. Si x 6 Hm( k ) et y £ Hn( k ) , on note x.y leur cup-produit. Le cup-produit (a).(b) correspond à l'algèbre de quaternions (a, 6) sur k. En par- ticulier, on a les relations suivantes, déduites des propriétés des algèbres de quaternions: (a).(a) = (a).( —1), (l)-(a) = 0, et (a).(—a) = 0. E t a n t donné que l'on travaille m o d u l o 2, le cup-produit induit sur H*(k) = © Hm( k ) une
m>0
s t r u c t u r e d ' a n n e a u commutatif. Soit q une forme q u a d r a t i q u e non-dégénérée de rang n sur k. Si q ~ < a i , - - - , an > , et si r > 0, on définit la r-ième classe de Stiefel-Whitney de q par wr(q) = J2 (an ) ' " ' (air) - C'est
l<t'i<-<ir<n
u n élément de Hr( k ) , qui ne dépend pas de la diagonalisation de q choisie (cf [1]). On a en particulier w0(q) = 1, wi(q) — (detç). Q u a n t à w2(q), c'est l'invariant de Hasse-Witt de q. R e m a r q u o n s que si m > n, on a wm(q) = 0. On définit enfin l'élément de H*(k), appelé classe totale de Stiefel-Whitney de q, w(q) = J2m> 0 wm(q)- Si q' est u n e a u t r e f o r m e quadra- tique non-dégénérée sur k, on a w(q 1 q') = w(q).w(q') (cf [1]), c'est-à-dire wm( q 1 q') = E W j ( q ) . wm m- j ( 4 ) , pour tout m > 0.
Si a i , • • • , am € k * , « a i , • • • , a3=0 m » désigne la forme q u a d r a t i q u e
<8> < l,Oj > , appelée une m - f o r m e de Pfister. Si m > 1 est un entier, rnq m i - l
désigne la s o m m e orthogonale de m copies de q.
Si A est une algèbre centrale simple sur fc, on note T r d ^ la trace réduite de A. On rappelle q u ' u n e involution a sur A est de première espèce si sa restriction à k est l'identité. La f o r m e ( x , y ) G A x A h-> T r d ^ f ( s ) y ) est une f o r m e q u a d r a t i q u e sur k, que l'on note Pour t o u t ce qui concerne les algèbres centrales simples, on p o u r r a consulter [4], et plus précisément [2]
pour les algèbres à involution.
1 . E f f e t d e l a m u l t i p l i c a t i o n p a r u n s c a l a i r e s u r l e s c l a s s e s d e S t i e f e l - W h i t n e y
L e m m e 1.1: Soit A un anneau c o m m u t a t i f , et soient X \ , • • • , Xn n indéter- minées indépendantes. Pour 0 < m < n, on note am le rn-ième polynôme symétrique élémentaire de A [ X - , Xn } . Alors pour t o u t A € A, on a 0~m(X 1 + A, • • • , Xn + A) = E Ch-m+j^m 3 ( Tm-j-
]=0 n n
P r e u v e : Soit T u n e a u t r e indéterminée. On a alors f ] ( T 4- X\) — Y l , T3 ay i=i j=o On a donc f l (T + A + Xt) = E T ^ a ^ X , + A, • • • , + A) = f ( T + A ) ^ ,
/=i ./'=o j=o 71 J 71 Tt Tl 71
= E = E ^ ' E q A ^ - V , = Z Tn~l E c p \ j -n + ian_3
j=0 i=0 1=0 j=i i—0 j—n-i
= Ê r - ' È c ^ A V i - , = ± T "
i=o j=0 »=o j= o
On a alors le résultat annoncé par identification.
P r o p o s i t i o n 1.1: Soit q une forme q u a d r a t i q u e non-dégénérée de rang n sur fc, et soit A € k*. Pour 0 < m < n, on a wm( < A > ® q ) =
E Cm J n_m + J{ X y . wm^ ( q ) . j=0
P r e u v e : On r e m a r q u e que si q ~ < oi, • • • , an > ,
on a wm( q ) = am( ( a x ) , • • • , ( « „ ) ) , et en t e n a n t compte de l'égalité (Aai) = (A) + (a{), il vient wm( < A > ® ç ) = <r((A) + ( a i ) , - - - ,(A) + ( an) ) . On ob- tient alors le résultat en appliquant le lemme 1 avec l'anneau c o m m u t a t i f A = H*(k), et en spécialisant convenablement.
2 . C l a s s e s d e S t i e f e l - W h i t n e y d e s f o r m e s d e P f i s t e r e t p r o d u i t d ' a l g è b r e s d e q u a t e r n i o n s
On détermine dans ce paragraphe les classes de Stiefel-Whitney des formes de Pfister, ainsi que celles de la f o r m e trace d ' u n produit d'algèbres de quater-
nions m u n i d ' u n produit tensoriel d'involutions de première espèce.
Si a i , • • • , am € k*, on note qm la m - f o r m e de Pfister < < a i , • • • , am » . P r o p o s i t i o n 2 . 1 : Si r > l , r ^ 2m _ 1, on a wr( qm) = 0.
On a u r a besoin du l e m m e suivant:
L e m m e 2 . 1 : Si m > 1, et si 0 < r < 2m, on a Cr2m = 0[2],
P r e u v e d u l e m m e 2 . 1 : Il suffit de m o n t r e r que (1 + X)2"1 = 1 + X2"1
m o d 27L\X\. Or, ceci est clair pour m = 1 et le cas général se t r a i t e par une récurrence i m m é d i a t e .
P r e u v e d e l a p r o p o s i t i o n 2 . 1 :
• On t r a i t e d ' a b o r d les cas m = 1 et m = 2. On a uv(<7i) = 0 si r > 2 car çi est de rang 2, et io2(<?i) = ( l ) ( « i ) = 0. D ' a u t r e part, wi(q2) = (detç2) = 0, ^3(92) = ( l ) ( a i ) ( a2) + ( l ) ( a i ) ( a i a2) + ( l ) ( a2) ( a i a2) + ( a1) ( a2) ( a i a2) = ( a1) ( a2) ( ( - a1) + ( ~ a2) ) = ( a i ) ( - a . i ) ( a2) + ( a i ) ( a2) ( - a2) = 0, et 1^4(92) = ( l ) ( a i ) ( a2) ( a i a2) = 0. Le résultat est donc vrai si m = 1 et m = 2.
• On procède par récurrence sur m . D'après le point précédent, la proposition est vraie pour m = 2. Supposons qu'elle est vraie pour m > 2. On a qm +1 = qm 1 < am +i ><8>qm, et donc wr( qm + ï) = J 2 w j ( qr m) wr- j ( < am + 1 > ® qm) . On traite plusieurs cas séparément. 3=0
1. 1 < r < 2"1-1
L'hypothèse de récurrence entraîne alors wr( qm+ i ) = wr( < am +i > ® qm) r
= E C r - r + i (f lm + i )3- » r - i ( ? m ) = C2m ( am +i )r = 0, d'après le lemme 3.1. i=o
2. r = 2m _ 1
On a. dans ce cas w2m - i ( qm + l) = w2m-i(qm) + w2».-i(< am +i ® qm >
2m-i
) = w2m-i(qm) + E CJ 2 m_2 r n-1 + J( am + iy w2m - i _}( qm) = w2™-i(qm) + 3-0
w2m-\(qm) + C \m ( am +i )2 = 0, car on travaille m o d u l o 2.
3. 2m~~1 < r < 2m
Ici on a wr( qm +i ) = wr( qm) + wr( < am +1 > ® qm) + w2m - i ( qm) . wr-2 m- i ( <
«m+i >®(lm)• P a r hypothèse, on a wr( qm) = 0. D ' a u t r e p a r t , 0 < r — 2m~1 < 2m~1. D'après le calcul effectué dans le premier cas, on a alors
«V_2m-i(< am +i ® qm) = 0. De plus, wr( < am +i ® qm) = C2m ( am+ i Y + Cjm-i ( « m + i )r - 2 m -w2m-'(Çm) = 0 d'après le l e m m e 2. On a donc wr( çm +i ) = 0.
4. 2m < r < 2m + 1 On a u v ( çm + 1) = wr( qm) + wr( < am + l > ® qm) + w2m-i (qr n).wr_2m-i ( < am +i > ® qm) . Par hypoyhèse. on a wr( qm) = 0, et on m o n t r e c o m m e p r é c é d e m m e n t que wr( < am+i(S)qm > ) — 0. Enfin,
r-i"1-1 .
Wr_ 2m - l ( < am + i > ® qm) = X] C^""1 —(r —2m—1 )+j + l —2m_1 —j (?m) = C2 r m( am +i )r _ 2 m _ 1 + C ^ m - r ^ - i C Ç m ) = o, et donc u v ( çm +i ) = 0.
Finalement, la proposition est vraie au rang m + 1 , ce qui achève la récurrence.
P r o p o s i t i o n 2 . 2 : Pour m > 1, on a
w2^ ( qm) = Z ( am , J) ( - a] + 1) ( - aJ + 2) - - - ( - am) ( - l )2 ' • 3 = 1
2m
P r e u v e : O n a t u i ( ç i ) = ( a ^ et w2™(qm+i) = E wJ( qr n) w2^ - j ( < am + 1 > ® qm) j=o
= w2m - i ( qm) w2m - i ( < am +i > ® qm) + w2™(< am +i > ® qm) grâce à la propo- sition précédente. On obtient par le m ê m e argument
( am + 1)2 m + w2<n-i(qm).(am +i)2 r n~ et w2m - i ( < am + i > ® qm) = w2m-i(qm).
On a donc w2™(qm + 1) = w2m-i(qm)2 -f ( am +i )2 m + ( am+ i )2 m (<7m) pour tout m > 1. Une récurrence i m m é d i a t e nous m o n t r e que (A)2 = (A)( — l )2 - 1
pour A € fc*. D ' a u t r e p a r t , on voit facilement, en t e n a n t c o m p t e que l'on travaille modulo 2 et en utilisant le fait que (a)(a) = ( —l)(a), que
w2m-i(qm)2 = ( - 1 )2"1 - .w2m-i(qm).
On a donc w2m ( qm + l) = [( —l)2™ ~1. ( am + 1) + ( - l )2" ].w2m-i(qm)
+ ( - l )3 m-1( am +i ) = ( - l )2 m- ' - i ;[ ( f lm + 1) + ( - l ) ] .W 2- i (Ç M) + ( - l f -1( f lm +i ) . On a alors w2m ( qm + l) = ( - l )2™ ~l( - am +i ) . w2™ - i ( qm) + ( - l )2 m - 1( om +i ) . On en déduit alors la proposition par une récurrence immédiate.
On suppose m a i n t e n a n t que A est un produit d'algèbres de quaternions. A est donc en particulier une algèbre à involution. On a alors le résultat suivant:
T h é o r è m e 2 . 1 : Soient Q i , - - - , Qm des algèbres de quaternions, munies respectivement d'involutions de première espèce al 7- • • ,crm. On pose A = Qi ® • • • <8> Qm et cr = a i ® • • • am. Alors il existe «i, • • • , a2 m £ k* tels que Ta ~ < 2m >(g} < < ai, • • • , a2 m » . En particulier,
w(Tf f) = 1 + E K ) ( - aJ + 1) ( - a ,+2 ) • • • ( - a ^ X - l )2 2" -1-2" * ' - -1. 3 = 1
P r e u v e : Il est bien connu que si ( A ^ a i ) et ( A2, a2) sont deux algèbres centrales simples sur k, dont les involutions sont de m ê m e espèce, alors Termes ^ Ta i ®T„2. Si C{ est symplectique, on sait alors que c'est l'involution canonique de Qi. Si on a Qi = (a,f3), alors on en déduit aisément Ta,
~ < 2 > ® « — a , — 0 > > . Si (7; est orthogonale, on sait alors qu'il ex- iste deux éléments i , j de Qi tels que 1 , i , j , i j soit une base de Qi sur k:
orthogonale pour Ta r Posons a = i2 et /3 = j2. Alors Qi = (a,/?) et
~ < 2 > ® < < - a , ( 3 » (cf.[3], §2.1.2). Enfin, un calcul facile m o n t r e que w22m-i(< 2 > ® q ) = w22m-i(q), si q est une 2m-forme de Pfister. Les propositions 2.1 et 2.2 nous donnent alors le résultat.
B i b l i o g r a p h i e
[1] DELZANT A. Définition des classes de Stiefel-Whitney d'un module quadra- tique s u r un corps de caractéristique différente de 2. C.R.Acad.Sci. Paris 2 5 5 , 1366-1368 (1962)
[2] K n u s M . - A . , M e r k u r j e v A . , R o s t M . , T i g n o l J . - P . The Book of Involutions. A.M.S. Colloquium Publications 4 4 (1998)
[3] QUEGUINER A . Invariants d'algèbres à involution. Thèse de l'université de Besançon n ° 5 5 5 (19-96)
[4] SCHARLAU W. Quadratic and H e r m i t i a n Forms. Grundleheren M a t h . Wiss. vol. 2 7 0 . Springer-Verlag. New York (1985)
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