GCI 210 – Résistances des matériaux

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GCI 210 – Résistances des matériaux

Chargé de cours - Olivier Girard Hiver 2009

www.civil.usherbrooke.ca/cours/gci210/

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Chapitre 4 : Contraintes normales de flexion dans les poutres (299 - 388)

 4.1 Diagramme des efforts tranchants et des moments fléchissants ^(310-322)

 4.2 Moment d’inertie de surfaces ^(C-0)

 4.3 Flexion élastique des sections symétriques (338-362)

 4.4 Flexion élastique des sections composées de plusieurs matériaux ^(362-369)

 4.5 Flexion inélastique des sections symétriques ^(379-

389)

 4.6 Flexion composée de sections symétriques ^(369-374)

 4.7 Flexion élastique des sections quelconques ^(374-379)

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Chapitre 4 : Contraintes normales de flexion dans les poutres

La paternité de la théorie des poutres revient à Gallilée (1564-1642)

•Étude de la déformation des poutres

•Hypothèse fausse : contrainte de tension et de compression uniforme

DaVinci l’aurait par contre précédé (1452-1519)

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Chapitre 4 : Contraintes normales de flexion dans les poutres

La pièce manque de Gallilée était la théorie développée par Robert Hooke (1635-1703)

•La loi de Hooke : la contrainte à l’intérieur d’un élément est une fonction linéaire de la déformation

Leonhard Euler (en couleur) et Jacques Bernouilli (noir et blanc) ont développé la première théorie utile en 1750. Le neveu de Jacques, Daniel, développe l’expression différentielle de cette théorie.

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Chapitre 4 : Contraintes normales de flexion dans les poutres

La théorie des poutres ne fut qu’utilisée à partir des années 1880 avec la construction des

grandes roues et de la tour Eiffel (1889).

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Chapitre 4 : Contraintes normales de flexion dans les poutres

 4.1 Diagramme des efforts tranchants et des moments fléchissants

(310-322)

 Notions de DET et DMF

Équilibre de l’élément dx (« double coupe »)

ΣFy = 0 = -V + pdx + (V+dV) ; donc p = - ( dV / dx ) ΣM_gauche = 0 = -M + (M + dM) + (V + dV)dx + (pdx * dx/2)

puisque dx est petit, dx² est très près de 0 ; donc dM + Vdx = 0

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 Notions de DET et DMF

Les conclusions de l’équilibre de l’élément dx sont : dV = -pdx

dM = -Vdx

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 Propriétés des DET et DMF

 Le DET et le DMF sont obtenus en intégrant la charge sur la poutre

 Le DET est la dérivée du DMF, en mathématique, lorsque la dérivée d’une fonction est nulle, il y a présence d’un maximum

 Il y a un saut dans un DET lorsqu’il y a présence d’une charge concentrée

 Il y a un saut dans un DMF lorsqu’il y a présence d’un moment concentré

 Le sens des pentes et le sens de la concavité des graphiques dépendent du « signe » de la fonction

 Sur une poutre horizontale, la fibre inférieure est tendue et la fibre supérieure est comprimée lorsque le moment est positif et inversement

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 4.2 Moment d’inertie de surface ^(C-0)

 Surface simple

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 4.2 Moment d’inertie de surface

 Changement d’axes

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 Surface composée

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 Surface composée

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 Surface typique

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 Surface typique

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 4.3 Flexion élastique des sections symétriques ^(338-362)

 Hypothèse de calcul

 Matériau homogène et isotrope

 Poutres rectilignes

 Section avec au moins un axe de symétrie

 Moment agissant dans un plan de symétrie qui n’est pas l’axe de symétrie lorsque la section comporte un seul axe de

symétrie

 Les déformations sont petites

 La loi de Hooke s’applique

 Les sections planes restent planes après déformation

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 4.3 Flexion élastique des sections symétriques

 Équation de la contrainte

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 Équation de la déformée

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 Dimensionnement des poutres en flexion

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 Dimensionnement des poutres en flexion

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 4.4 Flexion élastique des sections composées de plusieurs matériaux (362-369)

 Cas général

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 4.4 Flexion élastique des sections composées de plusieurs matériaux

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 4.4 Flexion élastique des sections composées de plusieurs matériaux

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 4.5 Flexion inélastique des sections symétriques ^(379-389)

 Le problème consiste à déterminer sur des sections ayant au moins un axe de symétrie :

 le moment élastique pour lequel la contrainte maximale en tension ou en compression atteint la limite élastique

 le moment plastique pour lequel toutes les contraintes en tension ou en compression ont atteint la limite élastique

 le moment élasto-plastique produisant un état de contrainte élasto- plastique sur la section

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 4.5 Flexion inélastique des sections symétriques

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 4.5 Flexion inélastique des sections symétriques

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 4.6 Flexion composée des sections symétriques (sections ayant 2 axes de symétrie) ^(369-374)

 la flexion combinée due aux 2 moments de flexion autour des 2 axes de symétrie,

 la flexion déviée pour laquelle le moment de flexion se décompose en 2 moments de flexion autour des axes de symétrie,

 la flexion produite par des charges axiales excentriques,

 la flexion combinée avec un effort axial (murs de soutènement),

 la flexion combinée dans le domaine plastique.

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 4.6 Flexion composée des sections symétriques (sections ayant 2 axes de symétrie)

 Flexion élastique déviée

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 Flexion élastique déviée suite

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 Flexion élastique combinée

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 Flexion élastique combinée

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 Flexion composée inélastique

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 4.7 Flexion élastique des sections quelconques ^(374-379)

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 4.7 Flexion élastique des sections quelconques

 Axes principaux d’inertie

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 Équation des contraintes par rapport aux axes Y’ et Z’

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 Équation des contraintes par rapport aux axes principaux d’inertie