proj oy A B / : + − 2 F = 0

(1)

Rep - FLEXION PLANE ASPECT PHYSIQUE 181

Rep. Ex 2-

1- Pour calculer les réactions des appuis simples, il faut appliquer le PFS :

∑ F      

_ext

= + + + = A B F F 0

et

proj oy A B / : + − 2 F = 0

∑ M F     

_/_A



_ext

= M

_/_A

 A M B +

_/_A

 + M F

_/_A

 + M F

_/_A

  = 0

et

proj oz / :0 + B  ⋅ 3, 5 −  F ⋅ − 1 F  ⋅ 2, 5 = 0

Donc :

B  = F  =

3000 N

et

A  = F  =

3000 N 2- Les efforts tranchants T_yet les moments fléchissants M_fGz

 Zone AC

0 ≤ ≤ x 1

♦

T

y

= − [ ] A = − ³⁰⁰⁰ N

♦

[ ] ⁰

30 1 00

0;

;

fGz fGz

fGz

x M

M A x s Nm

i m

M N

x

= =

= − − ⋅   =  =

 Zone CD

1 ≤ ≤ x 2,5

♦

T

y

= − [ A − F ] = ⁰ N

♦

[ ] ³⁰⁰⁰

300 ( 1;

2 ; 0

1) , 5

fGz fGz

fGz

N

x M

M A x F m

x si N

x M m

= =

= − − ⋅ + ⋅ −   =  =

 Zone DB

2,5 ≤ ≤ x 3,5

♦

T

y

= + [ ] B = ³⁰⁰⁰ N

♦

[ ⁽³ ^{, 5} ⁾ ] ^{2, 5;} ³⁰⁰ ⁰

3, 5; 0

fGz fGz

fGz

x M

M B x si

x

N M

m Nm

= =

= + ⋅ −   =  =

Pour la représentation graphique, il faut choisir une échelle des efforts tranchants

et des moments fléchissants.

(Échelle  des forces : 1cm 3000 N  des moments : 1cm 3000 N.m)

Rep. Ex 3-

1- Calculer des réactions de l'appui simple et de l'articulation en A, appliquer le PFS :

∑ F     

_ext

= + + A B R

_C

= 0

et

proj oy A B R / : + −

_C

= 0

∑ M F    

_/_A



_ext

= M

_/_A

 A M B +

_/_A

 + M R

_/_A

 

_C

= 0

et

proj oz / :0 +  B ⋅ − 1 R 

_C

⋅ = 3 0

Donc :

3 80 0 3

2400

C

1

daN

B = R ⋅ = ⋅ =

 

et

 A = R 

_C

− B  = − 1600 daN

2- Les efforts tranchants Ty et les moments fléchissants MfGz :

 Zone AB :

0 ≤ ≤ x 1

_;♦

T

y

= − − [ ¹⁶⁰⁰ ] = ¹⁶⁰⁰ d aN

et ♦

[ ] ⁰

1 0;

1600 1; 600

fGz fGz

fGz

daNm daN

x M

x M m

M si

x −

= =

= − ⋅   =  =

 Zone BC :

1 ≤ ≤ x 3

_;♦

T

y

= + − [ ⁸⁰⁰ ] = − ⁸⁰⁰ daN

et ♦

[ ^{800 (3} ⁾ ] ¹ ^; ¹⁶⁰

3;

0 0

fGz fGz

fGz

x M

M x si

x M

daNm daNm

−

= =

= + − ⋅ −   =  =

La réaction est portée par l'axe -y - 3000 N

3000 N 0 N

3000 Nm

(2)

Échelle  des forces : 1 cm 1600 daN  des moments : 1cm 1600 daN.m)

Rep. Ex 4-

1- Les efforts tranchants T_yet les moments fléchissants M_fGz

 Zone AB

0 ≤ ≤ x 0, 04

♦

^N ^{= − −} [ ⁹⁹⁰ ] ⁼ ⁹⁹⁰ ^N

♦

T

y

= − − [ ⁸⁰⁰ ] = ⁸⁰⁰ N

♦

[ ⁸⁰⁰ ] ^0; ⁰

0, 04; 32

fGz fGz

fGz

x M

M x

si Nm

x M

= =

= − + ⋅   =  = −

 Zone BC

0, 04 ≤ ≤ x 0,12

♦

^N ^{= +} [ ] ⁹⁹⁰ ⁼ ⁹⁹⁰ ^N

♦

T

y

= + − [ ⁴⁰⁰ ] = − ⁴⁰⁰ N

♦

[ ^{400 (0,12} ^{) ;} ] ^{0, 04;} ³

12; 0

0,

fGz

2

fGz

x M

M x si

x M

= = Nm

= + − ⋅ −   = =

−



2- voir les graphes : 3- ♦

max

990 N

N =

le long de la poutre (Traction).

♦

max

800

y

N

T =

dans la zone AB.

♦

max

32

fGz

m

M = N

au point B, (C'est la zone la plus sollicité).

4- Contrainte normale due à l'effort normal N : ₁

990 990 6.(16 5) 6 1

6 5

N

S MPa

σ = = = =

−

5- Contrainte normale due au moment flecissant MfGz :

( )

3 2

3 3

32 10

( ) ( 8)

6 16 5 1

128, 93

2

fGz Gz

M y

I MPa

σ = − ⋅ ± = − ^{− ⋅} ⋅ ± = ±

−

6- Représentation des contraintes : (1 cm 30 Mpa)

G x

y

σ

2 max

= 128,93 MPa

2 max

128,93 MPa

σ = −

G x

y

1max

15 MPa

σ =

+

(3)

Rep - FLEXION PLANE ASPECT PHYSIQUE 183

POUTRES ENCASTRÉES Rep. Ex 6-

1- Les réactions de l’encastrements (C

et M_C

), appliquer le PFS :

ext

0 F = + + = A B C

∑     

et

proj oy / : − − + = A B C 0

d'où

C = 860 106 + 0 = 1 20 9 N

c.à.d:

C  = 1920  y ( e N n )

/_C _ext /_C /_C /_C _C

0 M F = M A M + B + M C + M =

∑          

et

proj oz A a b / : ⋅ + + ⋅ + ( ) B b M

_C

= 0

Donc :

M

_C

= − 860 2 1060 1, 2 ⋅ − ⋅ = − 2992 Nm

; c.à.d :

M  

_C

= − 2992 z e  ( n N m )

2- Les efforts tranchants T_yet les moments fléchissants M_fGz :

 Zone AB :

0 ≤ ≤ x 0,8

_;♦

T

y

= − − [ ⁸⁶⁰ ] = ⁸⁶⁰ N

et ♦

[ ⁸⁶⁰ ] ^0;

0,8;

0 688

fGz fGz

fGz

N

x M

M x s m

i N

x M m

= =

= − ⋅   =  = −

 Zone BC :

0,8 ≤ ≤ x 2

_;♦

T

y

= + [ ¹⁹²⁰ ] = ¹⁹²⁰ N

et ♦

[

^{1920 (2} ^{) 29}

]

^0,8; ⁶⁸⁸

92 2

2; 992

fGz fGz

fGz

Nm Nm

x M

M x si

x M

= =

= + ⋅ − − 

= =−

 −



3- Pour la représentation graphique, il faut choisir une échelle des efforts tranchants

Échelle  des forces : 1 mm 100 N  des moments : 1 mm 100 N.m Voir les graphes :

4- La section dangereuse se trouve au point C, car,

max

1920

T

y

= N

dans la zone BC

max

2920

M

fGz

= Nm

au point C

5- Contrainte normale due au moment flecissant MfGz :

3 max

max 3

max

2992 10 12

25 100 50 71,808

fGz i x

Gz

y MP

I a

σ = M ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =

⋅



6- si,

  A = 0

,

dans la zone AB :

M

_fGz

= 0

;

EI y

_Gz ^''_AB

= 0

dans la zone BC :

M

_fGz

= − B x a ( − )

;

EI y

_Gz ^''_BC

= − B x ( − a )

1^er intégrale :

EI y

_Gz ^'_AB

= k

₁et

2 '

2

( )

Gz BC

2 B x a EI y = − − + k

2^ème intégrale :

EI y

_Gz _AB

= k x k

₁

+

₃et

3

2 4

( )

Gz BC

6 B x a

EI y = − − + k x k +

Les conditions initiales :

x =  ; y

^'_BC

( )  = 0 et y

_BC

( )  = 0

^⇒

2

2 k = Bb

et

2

4

(2 )

6 k = − Bb  + a

x = a y ;

^'_BC

( ) a = y

^'_AB

( ) a et y

_AB

( ) a = y

_BC

( ) a

⇒

k

₁

= k et k

₂ ₃

= k

₄

Donc :

3 2 2

1 ( )

( ) (2 )

6 2 6

BC

Gz

B x a Bb Bb

y x x a

EI

 − 

=  − + − + 

  

^{Alors :}

3

( ) 3

BC

Gz

y a Bb

− EI

=

G x y

max

143,93 MPa σ =

max

113,93 MPa σ = −

Zone tendue Zone comprimée

Déplacement de la fibre neutre

=

(4)

Rep. Ex 7-

1- Les réactions de l’encastrements (

R 

_O

et

M 

_O

), appliquer le PFS :

ext O

0 F = Ft + R =

∑    

Alors

R 

_O

= − = Ft  Ft y ⋅ 

et

∑ M   

_/_O

 F

_ext

= M

_/_O

 Ft + M

_/_O

   R

_O

+ M

_O

= 0

Alors

M 

_O

=

Ft ⋅ ⋅h z 2- 3- La zone OA :

0 ≤ ≤ x h

;

0; 0

( )

;

fGz fGz

fGz

x M

M Ft h x si

x h M F t h

= =

= −   =  = ⋅

4- La condition de résistance : ^max _max ₃

max

12

2

fGz

adm Gz

M Ft h s

I y b s

σ = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ≤ σ

⋅



5- Relation de m :

12 2, 25

₃

5, 4768

₂

2 2

2

adm

Ft m m Ft

m k m k m

π σ

π

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ≤

⋅ ⋅

 ⋅ 

⋅ ⋅   

⇒ 2, 34

adm

m Ft

k

σ

≥ ⋅

6- Calcul de m :

2 2 5 10

3

2, 34 2, 34 1, 654

10 10 200

adm

m C

dk σ

≥ = ⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ ⋅

^{Alors :}

m = 1, 654 m m

Rep. Ex 8-

1- Résolution par torseur : La poutre 1 est en équilibre sous l'action de 3 torseurs des forces extérieurs :

♦ Torseur force en A :

{ }

3/1

0 0 500 0 0 0

A

τ

 

 

= −  

 

 

♦ Torseur force en B :

{ }

4/1

0 0 250 0 0 0

B

τ

 

 

= −  

 

 

♦ Torseur force en C :

{ }

2/1

L

C C

C

C C C

X Y M Z N τ

 

 

=  

 

 

Appliquer le PFS sur la poutre 1 :

∑ { τ

^{Fext A}^/

}

A

= { } ⁰ ^

Exprimons tous les torseurs en même point ; A par exemple : (relation de transport des moments)

 _/ _4/1 _/ _4/1 _4/1

0 0, 047 0 0

0 0 250 0

0 0 0 11, 75

A B

M B M B AB B

       

       

= + ∧ =    +   ∧ −   = 

       − 

       

     

Donc :

{ }

4/1

0 0 250 0 0 -11,75

A

τ

 

 

= −  

 

 

 / 2/1 / 2/1 2/1

0,105

0 0,105

C C C

A B C C C C

C C C C

L X L

M C M C AC C M Y M Z

N Z N Y

       

       

= + ∧ = + ∧  = − ⋅ 

 

       + ⋅ 

     

    

Donc :

{ }

2/1

L

0,105

C C

C C C

A

C C C A

X

Y M Z

Z N Y

τ

 

 

= − ⋅ 

 + ⋅ 

 

PFS :

{ } { } { } τ

^3/1 A

+ τ

^4/1 A

+ τ

^2/1 A

= { } ⁰ 

L

0 0 0 0 0 0

500 0 250 0 0,105 0 0

0 0 0 -11,75 0,105 0 0

C C

C C C

A A A

X

Y M Z

Z N Y

 

     

 −  + −   +  − ⋅  =  

       

     + ⋅   

       

ce qui donne :

0 750

0

C C

C

X Y Z

=

et

0 0

67

C C C

L M N

=

= −

Alors le torseur statique au point C :

{ }

2/1

0 0 750 0 0 -67

C

τ

 

 

 

 

 

=

Ou bien :

    A + + = B C 0 ; proj oy / : 500 250 − − + = C 0

;

/_A 3/1 /_A 4/1 /_A 2/1 _C

0 M A + M B + M C + M =

       

;

proj oz / :0 − ⋅ B 0, 047 + ⋅ C 0,105 + M

_C

= 0

; Alors :

C = 750 N  y

et

M

_C

= 250 0, 047 750 0,105 ⋅ − ⋅ =

−67 Nm z

(5)

Rep - FLEXION PLANE ASPECT PHYSIQUE 185

 Zone AB :

0 ≤ ≤ x 0, 047

_;♦

T

y

= − − [ ⁵⁰⁰ ] =

⁵⁰⁰ N^et ♦

[ ⁵⁰⁰ ] ^0;

0, 047;

0 23, 5

fGz fGz

fGz

x M

M x si

x M m

Nm

N

= =

= − ⋅ 

= −

 =



 Zone BC :

0, 047 ≤ ≤ x 0,105

_;♦

T

y

= + [ ] ⁷⁵⁰ =

⁷⁵⁰ N

♦

[ ^{750 (0,105} ^{) 67} ] ^{0, 047;} ^23,

0,1

5 05; 67

fGz fGz

fGz

Nm

x M

M x

m

M N

si x

= =

= + ⋅ − − 

= = −

 −



4- La section dangereuse se trouve au point C, car,

max

750 T

y

= N

dans la zone BC

max

67 M

fGz

= Nm

au point C 5-  La distance OG :

Soit le repère

( ^{O x y z} ^{, , ,} ^{  } )

, un repère orthonormé :

¹ ¹ ² ²

1 2

G G Gn n

G

n

Y S Y S Y S

Y S S S

⋅ + ⋅ + ⋅⋅⋅ + ⋅

= + + ⋅⋅⋅ +

( ) ^{2 4 18} ( ^{13, 5 4 19} )

7, 905 4 18 4 19

Y

G

− ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅

= = −

⋅ + ⋅

^{; Alors}

OG = 7, 9 m m

 Le moment quadratique IGz

On a

I

_Gz

= I

₁_Gz

+ I

₂_Gzet par l'application du théorème de Huygens :

(

1

) (

2

)

2 2

1 2 1 1 2 2

Gz Gz Gz G z G z

I = I + I = I + ⋅ S d + I + S ⋅ d

3 3

2 2

18 4 4 19

4 18 5, 9 4 19 5, 6

12 12

I

Gz

 ⋅   ⋅ 

=  + ⋅ ⋅   + + ⋅ ⋅ 

   

I

_Gz

= 2602, 32 4669, 6 + 93 3 = 7272, 0 13 3 m m

⁴

6- Contrainte normale due au moment fléchissant M_fGz : _max ^fGz^maxⁱ

(

_max

)

Gz

M y

σ = − I ⋅ ±

Dans la zone tendue (zone de traction)

σ

_max

0 〉

; pour

y

_max

= 7, 9 mm

^; _max

67 10

³

7272, 013 7, 9 72, 78 MPa σ = − ^{− ⋅} ⋅ =

Dans la zone comprimée (zone de compression)

σ

_max

0 〈

; pour

y

_max

= − 15,1 mm

;

3 max

67 10

( 15,1)

7272, 013 139,12 MPa

σ = − ^{− ⋅} ⋅ − = −

7- Représentation des contraintes :

G

x y

max

72, 78 MPa σ =

max

139,12 MPa

σ = −

(6)

LES CHARGES REPARTIES Rep. Ex 9-

1- Pour calculer les réactions des appuis simples, il faut appliquer le PFS :

∑ F    

_ext

= + + ⋅ = A B q 0 



^et

proj oy A B q / : + − ⋅ =  0

∑ M F    

_/_A



_ext

= M

_/_A

 A M B +

_/_A

 + M q

_/_A

 ⋅ = 0 



^et

2

/ :0 0

proj oz + B  ⋅ − ⋅  q  2 =

Donc :

300 1, 5

450

B = ⋅ = q 2 ⋅ =

N

 

_et

 A = ⋅ − q B  = 300 ⋅ − 3 450 =

450 N



 Zone AB :

0 ≤ ≤ x 3

_;

♦

T

y

= − [ A − ⋅ q x ] = − [ ^{450 300} − ⋅ x ]

(Équation d'une droite)

450 45 0;

; 0

3

y y

x T

si x T N

= = N

  = =

−



♦

2 2

450 300

2 2

fGz

x x

M = − − ⋅ + ⋅   A x q   = − −   ⋅ + x ⋅  

   

(Équation d'une parabole)

0 0

0 ; 3;

fGz fGz

Nm

si Nm

x M

= =

  = =



M

^'fGz

= − − + ⋅ [ A q x ] = − − [ ⁴⁵⁰ + ³⁰⁰ ⋅ x ] = ⁰

⇒

450 (1, 5) 0

1, 5 (1, 5) 337, 5 300

y fGz

T

x m

M Nm

 =

= = ⇒   =

Remarque :

Si, au cours de l’étude, un élève repère ce qui lui semble être une erreur ou fautes de frappe, il le signale au professeur de la matière !!!

Valeur max de la courbe MfGz ; dans ce point il ya une tangente horizontale

(7)

Rep - FLEXION PLANE ASPECT PHYSIQUE 187

Rep. Ex 10-

1- Les réactions des appuis simples, appliquer le PFS :

∑ F     

_ext

= + + + ⋅ = A B C q 0 



^et

proj oy A B C q / : + − − ⋅ =  0

∑ M F     

_/_A



_ext

= M

_/_A

 A M B +

_/_A

 + M C

_/_A

 + M q

_/_A

 ⋅ = 0 



^et

2

/ :0 0

proj oz + B  ⋅ − ⋅ − ⋅  C a q  2 =

Donc :

2 1200 300 1, 5

2 3

1250

B = ⋅ + ⋅ = C a q ⋅ + ⋅ =

N

 



^et

 A = + ⋅ − C q B  = 1200 300 3 125 + ⋅ − 0 =

850 N



 Zone AC :

0 ≤ ≤ x 2

_;

♦

T

y

= − [ A q x − ⋅ = − ] [ ^{850 300} − ⋅ x ]

850 25

0;

;

0

2

y y

x T

si x T

N

= =

N

  = =

−



♦

2 2

850 300

2 2

fGz

x x

M  A x q   x 

= − − ⋅ + ⋅   = − −  ⋅ + ⋅ 

   

0;

2;

0 1100

fGz fGz

N

x M

si x M

m Nm

= =

  = =



M

^'fGz

= − − + ⋅ = − − [ A q x ] [ ^{850 300} + ⋅ = x ] ⁰

⇒

850 (2,83) 0

2,83 (2,83) 1204,165

300

y fGz

T

x m

M Nm

 =

= = ⇒   =

 Zone CB :

2 ≤ ≤ x 3

_;

♦

T

_y

= + [ B q − ⋅ − ⁽³ x ⁾ ] [ = + 1250 300 (3 − ⋅ − x ) ]

2;

3;

950 1250

y y

x T

si x T

N N

= =

  = =



♦

2 2

(3 ) (3 )

(3 ) 1250 (3 ) 300

2 2

fGz

x x

M  B x q −   x − 

= +  ⋅ − − ⋅  = +  ⋅ − − ⋅ 

   

2;

00

0

;

11

3

fGz fGz

Nm

x M

si x M

= =

  = =



[ ] [ ]

'

_fGz

1250 300 (3 ) 0

M = + − + ⋅ = + − B q x + ⋅ − x =

⇒ 1250 ( 1,16) 0

3 1,16

( 1,16) 2604,16 300

y fGz

x m T

M Nm

− =

= − = − ⇒  − =

Pour la représentation graphique, il faut choisir une échelle des efforts tranchants et des moments fléchissants.

Échelle  des forces : 1 mm 50 N  des moments : 1 mm 100 N.m

3- Contrainte normale due au moment fléchissant MfGzmax

4- Représentation des contraintes : (1 cm 68 Mpa)

1100 Nm

Valeur max de la courbe MfGz ;

3 max

max 4

64 110

175,1

( ) 0 10 ( 20) 59

40

fGz Gz

M

I y M Pa

σ π

⋅ ⋅

= − ⋅ ± = − ⋅ ± =

⋅ 

1100 Nm

(8)

Rep. Ex 11-

0

ext

2 F = + + + ⋅ = A B C q

∑       

_et

/ : 0

proj oy A + − − ⋅ = B C q 2 

_/ _/ _/ _/ _/

0

A ext A A A A

2 M F = M A M B + + M C + M q ⋅ =

∑         ^{}   

_et

_/ _:0

²

₀

2 8

proj oz + B  ⋅ − ⋅ − ⋅  C  q  =

Donc :

1 1 4

1260 800

2 8 2 8

1030

B = ⋅ + ⋅ = C q ⋅ + ⋅ =

N

 

_et

1260 800 2 1030

1 0

2

83

A = + ⋅ − C q B = + ⋅ − =

N

  

2- Les efforts tranchants T_yet les moments fléchissants M_fGz :

 Zone AC :

0 ≤ ≤ x 2

_;

♦

T

y

= − [ A q x − ⋅ = − ] [ ^{1830 800} − ⋅ x ]

1830 2

0;

;

30

2

y y

x T

si x

N

T

N

= =

  = =

−



♦

2 2

1830 800

2 2

fGz

x x

M  A x q   x 

= − − ⋅ + ⋅   = − −  ⋅ + ⋅ 

   

0;

2;

0 2060

fGz fGz

N

x M

si x M

m Nm

= =

  = =



M

^'fGz

= − − + ⋅ = − − [ A q x ] [ ^{1830 800} + ⋅ = x ] ⁰

⇒ 1830 (2, 2875) 0 2, 2875

(2, 2875) 2093, 0625 800

y fGz

T

x m

M Nm

 =

= = ⇒  =

 Zone CB :

2 ≤ ≤ x 4

_; ♦

T

y

= + [ ] B = ¹⁰³⁰ N

♦

[ ^{1030 (4} ^{) ;} ] ^2;

4

6

;

20 0 0

fGz fGz

fGz

Nm

x M

M x si

x M

= =

= + ⋅ −   =  =

T

_ymax

= 1830 N

; au point A

M

_fGz max

= 2060 Nm

; au point C

3- Contrainte normale due au moment fléchissant MfGzmax 3

max

max 3

max

2060 10

3 30

114, 44

0 60

12

fGz Gz

MPa

M

I y

σ = ⋅ = ^⋅ ⋅ =

⋅





(9)

Rep - FLEXION PLANE ASPECT PHYSIQUE 189

Rep. Ex 12-

∑ F     

_ext

= + + + ⋅ A D B q 1, 5 = 0 

et

proj oy A / : + − − ⋅ D B q 1, 5 = 0

∑ M F     

_/_A



_ext

= M

_/_A

 A M D +

_/_A

 + M B

_/_A

 + M q

_/_A

 ⋅ 1, 5 = 0 

et

1, 5

2

/ :0 2 1 0

proj oz +  D ⋅ − ⋅ − ⋅ B q 2 =

Donc :

2 2

1 1, 5 1 1, 5

2166 1200

2 4 2 4

1758 N

D = ⋅ + ⋅ B q = ⋅ + ⋅ =



et

 A = 2166 1200 1, 5 1758 + ⋅ − = 2208 N

 Zone AB :

0 ≤ ≤ x 1

_;

♦

T

y

= − [ A q x − ⋅ = − ] [ ^{2208 1200} − ⋅ x ]

(Équation d'une droite) 2208 100

0

8

; 1;

y y

x T

si x T

N N

= =

  = =

−



♦

2 2

2208 1200

2 2

fGz

x x

M  A x q   x 

= − − ⋅ + ⋅   = − −  ⋅ + ⋅ 

   

0;

2;

0 1608

fGz fGz

N

x M

si x M

m Nm

= =

  = =



M

^'fGz

= − − + ⋅ = − − [ A q x ] [ ^{2208 1200} + ⋅ = x ] ⁰

⇒

2208 (1,84) 0

1200 1,84 (1,84) 2031, 36

y fGz

x m T

M Nm

 =

= = ⇒ 

 =

 Zone BC :

1 ≤ ≤ x 1, 5

_;

♦

T

y

= − [ A B q x − − ⋅ = − ] [ ^{42 1200} − ⋅ x ]

1;

1, 5;

1158 1758

y y

x T

si

N

x T

N

= =

  = =



♦

2

( 1)

fGz

2 M  A x B x q x 

= − − ⋅ + ⋅ − + ⋅  

 

(Équation d'une parabole) 1;

1, 5

1608 879

;

fGz fGz

x M

si x M m

Nm N

= =

 = =



M

^'fGz

= − − + ⋅ + ⋅ = − − + [ A B x q x ] [ ^{42 1200} ⋅ = x ] ⁰

⇒ 42 (0, 035) 0 0, 035

(0, 035) 2166, 735 1200

y fGz

T

x m

M Nm

 =

= = ⇒  =

 Zone CD :

1, 5 ≤ ≤ x 2

_; ♦

T

y

= + [ ] D = ¹⁷⁵⁸ N

♦

M

fGz

= + [ D ⋅ − ⁽² x ⁾ ] [ = ^{1758 (2} ⋅ − x ⁾ ]

1, 5;

2

879 0

;

fGz fGz

Nm

s x

x

N

M

m

i  = =

 = =



4-

T

_y max

= 2208 N

au point A

M

_fGz max

= 1608 Nm

au point B

5- Contrainte normale due au moment fléchissant M_fGz :

max max max

fGz i

x

Gz

M y

σ  = I ⋅

3

3 3

max

1608 10 12

62, 5

50 125

51, 2

44 11

9 9

9

8

x MPa

σ = ^⋅ ^⋅ ⋅ =

⋅ − ⋅



(10)

Rep. Ex 13-

ext

0 F = + + + + ⋅ = A B C D q

∑       



^et

^{proj oy A} ^/ ^: + + + + ⋅ = ^B ^C ^D ^q  ⁰

/_A _ext /_A /_A /_A /_A /_A

0 M F = M A M B + + M C + M D + M q ⋅ =

∑             



et

0, 5

2

/ :0 0, 5 0, 2 0, 7 0

proj oz + B  ⋅ − ⋅ C + ⋅ D + ⋅ q 2 =

Donc :

 B = ⋅ C 0, 4 − ⋅ D 1, 4 − ⋅ q 0, 5

²

= 200 0, 4 200 ⋅ − ⋅ 1, 4 100 0, 5 − ⋅

²

= − 22 5 N

et

 A = − − − − ⋅ = B C D q 225 200 2 − − 00 50 − = − 22 5 N



 Zone CA :

0 ≤ ≤ x 0, 2

_; ♦

T

y

= − [ ] C = − ²⁰⁰ N

♦

M

fGz

= − − ⋅ = − − [ C x ] [ ²⁰⁰ ⋅ x ]

0;

0, 2;

0 40

fGz fGz

x M

si x M

Nm Nm

= =

  = =



 Zone AB :

0, 2 ≤ ≤ x 0, 7

_;

♦

T

_y

= − [ C − + ⋅ − A q x ⁽ ^{0, 2)} ] [ = − 200 225 100 ( − + ⋅ − x 0, 2) ]

0, 2;

0, 7;

25 25

y y

x T

si x T

N N

= =



=

−

  =



♦

2 2

( 0, 2) ( 0, 2)

( 0, 2) 200 225( 0, 2) 100

2 2

fGz

x x

M = − − ⋅ +   C x A x − − ⋅ q −   = − −   ⋅ + x x − − ⋅ −  

   

0, 2;

4

40

0, 7;

fGz 0

fGz

Nm

x

x M

Nm

M si  = =

 = =



M

^'fGz

= − − + − ⋅ − [ C A q x ⁽ ^{0, 2)} ] [ = − ^{45 100} − ⋅ = x ] ⁰

⇒

45 (0, 45) 0 0, 45

(0, 45) 36,875 100

y fGz

x m T

M Nm

 =

= = ⇒   =

 Zone BD :

0, 7 ≤ ≤ x 0, 9

_;

♦

T

y

= + [ ] D = ²⁰⁰ N

et ♦

M

fGz

= + [ D ⋅ ^{(0, 9} − x ⁾ ] [ = ^{200 (0, 9} ⋅ − x ⁾ ]

0, 7

9

0

; , ;

0

fGz 4

fGz

Nm

i x

Nm

x M

s M

= =

  = =



4-

T

_ymax

= 200 N

dans la zone CA et BD

M

_fGz max

= 40 Nm

au point A et B 5- Voir le diagramme.

6- Contrainte normale due au moment fléchissant MfGz :

max max max

fGz i

x

Gz

M I y

σ  = ⋅

3

3 3

max

40 10 12

2 10 80 80 8 40

1,87

x MPa

σ = ^⋅ ^⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ + ⋅



La réaction est portée par l'axe -y

Valeur max de la courbe MfGz ; dans ce pointil ya une tangente horizontale

(11)

Rep - FLEXION PLANE ASPECT PHYSIQUE 191

max

3 3

max

12 ( )( 2 ) 2

fGz x

M H

b H b a H e

σ = ^⋅ ⋅

⋅ − − −



Rep. Ex 14- POUTRES ENCASTRÉES avec CHARGES REPARTIES 1- Les réactions des appuis simples, appliquer le PFS :

∑ F    

_ext

= H + + ⋅ P q 4, 5 = 0 

et

proj oy H / : − − ⋅ P q 4, 5 = 0

Donc :

H  = + ⋅ P q 4, 5 10 =

³

+ 42 4, 5 ⋅ = 1189 da N

/_H _ext /_H /_H /_H

4, 5

_H

0 M F = M H + M P + M q ⋅ + M =

∑          

et

4, 5

2

/ :0 3 0

2

^H

proj oz − ⋅ − ⋅ P q + M =

Donc :

2 2

4, 5

3

4, 5

3 3 10 42

2 2

3425, 25

M

H

= ⋅ + ⋅ P q = ⋅ + ⋅ =

daNm 2- Les efforts tranchants T_yet les moments fléchissants M_fGz :

 Zone HC :

0 ≤ ≤ x 3

_;

♦

T

y

= − [ H − ⋅ = − q x ] [ ^{1189 42} − ⋅ x ]

1189 1 0;

3 ; 0 63

y y

daN da x T

si x T N

= =

  = = −

−



♦

2 2

1189 42 3425, 25

2 2

fGz H

x x

M  H x q M   x 

= − − ⋅ + ⋅  +  = − −  ⋅ + ⋅ + 

   

3425, 25 47, 25 0;

3;

fGz fGz

x M

si x

daNm daN

M m

= =



−

= =

 −

 

M

^'fGz

= − − + ⋅ = − − [ H q x ] [ ^{1189 42} + ⋅ = x ] ⁰

⇒

1189 (28, 30) 0 28, 30

(28, 30) 13404, 76 42

y fGz

T

x m

M daNm

 =

= = ⇒   =

 Zone CB :

3 ≤ ≤ x 4, 5

_;

♦

T

y

= + − ⋅ [ q ^{(4, 5} − x ⁾ ] [ = + − ⋅ ^{42 (4, 5} − x ⁾ ]

3;

4, 5;

63 0

y y

daN x T

si x T daN

= =

  = =

−



♦

2 2

(4, 5 ) (4, 5 )

2 42 2

fGz

x x

M = + − ⋅   q −   = + − ⋅   −  

   

3;

4, 5;

47, 25 0

fGz fGz

x M

si x M

daNm daNm

= =



=

 −

 = 

M

^'fGz

= + ⋅ [ q ^{(4, 5} − x ⁾ ] [ = ^{42 (4, 5} ⋅ − x ⁾ ] = ⁰

⇒

(4, 5) 0

4, 5 (4, 5) 0

y fGz

T

x m

M

 =

= ⇒   =

3- vérification de la poutre :

max max max

fGz i

x

Gz

M

y Rpe σ  = I ⋅ ≤

3

3 3

max

34252, 5 10 12 150 300 (150 7)(300 22) 150

σ

x

= ^⋅ ^⋅ ⋅

⋅ − − −



max

63, 063 100

x

MPa

σ  = ≤

La poutre résiste mieux à cette charge.

Valeur max de la courbe M_fGz; dans ce point il ya une tangente horizontale

proj oy A B / : + − 2 F = 0

Rep - FLEXION PLANE ASPECT PHYSIQUE 181

∑ F      

= + + + = A B F F 0

proj oy A B / : + − 2 F = 0

∑ M F     



= M

 A M B +

 + M F

 + M F

  = 0

proj oz / :0 + B  ⋅ 3, 5 −  F ⋅ − 1 F  ⋅ 2, 5 = 0

B  = F  =

A  = F  =

0 ≤ ≤ x 1

T

= − [ ] A = − 3000 N

[ ] 0

30

1 00

0;

;

x M

M A x s Nm

i m

M N

x

= =

= − − ⋅   =  =

1 ≤ ≤ x 2,5

T

= − [ A − F ] = 0 N

[ ] 3000

300 ( 1;

2 ; 0

1) , 5

N

x M

M A x F m

x si N

x M m

= =

= − − ⋅ + ⋅ −   =  =

2,5 ≤ ≤ x 3,5

T

= + [ ] B = 3000 N

[ (3 , 5 ) ] 2, 5; 300 0

3, 5; 0

x M

M B x si

x

N M

m Nm

= =

= + ⋅ −   =  =

∑ F     

= + + A B R

= 0

proj oy A B R / : + −

= 0

∑ M F    



= M

 A M B +

 + M R

 

= 0

proj oz / :0 +  B ⋅ − 1 R 

⋅ = 3 0

3

80 0 3

1

B = R ⋅ = ⋅ =

 

 A = R 

− B  = − 1600 daN

0 ≤ ≤ x 1

T

= − − [ 1600 ] = 1600 d aN

= − [ ] A = − ³⁰⁰⁰ N

[ ] ⁰

= − [ A − F ] = ⁰ N

[ ] ³⁰⁰⁰

= + [ ] B = ³⁰⁰⁰ N

[ ⁽³ ^{, 5} ⁾ ] ^{2, 5;} ³⁰⁰ ⁰

= − − [ ¹⁶⁰⁰ ] = ¹⁶⁰⁰ d aN

[ ] ⁰

= + − [ ⁸⁰⁰ ] = − ⁸⁰⁰ daN

[ ^{800 (3} ⁾ ] ¹ ^; ¹⁶⁰

^N ^{= − −} [ ⁹⁹⁰ ] ⁼ ⁹⁹⁰ ^N

= − − [ ⁸⁰⁰ ] = ⁸⁰⁰ N

[ ⁸⁰⁰ ] ^0; ⁰

^N ^{= +} [ ] ⁹⁹⁰ ⁼ ⁹⁹⁰ ^N

= + − [ ⁴⁰⁰ ] = − ⁴⁰⁰ N

[ ^{400 (0,12} ^{) ;} ] ^{0, 04;} ³