Chapitre : Division Euclidienne
I Division euclidienne 1) Problème
On veut partager équitablement 34 chocolats entre 5 enfants. Combien en donner à chacun ? Résolution avec un graphique :
chaque rectangle correspond à un enfant, les O a des chocolats
OOOOOO OOOOOO OOOOOO OOOOOO OOOOOO
On a donner 6 chocolats par enfant et il en reste 4.
Lien avec le calcul:
34 = 5×1 + 29 mais 29 > 5 : on peut encore distribuer des chocolats.
34 = 5×2 + 24 mais 24 > 5 : on peut encore distribuer des chocolats.
34 = 5×3 + 19 mais 19 > 5 : on peut encore distribuer des chocolats.
34 = 5×4 + 14 mais 14 > 5 : on peut encore distribuer des chocolats.
34 = 5×5 + 9 mais 9 > 5 : on peut encore distribuer des chocolats.
34 = 5×6 + 4 et 4 < 5 : on ne peut encore distribuer des chocolats.
Avec une division :
2) Définitions
Vocabulaire : on dessin une potence.
Dans la division ci dessus : 34 est le dividende 5 est le diviseur 6 est le quotient ( q) 4 est le reste ( r )
Une division euclidienne est une division qui s'effectue avec des nombres entiers et qui donne un quotient entier.
3) Exemples
Cette année, on essayera de ne plus écrire les soustractions
Vérifications : 78 × 3 + 1 = 235 et 1 < 3 Vérifications : 129× + = 4 0 235 et 0 < 4 4) Avec la calculatrice: déterminer q et r
Avec l'exemple ci -dessus
on effectue la division à la calculatrice : 235 : 3 ≈ 78, 3333 on trouve le quotient : 78 on cherche le reste : 78 × 3 = 234 puis 235 – 234 = 1 : le reste
Remarque : certaines calculatrices donnent directement q et r avec une touche spéciale ( t ou :R ), elle ne doit être utiliser que pour vérifier ses calculs.
4 3 5
6 4
5 3
2 3
8 7 1 2 -
5 2
4 2 -
1
Propriété : reste < diviseur et dividende = quotient × diviseur + reste
6 1
5 4
9 2 1 1 1
6 3
0
II Diviseurs et multiples
Dans ce paragraphe, on n'étudiera que le cas où le reste de la division euclidienne est nulle, on dit que le quotient est exact.
Exemple a utiliser dans ce paragraphe :
que l'on peut écrire 13 × = 5 65
1) Multiples
On dit que 65 est un multiple de 5.
Remarques : les multiples de 5 sont dans la tables des 5 ( 1; 2; …; 10; 11; …. 123 456 879 ; …) pour avoir les multiples d'un nombre, on le multiple par un nombre entier.
65 est aussi un multiple de 13 2) Diviseurs
On dit que 65 est divisible par 5 ou que 5 est un diviseur de 65 ou encore que 65 a pour diviseur 5.
Remarques : pour savoir si un nombre est divisible par un autre, on peut diviser le 1er par le second et voir si quotient est entier.
Avec les tables de multiplications, on peut gagner du temps pour les petits nombres.
65 est aussi divisible par 13.
1 est un diviseur de tous les nombres ( 65 = 65 × 1 ) un nombre est divisible par lui-même
3) Critères de divisibilité : Nombre divisible
par : Critère de divisibilité d'un nombre exemples
2 Être paire :
se terminer par 0, 2, 4, 6, 8 2 465 878; 158
3 La somme des chiffres doit être divisible par 3 42 car 4 + 2 = 6 et 6 = 3× 2 4 Le nombre formé par ses deux dernier chiffres doit
être divisible par 4 4 512 car 12 = 4×3
5 il se termine par 0 ou 5 219 875 ; 135
9 La somme des chiffres doit être divisible par 9 342 car 3 +4 + 2 = 9 783 car 7 + 8 + 3 = 18 et 18 = 9×2
10 il se termine par 0 2 198 750; 1350
III Valeur approchée
Si le reste d'une division euclidienne n'est pas nul, le quotient que l'on trouve est une valeur approchée du quotient de la division décimale.
Exemple :
235
3 ≈ 78 On peut même écrire que 78 < 235 3 < 79
On connait donc les valeurs approchées par défaut et par excès à l'unité de 235 3 . 5
6 5 3 1 5 1
0
5 3
2 3
8 7 1 2 -
5 2
4 2 -
1
