Devoir de contrôle n°1-Math (2013/2014) :4 éme sciences et technique

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KHEMIRI Fawzi Devoir De Contrôle N°1(4 Sc-tech) Page 1/3 Lycée Cité Nozha Zaghouan

Année Scolaire2013/2014

Devoir De Contrôle N°1 Durée :2 heures

Professeur :Mr KHEMIRI Fawzi Classe :4^ièmeTech 2

Exercice1………(3pts)

Les réponses aux questions de cet exercice seront présentées sur la feuille annexe.

A. Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct



^{O u v}^{, ,}



Répondre par vrai ou faux sans justification:

1. Le module de e ⁱ⁶ i



 est égal à 2.

2. Un argument de

5

2eⁱ4

  est3 4

 .

3. Soit A le point d’affixe a  3i. L’ensemble des points M (z) du plan tels quee zⁱ⁶ 2 1

   est le

cercle de centre A et de rayon 1.

B. Choisir la seule réponse exacte sans justification:

1. Soient

 

²

( ) 1

1 f x

 x

 , sin

( ) x

g x  x eth f g.

lim ( )0

x h x

 est égale à : a) 1. b) . c) 0.

2. La suite

 

Un n_ définie par 1 2

n

Un    est :

a) croissante. b) décroissante. c) convergente.

Exercice2 : ………(6pts)

On considère la fonction f définie sur par :

3 2

1 cos

2 si 0

( )

1 si 0

x x

f x x

x x x

   

 

   



dont la courbe sera notée C .

1. a. Vérifier que

 

²

1 cos

0, ( ) 2 x

x f x

x

 

   

 et en déduire que f est continue à gauche en 0.

b. Montrer que f est continue sur . 2. a. Montrer que 4

0, ( ) 0

x f x

  x   . b. En déduire lim ( )

x f x

 .

c. Etudier la branche infinie de C au voisinage de . 3. On admet que f est strictement croissante sur



^0,^



^.

a. Montrer que l’équation ( ) 0f x  admet une unique solutiondans l’intervalle



^{0.7,0.8 .}



b. Dresser le tableau de signe de f sur .

(2)

KHEMIRI Fawzi Devoir De Contrôle N°1(4 Sc-tech) Page 2/3 Exercice3 : ………(5pts)

On considère la suite

 

Un définie par : U₀ 1 et U_n_₁  2U_n 3 pour tout n entier naturel.

On pose ( )f x  2x3 dont la courbe est représentée ainsi que la droite d’équationy x(figure1).

1. a. Représenter les quatre premiers termes de la suite

 

Un dans la figure 1 de la feuille annexe.

b. Que peut-on conjecturer concernant la monotonie de la suite

 

Un ? 2. a. Démontrer que, pour tout n de , 0U_n 3.

b. Démontrer que la suite

 

Un est croissante.

c. En déduire que

 

Un est convergente et calculer sa limite.

3. a. Montrer que ₁ 2

,0 3 (3 )

n 3 n

n U _ U

      .

b. En déduire que : 2

,0 3 2.

3

n

n Un  

        et retrouver la limite de

 

Un . Exercice4 : ………(6pts)

Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct



^{O u v}^{, ,}



^.

Soient les points A et B d’affixes respectivesa 2 2i et

7

2 ⁱ12

b e

  . 1. a. Ecrire a sous la forme exponentielle.

b. Montrer queb a e. ⁱ³

 .

c. En déduire que le triangle OAB est équilatéral et direct.

d. Placer le point A puis le point B sur le cercle de centre O et de rayon 2.

2. Donner la forme algébrique de b et en déduire 7 cos12

 et 7 sin 12

 . 3. Soit C le point tel que OACB soit un losange.

a. Montrer que l’affixe de C est

5

2 3 ⁱ12

zC e

  . b. Calculer l’aire A du losange OACB.

(3)

KHEMIRI Fawzi Devoir De Contrôle N°1(4 Sc-tech) Page 3/3 Feuille à rendre

Nom et Prénom………..

Exercice1

A) B)

figure1 Enoncé Vrai ou Faux

1.

2.

3.

Enoncé Réponse 1.

2.

II.2.