Devoir de contrôle n°1-Math (2012/2013) :4 éme sciences et technique

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Lycée C.Nozha.Zaghouan Devoir De Contrôle N° 1(4Sc-techniques) Page 1 Lycée Cité Ennozha Zaghouan

Année Scolaire :2012/2013

Devoir De Contrôle N°1 Durée :2 heures

Proposé par :Mr KHEMIRI Fawzi Classe :4T1

Veuillez présenter une copie propre et des réponses bien rédigées.

Exercice n°1...(5 pts) Dans la figure ci-contre :

 ( φ) est le cercle de centre O et de rayon 2 et il passe par les points A,B et C.

 Le repère 





  

OJ OI

O, , est orthonormé direct.

 Le triangle OAB est équilatéral.

A) Répondre par vrai ou faux aux assertions suivantes sans justification :

1. Un argument de z est _D 4 3

.

2. La forme exponentielle de z_C est ⁶

5 i

e^ .

3. Le point d’affixe 5z_B est sur la demi-droite



OD .



B) Choisir la réponse exacte pour chaque énoncé : 1. La forme exponentielle de z est : _A

a) 2 ⁶

i

e^ . b) 2 ⁸

i

e^ . c) 2 ¹²

i

e^ . 2. L’affixe du milieu H de [AB] est :

a) ⁸

2 3 ⁱ^

e . b) 3 ¹²

i

e . c) ¹²

2 3 ⁱ^

e .

Exercice n°2...(6 pts)

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé 



 



 ^ ^ v u

O, , .On donne les points A(-1) , B(-2) et C(i).

A tout point M d’affixe zi ,on associe le point M’ dont l’affixe est

1 ) 2 ' (



  z

z

z i .

1. Déterminer l’affixe c’ du point C’ associé au point C.

2. Déterminer et construire les ensembles suivants :



M z telsquez'estréel



E ( ) ; F



M(z)telsquez'estimaginaire



et ^G^



^M⁽^z⁾^tels^que ^z^' ^¹



3. a) Montrer que ' 1

 

 z i i

z .

b)En déduire que CM'.AM 1 et que 

 



2 2 ,

'

, 







 









 

AM u CM

u (M≠B)

(2)

Lycée C.Nozha.Zaghouan Devoir De Contrôle N° 1(4Sc-techniques) Page 2 c) Déterminer l’ensemble (Γ) du plan sur lequel varie le point M’ lorsque M varie sur le cercle (

C )

de

centre A et de rayon 1.

Exercice n°3...(4 pts)

On considère la fonction f définie sur



^¹^,^



_par:

x x x

f 1 1

)

(  

 si x0 et

2 ) 1 0

( 

f .

On désigne par (

C )

sa courbe représentative dans un repère orthonormé 



 



 ^ ^ j i O, , .

1. Montrer que f est continue en 0 et justifier la continuité de f sur



^¹^,^



^.

2. a) Montrer que ^x^



^¹^,^



^;

1 1

) 1

(   

x x

f .

b) Etudier la dérivabilité de f en 0. Interpréter graphiquement le résultat.

3. Montrer que f n’est dérivable à droite en -1 et interpréter graphiquement le résultat.

4. Préciser la nature de la branche infinie de (

C )

au voisinage de . Exercice n°4...(5 pts)

Soit f la fonction définie sur IR par :







 







 

0 x si x

x 0 x si x

x x

f 1 cos2

2

2 2

) (

3

.

On désigne par (

C )

la courbe représentative de f dans un repère orthonormé 



 



 ^ ^ j i O, , .

1. Montrer que f est continue en 0.

2. Montrer que f est dérivable à droite en 0 et donner une équation de sa demi-tangente au point A(0,2).

3. a) Etudier la branche infinie de (

C )

au voisinage de. b) Montrer que ^x



^0,



;

x x

f 2

2 ) (

2   .

c) En déduire lim f(x)

x et interpréter graphiquement le résultat.

4. Montrer que l’équation f(x)0admet dans l’intervalle



⁰^,⁹;⁰^,⁷



une unique solution α.