Contrôle commun
Janvier 2016
Série : ES
Épreuve : Spécialité Mathématiques
Durée de l'épreuve : 45 minutes Coefficient : 1
MATERIEL AUTORISE OU NON AUTORISE : Calculatrice autorisée
Aucun échange de matériel autorisé
Avant de composer le candidat s'assure que le sujet comporte 2 pages numérotées 1/2 à 2/2
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Exercice (spécialité)
Un créateur d’entreprise a lancé un réseau d’agences de services à domicile. Depuis 2010, le
nombre d’agences n’a fait qu’augmenter. Ainsi, l’entreprise qui comptait 200 agences au 1er janvier 2010 est passée à 300 agences au 1er janvier 2012 puis à 500 agences au 1er janvier 2014.
On admet que l’évolution du nombre d’agences peut être modélisée par une fonction f définie sur [0 ;+∞[ par f (x)=ax2+bx+c où a, b et c sont trois nombres réels.
La variable x désigne le nombre d’années écoulées depuis 2010 et f (x) exprime le nombre d’agences en centaines. Ainsi f (0)=2 .
Partie A
On cherche à déterminer la valeur des coefficients a , b et c afin de faire quelques prévisions.
1.a Justifier soigneusement que les réels a, b, c vérifient le système (S)
{
164aa++4c=22b+b+c=3c=5.1.b En déduire trois matrices M , X et R telle que le système précédent soit équivalent à MX=R .
2. On admet que N=
(
0,125 −0,25 0,125−0,75 1 −0,25
1 0 0
)
est la matrice inverse de M. En déduire les valeurs des coefficients a, b et c, puis préciser l'expression de f (x).3. En utilisant le modèle obtenu par la fonction f , déterminer le nombre d’agences que l’entreprise possédera au 1er janvier 2018.
Partie B
On considère la matrice A=NM et α le coefficient situé à l'intersection de la deuxième ligne et de la première colonne de A .
1. En effectuant aucun calcul, expliquer pourquoi α=0 .
2. Proposer un produit d'une matrice ligne par une matrice colonne égal à α , puis vérifier le résultat précédent, sans utiliser la calculatrice.
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