J
OURNAL DE
T
HÉORIE DES
N
OMBRES DE
B
ORDEAUX
M
ONGI
N
AIMI
Répartition en moyenne de certaines fonctions arithmétiques
sur l’ensemble des entiers sans grand facteur premier
Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome 15, n
o3 (2003),
p. 745-766.
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Répartition
enmoyenne
de
certaines fonctions
arithmétiques
surl’ensemble des entiers
sansgrand
facteur
premier
par MONGI NAIMI
RÉSUMÉ. Soient
g(n)
une fonctionmul-tiplicative
vérifiantg(p) =1/03BB g(n) ~n-~.
Dans cetravail,
on établitune formule
asymptotique
de la somme03A3ng(n)~x;
P(n)~y1, va-lable dans le domaine
y/03BB~
cx, et on donneune condition nécessaire et suffisante pour que cette somme soit
équivalente
à03A3n~x;
P(n)~y
1/g(n).
ABSTRACT. and
g(n)
be amultiplica-tive function such
g(p) = 1/03BB g(n)~ n-~.
In the présentwork,
weestablish an
asymptotic
formula for the sum03A3ng(n)~x;
P(n)~y
1,
valid in the domainy/03BB ~
cx, and wegive
anecessary and sufficient condition for this sum to be
équivalent
to03A3n~x;P(n)~y 1/g(n).
1. Introduction
Désignons
parP(n)
leplus grand
facteurpremier
d’un entiergénérique
n, avec la convention
P(1)
=1,
et soitf
une fonctionarithmétique,
multi-plicative
etpositive .
Pour(x, y)
E]O, oo(x (2, oo~,
on considère la fonctionLe cas
f(n) = j(n)
:= n, noté dans la littératurey),
esttypique.
Il a fait
l’objet
de nombreux travaux ces dernières décennies. Pour unesynthèse,
on pourra consulter l’article de A.Hildebrand et G.Tenenbaum[5]
et lechapitre
111.5 de[10].
Dans un cadre
plus général,
A.Smati et J.Wu[9]
et l’auteur[6]
ontétudié,
par deux méthodes
différentes,
pour une classe E de fonctionsf
Manuscrit reçu le 21 janvier 2002.vérifiant essentiellement
où,
ici et dans toute lasuite,
la lettre p est exclusivement réservée pourindiquer
un nombrepremier
générique.
La classe Econtient,
entreautres,
l’identité
j,
lafonction
d’Euler et la fonction somme des diviseurs d’unentier. Ils montrent que, pour toute fonction
f
de la classe E et tout - >0,
il existe un réel xo > 0 tel que l’on ait
uniformément pour x > xo et y vérifiant
où et p
désigne
la fonction& -
-- _
de
Dickman,
la solution continue sur]0, oo
del’équation
différentielle auxdifférences
La formule
(1.1)
contient,
dans le casf
=j,
un résultat sury)
dû àA. Hildebrand
[3].
Soient
.~ > 1 et 0 ~ 2
deux nombres réels donnés. Notons par la classe de fonctionsf multiplicatives,
strictementpositives
etvérifiant,
pour tout entier n,
Dans
[1],
R. Balasubramanian et K. Ramachandra se sont intéressés à laclasse
~B~ ;
ils ont étudié laquantité
:=~ f~n~~~ 1
lorsque
f
est dans£a~,~.
Enposant
où,
ici et dans toutes les formulesproposées
dans cetarticle,
les constantesimplicites dépendent
de la fonctionf
choisie. Ilsremarquent,
par lasuite,
l’équivalence
- - 1
L’objet
duprésent
travail est lagénéralisation,
aux entiers sansgrand
fac-teur
premier,
de la formule(1.3)
et del’équivalence
(1.4).
Nousétablissons,
dans un
premier
temps,
une formule dutype
(1.1)
pour les fonctions de laclasse
£),.,1/.
Nousdéduisons,
par lasuite,
unegénéralisation
del’équivalence
(1.4),
dont onprécisera
le domaine de validité.Avant d’énoncer nos
résultats,
introduisonsquelques
notations. Pourtoute fonction
f
E£),.,1/’
on pose c :=1/
inf{f (n),
n >1},
on remar-> 1 P Blog
cxd, .
quera que
c > 1.
Pour y
>1B,
on note v : et ondésigne
par palog(Y/A
la solution continue sur
]0, oo[
del’équation
différentielle aux différencesLa fonction PÀ,
qui
généralise
la fonction p deDickman,
a faitl’objet
d’études
approfondies
(cf.
parexemple
[2],
[4], [7]
et[8]).
Soncomporte-ment
asymptotique
estrappelé
au lemme 2 ci-dessous.Théorème. Soient
f
unefonction
de la classeet
F la constantedéfinie
par
(1.2).
Pour tout - >0, il
existe un réel xo > 0 tel que l’on aituniformément
dans le domainedéfini
parPar
ailleurs,
pour x > 0et y
>2,
onpose ~
est la fonction
multiplicative
définie par(*).
Nous déduisons du théorème 3 de H. Smida[8] (ou
encore du corollaire 1.3 du récent travail de G.Tenenbaum et J. Wu
[11])
que, pour tout - >0,
uniformément
pour x >
3 et(~, y)
E1lé.
Encomparant
cette formule etCorollaire. Soient e
positif
etf
unefonctions
de la classeEa,v .
Dans ledomaine
lle
etquand
x tend versl’infini,
l’équivalercce
s f (x,
y) N ~ (x, y)
est réalisée
si,
et seulementsi,
on aLa preuve de notre théorème est élémentaire. Elle est fondée sur une
récurrence utilisant une identité de
type
Buchstab et uneinégalité
deconvo-lution fonctionnelle
(cf.
lemmes 7 et8,
ci-dessous).
L’identité de
type
Buchstabpermettra
l’étude de deproche
en
proche,
pour les"petites"
valeurs de v.L’inégalité
fonctionnelle serviraà
établir,
par unetechnique
analogue
à celle de A. Hildebrand[3] (voir
aussi
[6]),
des relations de récurrencequi
seront utilisées pour l’étude des"grandes"
valeurs de v.2. Lemmes.
Commonçons
par introduirequelques
notationssupplémentaires.
Pour1
est
l’unique
racineréelle,
non nulle del’équation
ee(t) = 1
+ avec laconvention
e(l) =
0. On réserve lalettre y
pourindiquer
la constante d’Euler et yo pourdésigner
une constante assezgrande.
Les deux
premiers
lemmesregroupent
certainesproprietés
des fonctionse
et px. Cesproprietés
sont établies dans[7]
et[8].
Lemme 1.([7])
Lavérifie.
Lemme 2.
([7], [8])
Soient À > 1 et solution del’équation
différen-tielle aux
différences
(1.5).
i)
Il existe un réel aaE] À - 1, À]
telque la fonction
pa est croissante sur]0,
et décroissante suroo[.
iii)
Pour tout u > 0 et tout 0 k u, on aLe lemme suivant se déduit de l’estimation
classique
de la somme(cf.
parexemple,
le théorème 1.1.9 de[10])
et du Théorème des Nombres Premiers sous la formeLemme 3. Soit
f
Ei)
Il existe une constante yo tel que l’on aitii)
Pour tout e > 0 et tout t >1,
on aPreuve. Notons A le membre de
gauche
de(2.9).
Le passage àl’intégrale
dex
intégration
parparties
fournitavec
Le
terme
principal
s’écritEn efsectuant le
changement
de variable il estégal
àComme
l’intégrale
pécédente
est bornée pour ve]l, 2]
et{3
> -1,
on conclutque
Nous allons traiter
Ro
comme un terme d’erreur. D’unepart,
enremarquant
1 1_- la ,
et on en déduit que la
première
intégrale
danson voit
qu’elle
estlorsque
., VU
6]1,2[.
Parconséquence,
le termeprincipal
del’expression
de A s’ écritMontrons maintenant que les termes
Rl,
R2
etR3
sont de l’ordrerequis.
Pour
cela,
onmajore
Ri
par(v _
log c )p 1
cequi
estadmissible,
-
log(!//A) log Y/A
Dans les mêmes
conditions,
on a aussi j Jon
majore
log(Y/À)
para log x
et on obtientpour v
e]l,
2]
ety >
yo.Quant
àR3,
enremarquant
que la a unsigne
de
constant sur l’intervalle
y/a, b,
on voit quedonc
R3 Cp
(log(y/~))~-~°.
Ainsi s’achève la preuve de ce lemme. IlLemme 5. Soient
f
unefonction
de la classe et aa le réeldéfini
aulemmes 2. Pour 2
v d~
+2 ,
ke]v - 1, v~ ,
y >
yp etz/~ _
@ onPreuve. La somme dans
l’expression
(2.10)
estégale
àl’intégrale
deStieltjes
z
En effectuant une double
intégration
-
-par
parties
et en tenantcompte
de(2.7),
elle estégale
à-Le
changement
de variable u =log cx
dansl’intégrale
de(2.11 )
fournit lelog t
terme
principal
cherché.Pour estimer les termes de
reste,
ondistinguera
deux cas suivant que+ 1 ou aa + 1 v ax + 2. Avant de se lancer dans les
calculs,
ilest utile de remarquer que, dans les
hypothèses
dulemme,
on a les deuxrelations suivantes
où l’on a utilisé l’encadrement
2/a
v/~
3 et lesproprietés
(2.1)
de lafonction e
pour établir la dernièremajoration.
w Pour v ax +
1,
la croissance de la fonction pa sur]0, ax]
entraîneA
Il en
découle,
compte
tenu de(2.5),
que
· Pour aa + 1 v aa +
2,
l’inégalité
pa (s) Ç
valable pours >
0,
fournit lamajoration
Deplus,
on aLa dérivée
1)
change,
auplus
unefois,
designe
dans l’intervallelog t
[X’
2013 .
En scindant la deuxièmeintégrale
en deux suivant lesigne
de cettedérivée et en
majorant
p~,(s)
par pour s >0,
on voit queRg
estmajoré
par la mêmequantité
que~4+~5
et,
parsuite,
1i4 + R5 + I§
pa(aa)(log
~).B-2.
Grâce à(2.5),
on en déduitCe
qui
termine la preuve du lemme 5.Lemme 6. Pour > 0 et
f
unefonction
de la classe£)..,,,,
on auni, formément
poury >
yo, v > aa et 0 0 1.Preuve. On note
Sl
la somme à estimer et on l’écrit comme uneintégrale
de
Stieltjes
Une double
intégration
parparties,
compte
tenu de(2.8),
fournitavec .
En
procédant
comme dans~3 ;
lemme5],
on montre queR7
est de l’ordrerequis.
Nous omettons lescalculs, qui
sonttechniques
etexplicités,
pour un cassemblable,
dans la preuve du lemme 5 de[3].
0Lemme 7.
(une
identité detype
Buchstab)
Soientf
unefonction
de laet
pour tout z E
[y,
Preuve. L’identité
(2.14)
est uneconséquence
directe de(2.13).
Pour établir(2.13),
on écritet on
réarrange
la sommeS2
suivant leplus
grand
diviseurpremier
del’entier n
D’où
l’égalité
Il nous reste à montrer que
R8
estenglobé
par le terme reste del’expres-sion
(2.13).
Pourcela,
on commence par remarquer queobtenue à
partir
del’expression
(1.3),
pour établir lamajoration
Compte
tenu des relations données dans(*),
il s’ensuitCe
qui
achève la preuve de l’identité(2.13)
et celle du lemme. CILemme 8.
(une
inégalité
de convolutionfonctionnelle)
Soientf
unefonc-tion de la classe et y deux réels tels que
y/~
cx. On aPreuve. Le
point
dedépart
est la somme.. ,
--interprète
de deux manières différentes. D’unepart,
en l’écrivant sous laD’autre
part,
en écrivantlog( f (n)) _
Epklln
log( f (pk))
et enpermutant
lessommes, on obtient
3. Démonstration du théorème
Le théorème s’obtient par
conjonction
des deuxpropositions
suivantes.Proposition
1. Pour toutefonction f
E il existe xo > 0 tel que l’on aituniformément
pour x > xo et 0 v da + 2.Proposition
2. Pour toutefonction f
E et tout e >0,
il existe unréel zo > 0 tel que l’orc ait
uniformément
Pour : 13.1. Démonstration de la
proposition
1. Nousmontrons,
parrécur-rence sur l’entier
k,
que :3.1.1. Pour k =
1,
on ay/~.
Sous cette condition et poury >
yo,tout entier n, vérifiant
f (n)
x, admet tous ses diviseurspremiers
dansl’intervalle
[2, y].
Eneffet,
supposonsqu’un
tel entier admette un diviseurpremier
p > y avec unemultiplicité égale
à r. Commef (p)
=p/a,
on voitque r > 1.
Or,
pour r >2,
on a »et,
parsuite,
y2(1-,q)
«y/A.
Comme
2(1 - q)
>1,
ceci estimpossible
dès quey >
yo pour un choixconvenable de yo . Par
conséquent,
on aD’autre
part,
enremarquant
que = 1 +l’es-timation
(1.3)
permet
d’écrireCe
qui
établitl’égalité
(R)
pour
k =1,
car =vÀ-l/r(À)
sur~0,1~.
3.1.2. Pour k =
2,
on a ve]I,2].
Enremarquant
que, pour ve]1,2]
etp >
y >
yo, laquantité
Sf ( f (P),p)
vérifie(3.1),
l’identité(2.13)
s’écritSupposons
d’abord queL’expression
précédente
devientEn insérant cette
majoration
etl’égalité
(3.2)
dansl’expression
(3.4),
onobtient
Cela entraîne
l’égalité
(7~),
carB’
pour v
e] 1 , 2]
etpour
X6
y/À
cx.Examinons maintenant le cas
y/x
x6.
Sous cettehypothèse,
l’expres-sion
(3.3)
devientoù
S3
est la somme définieprécédemment
majoration
deS3,
donnée par(3.5),
est admissible. Parailleurs,
compte
tenu de
l’égalité
(1.3),
on écritavec
et
Pour
(3
== À 20131,
le lemme 4 fournitOn
majore
1 log log ( x / f (p))
par log log x
puis
onapplique
le lemme 4 avecIl s’ensuit
En insérant cette
dernière,
l’égalité
(3.2)
et lamajoration
(3.5)
dansl’ex-pression
(3.7)
et en tenantcompte
de(3.6),
onaboutit,
dans ce casaussi,
à
l’égalité
(R).
3.1.3.
Supposons
quel’égalité
(R)
est vérifiée pour un entier k E[2,û~ + 1]
et montrons la pour k + 1. A cettefin,
on considère v E]k, k
+1],
onprend z
=a(c~) ~ _
et onrappelle
l’identité(2.14)
En
posant,
pour,, , on constatev r i i i
et,
d’après l’hypothèse
derécurrence,
onSachant que
f (p)
=p/Â,
il suitr
Le lemme 5 fournit
Pour estimer
Rio,
nous utilisons lamajoration
PÀ(vp)
«PÀ(v),
que nousmontrons d’abord.
w Si v
a~,
+1,
onmajore
pa(vp)
parPÀ(v - 1),
car la fonction pa estcroissante sur
]0,a~]
et vp v - 1 a~. Il endécoule,
en vertu de(2.5),
e Si aa + 1 v ax +
2,
onmajore
parp,B (a,B),
le maximum dela fonction p~. Comme pour le cas
précédent,
la relation(2.5)
fournitOn obtient la
majoration
souhaitée enremarquant
que, dans les deux cas, on aE~O, 3)
et,
d’après
le lemme1,
la fonction t N est bornéesur cet intervalle. Ceci
étant,
onpeut
majorer
Rio
parLa relation
(2.7)
et le choix de z nouspermettent
de conclure queNous déduisons de ce
qui précède
En
appliquant
l’hypothèse
de récurrence àSf(x, z)
et en tenantcompte
de(2.3),
on obtientl’égalité
(R)
pour k + 1. Cequi
achève la preuve de laproposition
1.3.2. Démonstration de la
proposition
2. - et y >À,
on cpose
et,
pour v >
aa+ 1,
on noteRemarquons
d’abord que,d’après
laproposition
1,
il existe xo > 0 tel queLl**(a.x + 1, y)
1 pour x > xo ; parconséquent,
on aOn
remplace,
dansl’inégalité
(2.16),
parl’expression ci-dessus,
onmajore
log f (p)
parlogp
et,
pour k >1,
on note tAprès
- 1 -1 1 -1
simplification,
on obtientavec
Il est facile d’établir
Le
changement
de variable t =~(~)-S
dansl’intégrale
fournitIl en
découle,
compte
tenu de(2.5),
queIl
s’ensuit, grâce
à(2.1),
queoù
bo
un est réel strictementpositif
convenable.Ainsi,
on aDe
même,
avec 1
Or,
pourf
Eet
kentier,
1~ >2,
on a lesmajora-tions . Cela fournit
Sachant queq
E~O,1/2~,
le lemme 1implique
que2(1 -
bi ) ( 1 - q)
> 1 pour un choix convenable de xo et(~,y)
E Parconséquent,
En
appliquant
le lemme 6 pour 0 =1/2
etpour 0
=1,
on aoù l’on a
posé
)dt
et l’on a utilisé l’identité(2.2)
terme reste du membre de droite de cette
inégalité
est 1Il
s’ensuit,
compte
tenu desexpressions
(3.9),
(3.10)
et(3.11),
quepour
(x, y)
E Parailleurs,
il résulte de la décroissance de lafonction PÀ sur
oo[
et del’égalité
(2.2)
que,pour v > aa
+1,
on aCe
qui
prouve que~3(v) ~
pour v > aa -I-1et,
parsuite,
Compte
tenu de(3.8)
et(3.12),
on en déduitpour
(x, Y)
Ceci
étant,
montrons que, dans cetteinégalité,
onpeut
remplacer
y) 1
parA* (v, y).
Pourcela,
prenons un réelv’,
a~ + 1 v’ v.,a
Si v - 1
2 ~ ~v’
v, en observantque 1 « 1
et en tenantcompte
de la v vcroissance en t de la fonction
A* (t, y) ,
l’expression
(3.13)
implique
, on a les
majorations
Donc,
(3.14)
est encore vérifiée dans ce cas. Enprenant
le supremum del’expression
(3.14)
lorsque
v’ E[aÀ
+1, v],
on obtientl’inégalité
souhaitée,
à
savoir,
ou encore
Une itération de cette
inégalité
jusqu’à,
un réel vo E[aÀ
+ 2 ,
aa +1]
four-nit ( f 1 " Enappliquant
laproposition 1,
on a Cequi
implique
ou encoreCela achève la démonstration de la
proposition
2.4. Démonstration du corollaire.
Remarquons
d’abord que, pour - > 0 et un choix convenable de xo, on a Nous établirons donc le corollaire dansH2e
avec00.
~
Commençons
par traiter le cas où u est borné. Dans ce cas, lesexpressions
(1.6)
et(1.7)
entraînentD’autre
part,
en écrivant , la formule de la moyen-ne montrequ’il
existe wGlu, v[
tel queEn
remarquant
que pour uborné,
on endéduit que Ce
qui
établit leco-rollaire
lorsque
u estborné,
car la condition(1.8)
est trivialement vérifiée dans ce cas.Supposons
maintenant que u n’est pas borné. La formuleasymptotique
(2.6)
et lesexpressions
(1.6)
et(1.7)
fournissent alorsuniformément pour x > xo et
(X) Y)
E712, .
Parailleurs,
on a([7;
lemme4.5])
Comme v =
u(1
+0(1/ log y),
il en découleoù l’on a
posé
K(x,
y)
:=ao(v) - ao (u) -
+t4(u/A)-
Enobservant,
compte
tenu des définitions de 0"0 et dee,
que~. ~’ief ~ ~ i / ~ ~ B .. C~w ~ 1 B ". ~ ~ -... ~
-liencadrement 1 t - 1
- c
1,
valable pour t- >
2,
fournit2
t
1,
valable pour t>
2,
fournitavec 1 On a aussi
En
remarquant
que et ente-nant
compte
de(2.1),
on voit queKo(x, y)
et par suiteK(x,
y)
tend verszéro
quand
x tend vers l’infinisi,
et seulementsi,
la condition(1.8)
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Département de Mathématiques
Faculté des Sciences de Tunis 1060 TUNIS, TUNISIE
