Systèmes de particules en interaction et modèles de déposition aléatoire

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déposition aléatoire

François Ezanno

To cite this version:

François Ezanno. Systèmes de particules en interaction et modèles de déposition aléatoire. Probabilités

[math.PR]. Aix-Marseille Université, 2012. Français. �NNT : 2012AIXM4701�. �tel-00796271�

Aix-Marseille Université

Thèse

présentéepour obtenir legradede Do teur Aix Marseille Université

délivré par l'Universitéde Proven e Spé ialité :Mathématiques

par

François EZANNO

sousladire tion d'ÉtiennePARDOUX etEnriqueANDJEL Titre :

Systèmes de parti ules en intera tion et modèles de déposition aléatoire

soutenue publiquement le21 dé embre2012

JURY

Enrique Andjel Aix-Marseille Université Dire teur Nathanaël Enriquez UniversitéParis 10 Examinateur Étienne Pardoux Aix-MarseilleUniversité Dire teur Didier Piau UniversitéJoseph Fourier-Grenoble Rapporteur Pierre Pi o Aix-MarseilleUniversité Examinateur Ellen Saada UniversitéParis Des artes Rapporteur

Remer iements

Mes remer iements vont en premier lieu à mes dire teurs Étienne Pardoux etEnrique Andjel. Ils ont toute monadmiration ainsiquema gratitudepour m'avoirpermis d'ee -tuer ette thèse.

Etienne possède toutes les qualités qui sont appré iées par un thésard. J'ai pu béné ier de sonénergie, de sarapidité, deson e a ité.Au delà du travail j'aiappré ié à sajuste valeursonaltruisme etl'importan e qu'il a a ordé àmes problèmes, réant trèsvite une relation de onan e.

Enrique mériterait plus que quelques lignes omme remer iement. Sa vision ludique des probabilités, ainsi que sa rigueur font que je garde un ex ellent souvenir de toutes nos dis ussions mathématiques. J'ai appris énormément à son onta t au sujetdes probabili-tés, maisaussi del'Histoire, du football, de lafeijoada, del'Argentine,du sudoku etbien d'autres hoses.Je leremer ie spé ialement pour sona ueil haleureux àl'IMPA.

Je tiens à remer ier vivement Ellen Saada et Didier Piau d'avoir a epté de rédiger un rapport sur ette thèse. Leur le ture attentive et leurs pré ieuses remarques m'ont été d'une grandeutilité. Je remer ie aussiPierre Pi o etNathanaelEnriquez de faire partie du jury.C'est ungrandhonneur pour moi.

Je veux exprimer aussi ma re onnaissan e aux ex ellents enseignants de l'université de Rennes,sansquije neseraispaslà,enparti ulierFlorentMalrieu,Grégory VialetHélène Guérin.

Les ren ontres que j'ai faites au sein du LATP ont rendu es trois années plus agréables et palpitantes. Mer i en parti ulier à Sébastien Darses pour son soutien qui a beau oup ompté ainsiquepour quelquesagréables dîners.Mer i à Grégory Maillardpour sonaide et son é oute. Mer i à Alexandre Gaudillière pour l'intérêt qu'il a porté à mon travail et l'aide non négligeable qu'il m'a oerte au moment où j'en avais le plus besoin. Enn les do torants que j'ai eu le plaisir de toyer ont été autant de ompagnons de galère grâ e à qui j'ai pu tenir le ap : mer i à Lionel, JC, Clément, Ismaël, Mattias, Mi kaël, Julien, Jonathan, Sébastien, Thomas et Thomas, Bien, Niklas, Flore, Fanny, Benjamin, Moustapha,Elma.Mer iàPeter pour lesleçons defootball.J'aiune penséeenparti ulier à mes frères de thèse Majid, Bouba ar etMamadou ave qui j'ai partagé beau oup de dis ussions enri hissantes, d'expérien es etd'émotions.

Je dois aussi remer ier tout le personnel du CMI, en parti ulier Valérie, Sonia et Marie-Christine dont j'admire la ompéten e etlabonnehumeur.

Mer iaussiàBobDylan,JoãoGilbertoetlesPinkFloydd'avoirrendu eslongues heures de réda tionmoinsmonotones.

La présen e de mes amis a été d'une grande aide pour rester dansla réalité, e qui n'est pastoujoursévidentpourunmathémati ien.Jenesaispas ommentlesremer ier arrien ne serait possible sans eux. Mes vieux amis de Saint-Pabu, Guillaume, Fred et PH ont

eux d'Avignon : Guigui, Alexandra, Bertille, et Elise pour tous les bons moments. Mes olo ataires d'A igné, Alexandre, Maël, et François méritent une pla e parti ulière dans es remer iements, es trois années m'ont onrmé que je peux ompter sur eux. Il en va de même pour les habitants de la rue de Saint-Malo, Titi, Coko, Jérémy et Lolasse. Mer i à mon ami Pas al, je garde un souvenir ému de notre olo ation. Mer i à Dond, en parti ulier pour son anapé quand je n'étais qu'un bébé thésard. Enn les Visan

x

,

x

∈ N/2

, ont été des moments que je garde en mémoire, et dont je suis sorti à haque fois ave unemotivation renouvelée pour attaquer mathèse. Tousles Visanais,y ompris les deux, méritent destonnerresde remer iements. Mer i enn à tous eux qui ont faitle dépla ement pour venir m'en ourager.

J'ai la han e de pouvoir toujours ompter sur des parents en or. Je suis heureux de pouvoir leur dire à quel point ils ont été importants pendant ette thèse. Mer i Pierre et Céline, que je suis er d'avoir omme frère et s÷ur. Mer i aussi inniment à Serge, à la petite NinaetàMilo.

Je remer ie Elio pour toutes es dis ussions aptivantes sur les petits bébés es argots, et pour la joie qu'il m'apporte tous les jours. Enn, mer i Fanny, je ne pouvais pas rê-ver d'un soutien plus pré ieux que elui que tu m'as apporté, ni d'une ompagnie plus ré onfortanteque latienne.

Laprobabilitéde réussir lamisesur orbite d'unefuséeest d'une han e surun million. Dépê hons-nousde rater999.999 lan ements! Ja quesRouxel

Introdu tion 1

Chapitre 1 Le problème de la onstru tion des systèmes de parti ules en

intera tion 5

1.1 Historique duproblème . . . 7

1.2 Point de vue analytique. Constru tionde Liggettvia Hille-Yosida . . . 9

1.3 Une onstru tionélémentairedessystèmesdespinsave intera tionsderang inni . . . 11

1.4 Cas d'unespa ed'état dénombrable ave desintera tions derangni. . . . 23

Chapitre 2 Résultats surle modèlede Gates-West ott 29 2.1 Modèles de roissan ealéatoire . . . 29

2.2 Ré urren edu prol . . . 36

2.3 Constru tionpoissoniennepour lemodèlede Gates-West ott . . . 37

2.4 Couplages . . . 37

2.5 Vitesse asymptotiquede roissan e . . . 39

2.6 Étatdes onnaissan es surlemodèle deGates-West ott . . . 42

2.7 Théorème depeigne pour

β

2

< β

0

. . . 43

2.8 une onditionsusanted'ergodi itédansle domaine

β

0

< β

2

< β

1

. . . 52

2.9 une onditionsusante de transien e dansledomaine

β

0

< β

2

< β

1

. . . . 59

2.11 Existen e d'une mesure stationnaire pour une innité de sites, ave

β

1

=

(β

0

+ β

2

)/2

. . . 66 2.12 Questionsouvertes . . . 69

Chapitre 3 Le pro essus de onta t sous- ritique vu du bord 71 3.1 Dénitionsetnotations . . . 71 3.2 Une preuve alternative de la onvergen e du onta t sous- ritiquevudu bord 74 3.3 Le pro essus de onta t ni sous- ritique vudu bord admet une limite de

Yaglom . . . 79 3.4 Problèmes pour adapter lase tion3.2en temps ontinu . . . 86

Appendi e : preuve du théorème 7 89

Au ours de estrois années de thèse,mes re her hesont porté prin ipalement sur un modèlede roissan e ristallinequenousnommonsi imodèledeGates-West ott,ainsique sur desquestions relativesau pro essus de onta t. En préambule à l'étude de es objets j'aiaussiréé hiàunereprésentationsimple dessystèmes markoviensave une innitéde parti ulesen intera tion.

Chapitre 1 : onstru tion des systèmes de parti ules en intera tion

Dans les années 60, sous l'impulsion de la mé anique statistique, a été introduite une famille trèsgénéralede pro essussto hastiquesmarkoviens:lessystèmes departi ules en intera tion.Cetteinnovationaétélepointde départd'ungrand nombredetravaux,aussi bien sur des problèmes globaux relatifs à ette famille que sur des pro essus parti uliers faisant partie de ette famille :modèled'Ising, de votant, de onta t...Le point ommun de tous es pro essus est de dé rire simultanément l'évolution dans le temps des états asso iés à un ertainnombre(souvent inni) de sites, la dynamique étant gouvernée par lapres ription derègles d'évolution lo ales.

Dans un premier temps s'est posé le problème de la dénition : sous quelle ondition a t-on l'existen e et l'uni ité de tels pro essus? Pré isons le sens de ette question : nous onsidérons un ensemble

V

de sites, unensemble

E

d'étatspossiblespour haque site,et pour

η

∈ E

V

et

T

⊂ V

ni,desmesures

c

T

(η, dξ)

sur

E

T

_.

Onsouhaitedénirsansambiguïtéunpro essus

(ξ

t

, t

≥ 0)

sur

E

V

telque,dansla ongu-ration

η

,la onguration lo ale

η

T

soit rempla ée par une nouvelle onguration

ξ

selon lamesurede transition

c

T

(η,

·)

, e i pour tout

T

ni.

Ceproblèmededénitionaétéd'une ertainefaçonrésoludanslespremièresannées.Dans le asoù

E

est ompa t,Liggett[34℄a enparti ulier montré, sousunehypothèsetrès peu restri tive sur les taux de transition (hypothèse (

H

1

), page 8), que le prégénérateur de Markov asso ié à la dynamique dé rite dénissait un unique semi-groupe de Feller, don ununiquepro essusdeFeller.L'outilprin ipaldesadémonstration estlathéoriede Hille-Yosida.

Dans le as

E =

{0, 1}

, et sous une hypothèse légèrement plus faible (hypothèse (

H

′

1

), page 9),nous avons her hé à donnerune autre onstru tion quise passede lathéorie de Hille-Yosida,ensebasantsuruneidéeplusnaïvequiestlasuivante.Lorsque

V

estni,le problèmedel'existen eetuni itédupro essus

(ξ

t

, t

≥ 0)

estsansdi ulté.Pour

V

inni, on xe une suite

V

n

↑ V

de boîtesnies et on onstruit d'abord des pro essus

(ξ

n

t

, t

≥ 0)

oùseulesles oordonnéesde

V

n

évoluent.Lerésultatleplusimportant du hapitre estque si(

H

′

1

) est vériée,

Théorème ( orollaire du théorème 3, hapitre 1). Pour

t

≥ 0

,

v

∈ V

,

ξ

n

t

(v)

onverge quand

n

→ ∞

.

Ce iestfaitd'unefaçonquimetenvaleurle ara tèrenaturel del'hypothèse

(H

′

1

)

,qui n'apparaît pas lairement dans la onstru tion de Liggett par exemple.On vérie ensuite quele pro essus limite orrespond àl'objetre her hé :

Théorème(théorème4, hapitre1). Lesemi-groupedéniparlepro essus

ξ

t

:= lim

n→∞

ξ

n

t

a legénérateur deMarkov souhaité.

Chapitre 2 : Modèle de Gates-West ott

Le modèle de Gates-West ott estun pro essussto hastique de déposition verti ale, où un ertainnombre

n

desites apturentà ertainstauxdesparti ulesenvironnantes, faisant ainsi roître un édi e ristallin. Le tauxde apture en un site peutprendre troisvaleurs

β

0

,

β

1

et

β

2

selonlagéométriedusite(voirlagure2.1.2page34).Cesontdesparamètres du problème.

L'évolutiondel'édi eestdé riteparunve teur

X

n

t

= (X

t

n

(1), . . . , X

t

n

(n))

etons'intéresse àlaformedelasurfa edu ristal,dé riteparleve teur

H

n

t

= (X

t

n

(1)

−X

t

n

(2), . . . , X

t

n

(n

−

1)

− X

n

t

(n))

.Le ara tère(ré urrent positif, ré urrent nulou transitoire) dupro essus de Markov

H

n

doitêtreinterprété ommelanaturestable/instable,autrementditlisse/rugueuse, del'interfa edu ristal.Onemploiera indiéremment l'adje tifergodique pourdésignerun pro essus ré urrent positif. Les résultats les plus importants de e hapitre sont liés à la question suivante :selonles valeursdes paramètres

β

0

, β

1

, β

2

et

n

,quelle est lanature de

H

n

?

Si

β

2

< β

0

,les sommets roîssent plusvitequelestrous,de sorte qu'ilestaisé demontrer que

H

n

esttransitoire.Ondonne unedes riptionplus pré isedu omportement asympto-tique de

H

n

, omportement qui est parfaitement visible dans les simulations de la gure 2.7.

Théorème (Théorème11, hapitre 2). Si

β

2

< β

0

, leve teur

1

t

(X

n

t

(1), . . . , X

t

n

(n))

onverge presque sûrement quand

t

→ ∞

vers unve teur aléatoire

G

, qui est d'une forme donnée par

(2.18)

,

(2.19)

, ou

(2.20)

selonles paramètres.

Si

β

0

< β

1

≤ β

2

, il est déjà onnu [3 ℄ que

H

n

est ergodique. La nature de

H

n

reste à déterminer pour deux zones de paramètres :

β

1

≥ β

0

≥ β

2

et

β

0

≤ β

2

< β

1

. Nous

noussommes on entréssur ettedernièrezone.La onséquen e laplusimportantedenos résultatsest que ette zoneestmixte :

Théorème ( onséquen edesthéorèmes 13 et14, hapitre 2).

(i) Il existe des valeurs

β

0

< β

2

< β

1

telles que, pour tout

n

≥ 2

,

H

n

soit ré urrent positif.

(ii) Il existe des valeurs

β

0

< β

2

< β

1

telles que, pour tout

n

≥ 5

,

H

n

soit transitoire.

Nous avons introduit deux outils nouveaux pour démontrer es résultats. Le premier est lavitesseasymptotique

v

n

_{= lim}

t→∞

X

t

n

(1)/t

, déniequand

H

n

est ré urrent positif. Lese ond estun ouplagemonotone entrelepro essus

X

n

etunautrepro essus

X

˜

n

pour lequel lavaleur de

β

2

est rempla ée par

β

1

.Nous donnons une ondition susante pour qu'une omparaison existe entre esdeux pro essus.

Nousavonsaussi onsidéréle pro essus

(H

t

, t

≥ 0)

qui suit lamême dynamique que elle dé rite i-dessus,maisave uneinnitédesites.Lorsque

β

2

> β

0

et

β

1

= (β

0

+ β

2

)/2

,nous nous inspirons de l'expression expli ite de la distribution stationnaire pour

n

ni donnée dans [17℄ pour démontrer l'existen e d'une distribution stationnaire (là en ore expli ite) pour

(H

t

, t

≥ 0)

.

Théorème (Théorème16, hapitre 2). Soit

m

la probabilité sur

Z

dénie par :

m(k) =

1

Z

s

β

0

β

2

!

|k|

,

où

Z

est la onstante denormalisation.

Si

β

2

> β

0

et

β

1

= (β

0

+ β

2

)/2

, alors la mesure produit

µ := m

⊗Z

sur

Z

Z

est invariante pour le pro essus

(H

t

, t

≥ 0)

.

Chapitre 3 : pro essus de onta t sous- ritique vu du bord

Le pro essus de onta t

(ξ

t

, t

≥ 0)

en une dimension est un exemple de système de parti ules. L'espa e des ongurations est

{0, 1}

Z

et les sites sont dits o upés s'ils sont dansl'état

1

,etvidess'ilssontdansl'état

0

.La ongurationidentiquementnulleestnotée

0

.En haque site peuventsurvenir desévènements dedeux types:  desdé ès:

1

→ 0

au taux 1,

 desnaissan es:

0

→ 1

au taux

λ

×

lenombre desites voisinso upés.

On prendi i la onstante

λ

stri tement inférieure à la valeur ritique

λ

c

du pro essus de onta t. Supposons qu'on parte d'une onguration ave un nombre ni d'individus. La probabilité

P

(ξ

t

6= 0)

de non extin tion à l'instant

t

onverge alors vers

0

,quand

t

→ ∞

. Cette onvergen e est d'ailleurs exponentiellement rapide. La onguration

0

est un état absorbant dupro essusetl'absorption arrive don presquesûrement en temps ni. Le pro essus de onta t vu du bord

(ζ

t

, t

≥ 0)

est déni par

ζ

t

(v) = ξ

t

(v + sup ξ

t

)

, où

sup ξ

t

= sup

{v : ξ

t

(v) = 1

}

.Autrementdit

ζ

t

s'obtiententranslatant la onguration

ξ

t

de façonà equel'individuleplusàdroiteseretrouveàl'origine.Con ernantle omportement asymptotiquede

ζ

t

,deux questionsseposent :

(a) Sion part d'unnombre nide siteso upés, onpeut onsidérer la loide

ζ

t

ondi-tionnéeàlanonextin tion,soit

L(ζ

t

|ξ

t

6= 0)

.Est- eque etteloi onditionnelleadmet une limite

1

quand

t

→ ∞

, indépendantede la ondition initiale? Autrement dit, le pro essus

ζ

t

admet-ilunelimite deYaglom?

(b) Si on part d'une onguration

η

ave une innité de sites o upés, mais telle que

sup η < +

_∞

,l'évènement

{ξ

t

6= 0}

est biensûrdeprobabilité 1,don onne faitplus de onditionnement. Est- eque

L(ζ

t

)

admetune limitequand

t

→ ∞

?

Il existe unlien entre esdeuxquestions. Heuristiquement, puisquelaprobabilitéde non-extin tionestexponentiellementdé roissante,sil'onpartd'une onguration ommedans (b)l'individuleplusàdroite quiaunedes endan eàl'instant

t

atrèsprobablementpassé une grandepartie de l'intervalle de temps

[0, t]

trèsisolé dureste de lapopulation, e qui fait quela onguration de sades endan edoit ressembler à e qu'elleserait sil'individu en question avait été tout seul à l'instant

0

.Par onséquent, la limite de Yaglom dans le problème(a),sielleexiste,estunebonne andidatepourêtreaussilasolutionduproblème (b). Danslase tion3.3, nousrépondonspositivement à laquestion (a).

Théorème ( orollaire du théorème 22, hapitre 3). Le pro essus

(ζ

t

, t

≥ 0)

admet une limite de Yaglom : il existe une mesure

ν

portée par l'ensemble des ongurations nies telleque, quelle que soit la ondition initiale,

L(ζ

t

|ξ

t

6= 0) ⇒ ν, t → ∞.

L'équivalent du problème (b) a été résolu ré emment par Andjel [2 ℄ pour un modèle analogueentempsdis ret.Noussommespourl'instantarrêtéspardesdi ultéste hniques pouradapter lapreuve de erésultat entemps ontinu. Nostentativesinfru tueusesnous ont ependant amené à établir une preuve alternative du résultat de Andjel, que nous donnons dans la se tion 3.2. Nous espérons qu'elle puisse être le point de départ d'un passage au temps ontinu.

Le problème de la onstru tion des

systèmes de parti ules en intera tion

Dans e hapitre,ons'intéresseauproblèmedela onstru tiondesystèmesdeparti ules enintera tion(SPIdanslasuite).Danslesensoùonemploie eterme,ils'agitd'une lasse de pro essus aléatoiresdé rivant simultanément l'état d'un nombreinni de oordonnées ( orrespondant aux états des parti ules), où la dynamique est telle que l'évolution de haque parti ule n'est pasné essairement markovienne, maisl'évolution du systèmedans sonensemblel'est.Onnote

E

l'ensembledesétatspossiblesd'uneparti ule,et

V

l'ensemble dessites.L'étatglobaldusystèmeestdé ritparune onguration, 'est-à-direunefon tion

η = (η(v), v

_{∈ V )}

,eton note

X := E

V

l'espa e des ongurations. Dans le as où

E =

{0, 1}

, une onguration

η

pourra être onfondueave lesous-ensemblede

V

donné par

{v ∈ V : η(v) = 1}

.Dans e hapitre les sitesseronttoujours notéspar deslettres latines omme

v, w

,etles ongurationspar des lettres gre questelles que

ξ, ζ, η

ou

χ

.

Comme nousallonsle voir, lefait quele nombre de parti ules nesoit pas nisoulève des problèmesdedénition. Ilarrivesouventquedesmodèlesquel'on her heàétudiersoient déterminés par une des ription intuitive de son omportement. Malheureusement il n'est pas impossible que la des ription heuristique de la dynamique qui anime nos parti ules puisse ne pas orrespondre à un unique pro essus sto hastique, d'autant plus qu'il n'y a pasune unique façon dedénir une telle orrespondan e(voirdénition1).

La généralisation du as

E =

{0, 1}

au asd'unespa e nioumême d'unespa e ompa t quel onquen'étantpasl'obsta lemajeuràlaproblématiquede e hapitre,nousénonçons touslesrésultatsan iensetnouveauxave

E =

{0, 1}

,jusqu'àlase tion1.4oùonprendra

E = Z

.Parailleurslesrésultatsde ettethèsesontdonnés,parsou i desimpli ité,dansle ontexteapriorirestri tifoùunseulsiteàlafoispeut hangerd'état(saufdanslase tion 1.4), ex luant par exemple le pro essus d'ex lusion de la dis ussion. Nous royons que ette restri tion n'est pas non plus profonde, de sorte que notre adre apture l'essentiel desquestionsliées àla onstru tion des SPI.

famille de réelspositifs

c = (c

v

(η), v

∈ V, η ∈ X),

(1.1)

eton her heàdénirunpro essusdeMarkovsur

E

oùdansla onguration

η

, haque o-ordonnée

η(v)

hanged'étatautaux

c

v

(η)

.Sousquelle ondition ettepres riptionestsans ambiguïté? Le générateur innitésimal orrespondant à ette des ription est l'opérateur dénipar

Ωf (η) :=

X

v∈V

c

v

(η)



f (η

v

)

− f(η)



,

(1.2) où

η

v

estla ongurationqui oïn ideave

η

partout saufen

v

:

η

v

(w) :=

(

η(w),

si

w

6= v

,

1

− η(v),

si

w = v

.

Dans(1.2)lasommepeutnepas onverger,par onséquent

Ω

n'estpasdénisurl'ensemble detouteslesfon tions,maisentout asill'estaumoinssurl'ensemble

F(X)

desfon tions dites lo ales :

F(X) := {f : X → R

nedépendant qued'unnombrenide oordonnées

}.

(1.3)

L'espa e

X =

{0, 1}

V

étant munidesatopologie produit, nousrappelonsqu'il s'agitd'un espa e topologique ompa t métrisable.

C(X)

désignera l'espa e des fon tions ontinues de

X

dans

R

,munide sanormenaturelle

kfk := sup

η∈X

|f(η)|

Ondésignera par

D

_{:= D(R}

+

_{, X)}

(1.4)

l'espa edesfon tionsde

R

+

dans

X

ontinuesàdroite etadmettant deslimites àgau he. Formellement, tous les pro essus évoqués sont dénis par une famille

(P

ξ

, ξ

∈ X)

de pro-babilitéssurl'ensemble destraje toires telles que

∀ξ ∈ X, P

ξ

(ξ

0

= ξ) = 1,

et

P

ξ

(D) = 1,

(1.5)

où

ξ

t

désigne l'appli ation qui à

(η

s

, s

≥ 0) ∈ D

asso ie lavaleur

η

t

.L'espéran e asso iée à

P

ξ

seranotée

E

ξ

.Par abus, onpourraaussiparler de pro essuspour désignerlafamille

(ξ

t

, t

≥ 0)

.Onnote

G

t

latribu engendrée parla famillede variables

(ξ

s

, 0

≤ s ≤ t)

et

G

la tribu engendrée par lafamille devariables

(ξ

s

, s

≥ 0)

.Le pro essussera ditmarkovien si

∀ξ ∈ X, ∀A ∈ G, P

ξ

(ξ

s+

·

∈ A | G

s

) = P

ξ

s

(A), P

ξ

− p.s.

(1.6) Dénition 1. On ditque lepro essus

(P

ξ

, ξ

∈ X)

 est solution de (MG)si

∀ξ ∈ X, ∀f ∈ F(X)

,

f (ξ

t

)

−

R

t

0

Ωf (ξ

s

)ds

est une martingale relativement à

P

ξ

.

 est solutionde (MG')si

∀v, w ∈ V

ave

v

6= w

,

∀t ≥ 0

,

P

_ξ

_(ξ

_t+h

_(v)

_{6= ξ}

_t

_(v)

_{| G}

_t

_{) = c}

_v

_(ξ

_t

_{)h + o(h),}

P

_ξ

_(ξ

_t+h

_(v)

_{6= ξ}

_t

_{(v), ξ}

_t+h

_(w)

_{6= ξ}

_t

_(w)

_{| G}

_t

_{) = o(h).}

 estsolutionde(SG) si 'est unpro essus markoviendontlegénérateurest donnépar (1.2)pour

f

∈ F(X)

.

Unpro essusdeMarkovestditdeFeller s'ilalapropriétéraisonnablequelesopérateurs

S(t)

dénis par

S(t)f (η) = E

η

f (ξ

t

)

(1.7)

préservent

C(X)

. Dans e as la famille

(S(t), t

≥ 0)

est un semi-groupe de Markov sur

C(X)

:elle vérie lespropriétés

(a)

S(0) = Id

et

S(t + s) = S(t)S(s)

, (b)

S(t)1 = 1

,

( )

f

≥ 0 ⇒ S(t)f ≥ 0

,

(d)

∀f ∈ C(X), t 7→ S(t)f

est ontinue à droite dans

C(X)

(enfaitseul (d)requiert quele pro essus deMarkov

ξ

t

soit de Feller).Deplus, il estbien onnu ([35℄, hapitre I, théorème 1.5) que la relation (1.7) onstitue une orrespondan e bi-univoque entreles pro essus de Feller sur

X

et les semi-groupesde Markovsur

C(X)

. Ce i réduit la question (SG) à laquestion de re her her les semi-groupesde Markovtels quepour

f

∈ F(X)

,

lim

t→0

S(t)f

− f

t

= Ωf.

(1.8)

Danslase tion1.1,nousrappelonsbrièvementlesrésultatsdesannées70 on ernant ette question.Dans lase tion1.2nousrésumons leprin ipe dela onstru tion (quiest laplus ouramment utilisée)donnéepar Liggettdans[34 ℄sousla ondition(

H

1

).Cette ondition aétélégèrementaaibliepar lasuiteen(

H

′

1

).Depuis ettedé ennieetenparti uliergrâ e à [34 ℄, on peut dire que le problème de la onstru tion est résolu, ependant dans [12℄ on a essayé de donner uné lairage nouveau sur laraison d'êtrede la restri tion (

H

′

1

), en onstruisant leSPIpardesoutils uniquement probabilistes àl'aidede ouplagesadéquats desystèmesnis.Onpeutliredansplusieursdespapiers itésquela onditionheuristique pourqueladynamiquesoitbienposéeestquel'inuen enepuissepasprovenirdel'inni. Pluspré isément,ilestné essaireque equiarrive dansun ourtinstant enunsitedonné ne soit pas soumis à l'inuen e d'une haîne d'intera tions venant d'inniment loin en temps ni. Notre onstru tion, donnée en se tion 1.3, montre que la pres ription (

H

′

1

) n'est pas imposée par des raisons te hniques, mais qu'elle est réellement le reet du fait que sans elle la dynamique est mal posée. Dans la se tion 1.4 enn, pour les besoins de lase tion 2.11, nousfaisonsun travailanalogue lorsque

E = Z

maisave desintera tions supposées derang ni.

1.1 Historique du problème

pre-innitéde oordonnéesenintera tionétaitunmodèled'Isingsto hastique[21 ℄.Cependant, seules les espéran es des spins sont onsidérées, de sorte que le problème mathématique résideenun systèmed'équationsdiérentielles. En 1970,Spitzer [42 ℄étudie despro essus dé rivant ertaines mar hes aléatoires ouplées (dont un pro essus d'ex lusion ave des parti ulesàvitessevariable)quisontfaitspourqueleurmesureinvariantesoitunemesure de Gibbspour un potentielpres rit.Ce i estfait dansun premier temps pour un nombre ni de parti ules, et dans la deuxième partie le as d'un nombre inni de parti ules est évoqué mais sans pouvoir faire plus que d'énon er des onje tures basées sur des al uls formels.

La même annéeHolley[27 ℄ vérie les onje tures deSpitzer endénissantproprement les pro essus innis en jeu.La méthode est d'appro her lepro essus par des pro essus nis, puis d'utiliser un théorème de Trotter-Kato, e qui revient en fait à passer par le théo-rème de Hille-Yosida. Ces résultats s'appliquent spé iquement aux pro essus introduits par Spitzer etpar ailleurspour leur démonstration le fait d'êtreen dimension 1 (

V = Z

) est ru ial.

Unarti letrèsimportantest eluideLiggett[34℄en1972quiaméliore edernierrésultat: il montre via le théorème de Hille-Yosida l'existen e et l'uni ité d'une solution de (SG) dansdeux ontexteslégèrementdiérents:d'abordpour lepro essusd'ex lusion ave des parti ules à vitesse variable introduit dans [42℄, puis pour les systèmes de spins ave des taux

c

v

(η)

quel onques(voirse tion1.2) supposés ontinus etvériant

B := sup

v∈V

X

w6=v

a(w, v) < +

_∞,

(

H

1

) où

a(w, v) := sup

η∈X

|c

v

(η)

_{− c}

v

(η

w

)

|, w 6= v,

et

a(w, w) = 0

.La valeur

a(w, v)

quantie l'inuen e maximale de l'état du site

w

sur le tauxde sautausite

v

.La onstru tion plusgénéralequ'il donne plustarddans[35 ℄ unie esdeux situations.

LamêmeannéeHarris[26 ℄amélioreluiaussilerésultatde[27 ℄enlegénéralisantà

V = Z

d

, maisspé iquementpourunpro essusd'ex lusionà vitessesvariablesintroduitdans[42℄, etenimposant deplusun rangd'intera tionni. Lagénéralité estdon bienmoindreque dans[34℄maissonappro he,quiestpluspro hede ellequenousadoptonsense tion1.3,a l'avantagedefournir une onstru tion quipermetdegarder tra edel'histoire individuelle des parti ules : par exemple l'évènement que deux parti ules é hangent leur position est invisible dansla onstru tion de [34℄.Simultanément Holley [28 ℄ énon eaussi unrésultat moinsgénéral que elui de [34℄ maisdont la preuve estbeau oupplus ourte.

Holley et Stroo k [29℄ adoptent en 1976 le point de vue problème de martingales. Bien sûr, les problèmes (MG) et (SG) ne sont pas équivalents mais ils sont liés. Cet arti le ontient les résultatssuivants :

 Le problème (MG) admet toujours une solution pourvu que les taux

c

v

(η)

soient ontinus en

η

.

 Ilexiste desexemples où(MG) admetplus d'unesolution.

 Lorsqu'ilexiste une unique solutionà (MG), 'estaussiune solution de(SG). Le résultat deLiggett yestaussiredémontrévia l'uni itéde lasolution de(MG).

un exemple pathologique d'un pro essus vériant (MG') mais pas (MG). Ainsi (MG'), bien qu'étant la formulation la plus intuitive de la dynamique que l'on veut onstruire, n'estpaslaplusjudi ieuse.Unrésultatnotablede[24 ℄estquelerésultatde[34℄restevrai sousl'hypothèse, plusfaible que(

H

1

), qu'ilexiste une famille

(λ

v

, v

∈ V )

de réelspositifs vériant

λ = inf

v∈V

λ

v

> 0

ettelleque

A := sup

v

∈V

X

w

6=v

λ

w

λ

v

a(w, v) < +

_∞.

(

H

′

1

)

Gray [23 ℄ obtiendra le même résultat sous la même ondition (

H

′

1

) en introduisant des systèmes despins  ontrlés. Citons enn lestravaux deLiggett etSpitzer[36 ℄ etAndjel [1℄oùleproblèmedela onstru tionestétudiépour ertainspro essuspourlesquels

E = N

. Dans espro essusla oordonnéeenunsitereprésentelenombredeparti ulesquio upent e site, es parti ules ee tuant des mar hes aléatoires sujettes à un ouplage. Dans [36℄ le ouplage est donné par le fait que toutes les parti ules o upant un site utilisent la même horloge pour le quitter. Dans [1 ℄ il s'agit du pro essus zero-range, pour lequel un site ontenant

k

parti ulesexpulseuneparti uleàun ertaintaux

g(k)

.Dans esdeux as il est né essaire de se restreindre à des ongurations

η(v)

pas trop roissantes quand

v

→ ∞

. Ces deux papiers sont à mettre en lien ave notre se tion 1.4 où on traite une situation ave destauxd'uneforme quel onque maisun rangnid'intera tion.

1.2 Point devue analytique.Constru tion deLiggettvia Hille-Yosida

Il est instru tif de omprendre où pré isément intervient la ondition (

H

1

) dans la onstru tiondeLiggettbaséesurl'analysefon tionnellesurl'espa e

X

, e iandepouvoir omparer ave notre onstru tion donnée dans la se tion 1.3. Le ontenu de la présente se tionreprenddemanière ondenséelesse tionsI.1etI.2de[35℄oùplusdedétailsseront trouvés.

Rappelonsd'abord equenousditlathéoriedeHille-Yosida.Cequisuitjusqu'authéorème 1 estvalable pour un espa e

X

ompa t quel onque.

Dénition 2.

•

Un prégénérateur de Markov(pGM) sur

X

est un opérateur

Ω

, déni sur un s.e.v. dense

D(Ω)

de

C(X)

, vériant



Ω1 = 0

,



∀f ∈ D(Ω), ∀α ≥ 0

,

min f

≥ min(f − αΩf)

.

• Ω

est dit fermé sison graphe est fermé dans

C(X)

× C(X)

.

•

On ditque

Ω

a pour lture

Ω

si l'adhéren e du graphe de

Ω

est le graphe de l'op é-rateur

Ω

.

Ilestbien onnuque

F(X)

estdensedans

C(X)

etquel'opérateurdénisur

F(X)

par (1.2) estun pGM.En faitnousverrons qu'il estmême déni surl'espa e suivant :

D(X) := {f ∈ C(X) : |||f||| =

X

v

où

∆

f

(v) := sup

η

∈X

|f(η) − f(η

v

)

|

(attention,

||| · |||

n'est pasune norme). Onrappelle un résultat lassiquequi estque toutpGMadmet une lture quiest en oreun pGM. Dénition 3. Un générateur de Markov (GM) est un pGM

Ω

fermé et tel que

Im(Id

−

αΩ) = C(X)

pour

α > 0

assez petit (et alors automatiquement pour tout

α

≥ 0

).

De esdénitionsondéduitla hosesuivante.Si

Ω

estunpGM,une onditionsusante pourque

Ω

soit unGMest quepour

α > 0

assez petit,

Im(Id

_{− αΩ) = C(X).}

(1.10)

Le théorèmesuivantjustiel'importan e de lanotionde générateurde Markov.

Théorème1 (Hille-Yosida). Il existe une orrespondan e bi-univoque entre ungénérateur de Markov

Ω

sur

X

et un semi-groupe de Markov

S(t)

sur

C(X)

. Cette orrespondan e est donnée par

Ωf = lim

t

→0

S(t)f

_{− f}

t

,

déni sur

D(Ω) = {f ∈ C(X)

telles quef ette limite existe

},

S(t)f = lim

n

→∞



Id

₋

t

n

Ω



−n

f, f

_{∈ C(X).}

Ainsi si le ritère (1.10) est vérié, e théorème fournit une solution à (SG), et par ailleurs on vérie assez aisément que

Ω

est déterminé par sa restri tion à

F(X)

, e qui signiel'uni ité de ette solution. Expliquons maintenant omment pour leprégénérateur (1.2) la ondition(

H

1

) permetdevérierque(1.10) a lieu.

Liggettfait, en plusde (

H

1

),les deuxhypothèsesnaturellessuivantes:

∀v ∈ V, c

v

(η)

est une fon tion ontinue de

η,

(

H

2

) et

C :=

sup

v

∈V,η∈X

c

v

(η) < +

∞.

(

H

3

)

Cesdeuxrestri tionssontmoinssigni ativesque(

H

1

).(

H

3

)impliquequepour

f

∈ D(X)

lasérie(1.2) onverge uniformément. Par ailleurs(

H

2

) faitque

Ωf

∈ C(X)

et ona

kΩfk ≤ C|||f|||.

(1.11) Si

f

∈ D(X)

et

g := f

− αΩf

,ona l'inégalité

∆

f

(w)

≤ ∆

g

(w) + α

X

v

6=w

a(w, v)∆

f

(v).

(1.12)

Àl'aidedel'opérateur

Γ

sur

ℓ

1

_{(V )}

dénipar

Γβ(v) =

P

w6=v

a(w, v)β(v)

,dontla onstante

B

dénieen(

H

1

)estenfaitlanormesubordonnée, etteestimations'é rit

∆

f

≤ ∆

g

+Γ∆

f

. Enitérantonobtient

∆

f

≤

P

n

k=0

α

k

Γ

k

∆

g

+α

n+1

Γ

n+1

∆

f

.Si

α < 1/B

lepassageàlalimite dans ette inégalité donne

Théorème2 (Liggett,'72). Sousles hypothèses(

H

1

),(

H

2

)et(

H

3

),Ona

Im(Id

− αΩ) =

C(X)

pour

α

assez petit. Par onséquent il existe un unique pro essus de Markov sur

X

vériant (SG).

Résumé de la preuve. Soit une suite exhaustive de sous-ensembles

V

n

⊂ V

, et

Ω

n

f (η) :=

P

v

∈V

n

c

v

(η)



f (η

v

)

− f(η)



.Lafamille

c

v

(η)

est elledénieen (1.1),etlesopérateurs

Ω

n

sont omme

Ω

dénis sur

D(X)

. Les quantités analogues à

C, B, Γ

pour

Ω

n

sont notées ave l'indi e

n

.L'idée lassiqueestd'exploiter lesbonnespropriétés de egénérateurni en montrant qu'elles passent à lalimite.

Clairement

C

n

≤ C

,

B

n

≤ B

et

Ω

n

f

→ Ωf

uniformément pour

f

∈ D(X)

. Prenons

g

_{∈ D(X)}

et montrons que

g

est limite d'une suite de

Im(Id

− αΩ)

. Puisque

Ω

n

est un opérateur borné sur

C(X)

, onvérie quepour

α < 1/

kOmega

n

k

,

Id

− αΩ

n

estinversible et don

Im(Id

− αΩ

n

) = C(X)

. Il existe ainsi

f

n

∈ C(X)

telle que

f

n

− αΩ

n

f

n

= g

. Il n'est pasdi ile devoirque

f

n

∈ D(X)

,de sorte qu'onpeut onsidérer

g

n

:= f

n

− αΩf

n

. Puisque

Γ

n

≤ Γ

, l'inégalité (1.13) donne

∆

f

n

≤ (Id − αΓ)

−1

∆

g

. En utilisant (1.11) on obtient enn

kg − g

n

k = αk(Ω − Ω

n

)f

n

k

≤ αC

X

v /

∈V

n

∆

f

n

(v)

≤ αC

X

v /

∈V

n

(Id

_{− αΓ)}

−1

∆

g

(v),

qui tendvers

0

quand

n

→ ∞

pourvuque

α < 1/B

,puisque

(Id

− αΓ)

−1

_∆

g

∈ ℓ

1

(V )

. Avant de poursuivre on pré ise que nos tentatives pour adapter ette preuve sous la onditionaaiblie (

H

′

1

) ont étéinfru tueuses.

1.3 Une onstru tion élémentaire des systèmes de spins ave intera tions de rang inni

Considérons une olle tion de taux de transition

(c

v

(η), v

∈ V, η ∈ X)

. On fait dans ette se tionl'hypothèse suivante :

A := sup

v

∈V

X

w

6=v

λ

w

λ

v

a(w, v) < +

∞,

(

H

′

1

)

où

a(w, v)

est dénià lapage 8,et

(λ

v

, v

∈ V )

estune famille de réelspositifs telleque

λ = inf

v∈V

λ

v

> 0.

La ondition (

H

′

1

) dit que la dépendan e de

c

v

(η)

en les oordonnées

(η(w), w

∈ V )

est d'une ertaine façon faible pour les sites

w

lointains de

v

. En plus de (

H

′

1

) on suppose en ore que(

H

2

) et(

H

3

)sontsatisfaites.

(

H

′

1

), et e faisant de proposer une onstru tion assez générale basée uniquement surdes outilsprobabilistes élémentaires. De epoint devue, notre onstru tion estdanslemême esprit que le travail de Harris dans un adre parti ulier ([26 ℄), mais nous ne demandons pas des intera tions de rangni. Nous montrons que quand (

H

′

1

) est vériée, un ertain pro essus de Markov, à espa e d'état dénombrable, a la propriété de ne pas exploser en temps ni. Ce iimplique qu'il ne peutpasy avoir d'inuen e venant d'inniment loin en un site donné en temps ni. Heuristiquement, l'idée prin ipale est que pour déterminer l'état

ξ

η

t

(v)

de notre système de spins au site

v

à l'instant

t

, partant d'une onguration

η

à l'instant

0

, il est né essaire de onnaître

η(w)

pour un ertain ensemble (aléatoire)

F

de sites

w

. Notre interprétation de (

H

′

1

) est qu'elle donne le ontrle adéquat sur les dépendan esàlongueportéede

c

v

(η)

pourque

F

restenipresquesûrement.Ce iimplique quelefaitdegelertouslessitesendehorsd'uneboîtenien'apasd'inuen esurlavaleur de

ξ

η

t

(v)

, pourvu que ette boîte soit susamment grande. Ce i onstitue le programme de la sous-se tion 1.3.1, qui nous amènera à onsidérer la limite de systèmes de spins nis. Dans la sous-se tion 1.3.2, nous nous atta hons à faire le lien entre e pro essus limite et leprégénérateur de Markov (1.2) asso ié aux taux

c

v

(η)

dénis en (1.1). Enn, ilestte hniquement important,lorsqu'ondonne une ertaine onstru tion d'unpro essus, d'avoirune ara térisationde sesmesuresinvariantes. C'estaussifaitdanslasous-se tion 1.3.2.

1.3.1 Couplage et existen e du pro essus limite

Onintroduitl'ensembledes ongurationsave un nombrenide

1

,soit

X

′

=

_{{η ∈ X : Card(η) < +∞},}

(1.14) où

Card(η) := Card

{v ∈ V : η(v) = 1}

.

Si

η

1

et

η

2

sont deux ongurationsqui oïn ident sur unsous-ensemble

W

de

V

,ona

∀v ∈ W, |c

v

(η

1

)

− c

v

(η

2

)

| ≤

X

w∈W

c

a(w, v).

(1.15)

Il s'agit d'une onséquen e dire tede ladénition de

a(w, v)

et de l'inégalité triangulaire (ainsique del'hypothèse (

H

2

) dansle asoù

W

c

est inni).Enn, Ondénit lanotation

a(w, v) := a(v, w).

On insiste surle fait quel'intérêt de notre onstru tion est de mettre en lumière l'aspe t naturel de (

H

′

1

), qui n'est pas palpable dans la démonstration du théorème 2. On utilise pour ela essentiellement une méthode de ouplage et une relation de dualité entre deux pro essus.

Pour résumer notrestratégie, nousallons d'abord dénir unpro essus enlaissant évoluer uniquementles oordonnées à l'intérieurd'uneboîte nie

V

n

⊂ V

,puis nousferons tendre

V

n

vers

V

en roissant, etprouverons quela suite de pro essus obtenus onverge presque sûrement. Le théorème 3 rend tout e i possible en mettant en ÷uvre une onstru tion graphique. L'idée de onstru tion graphique a été développée très ttpar Harrisdans un

pro essus(voirparexemple [25℄).Elle onsisteà fabriquerunpro essussur

X

ommeune fon tion déterministe d'un graphe aléatoire sous-ja ent, qui ontient une réalisation des instants etdeslieux desdiérentes transitions éventuelles,généralement obtenus à partir d'unefamilledepro essusdePoissonindépendants, indexéeparl'ensembledessites.Tout l'aléaest alors ontenudans ettefamille de pro essusde Poisson.

Nousutilisons i i despro essus de Poisson indépendantsd'intensité égale etassez grande pour pouvoir gouverner lestransitions de tous les sites. Lorsque l'un d'entre euxsaute, il se produit éventuellement un saut pour l'état de la onguration au site orrespondant. Cesaut alieu ou passelonune ertaine probabilité imposéepar ladynamique.

Avant d'expliquer omment obtenir un systèmede spins, ommençons par dénir les sys-tèmes de spinsnis.Il s'agitde simplespro essusde Markovà espa eni.

Dénition 4. Soit

η

∈ X

et

W

un sous-ensemble ni de

V

. On dit qu'un pro essus

ξ = (ξ

t

, t

≥ 0)

est unsystème despinsni partant de

η

etde paramètres

(W, c)

si 'est un pro essus de Markov sur

X

W

η

=

{θ ∈ X : θ

W

c

= η

_W

c

}

tel que 

ξ

0

= η

;

 pour

θ, θ

′

_{∈ X}

W

η

, son taux desaut de

θ

à

θ

′

est

c

v

(θ)

si

θ

′

_{= θ}

v

pour un

v

∈ W

, et

0

sinon.

On note

P

η,W

la loi d'un tel pro essus et

E

η,W

l'espéran e sous ette loi. En utilisant es notationson ontinuera à noter

ξ

t

la valeur du pro essus à l'instant

t

.

Onxedésormaisunesuite roissante

(V

n

, n

≥ 1)

deboîtesniestellesque

∪

n

≥1

V

n

= V

. Nousvoulonsdé rire e quiarriveàunsystèmedespinsnipartantde

η

etdeparamètres

(V

n

, c)

,losque

n

→ ∞

.

On passe maintenant à la dénition de pro essus de Markov auxiliaires, qu'on appellera pro essus d'invasion, et qui nous serviront omme outils pour ontrler les onséquen es de lamodi ationd'undes paramètres

η

ou

W

surl'évolution d'unsystèmede spins ni. Ce sont eux aussi des pro essus à valeurs dans l'espa e des ongurations, similaires au pro essusde per olation de premierpassage maisave des temps depassage exponentiels de paramètres dépendant des arêtes, et où les arêtes entre tous les ouples de sommets sont éventuellement on ernées par lespassages.

Soit

W

⊂ V

et

α = (α(w, v), w

6= v)

unefamillederéelspositifs.Plustard,lerlede

α

sera joué par

a

ou par

a

,selon le ontexte.Le prin ipe estque, indépendamment pour haque ouple desites

(x, y)

,onpla e desè hesde

x

vers

y

aux instants de sautd'unpro essus dePoisson,etqu'ondé idequeles

1

sepropagentselon esè hes.Plusrigoureusement on onsidère une famille de pro essusde Poisson mutuellement indépendants

(P

x,y

, x

6= y)

, où

P

x,y

apourintensité

α(x, y)

,etondénitungrapheorienté(aléatoire)

G

surl'ensemble

V

_{× R}

+

en pres rivant que

(x, s), (y, t)

estune arête de

G

si l'une desdeux onditions suivantes estvériée :

1.

x = y

et

s

≤ t

,

2.

s = t

et

s

estun instantde sautde

P

x,y

. Onnotealors

{(w, s) →

G

(v, t)

}

(1.16)

l'évènement qu'ilyaitun heminorientéde

(w, s)

vers

(v, t)

dans

G

, 'est-à-direunesuite niede è hesmises bout-à-bout de

w

vers

v

àdes instants roissants.

Dénition 5. Soit

P

W,α

la loi du pro essus

(ζ

t

, t

≥ 0)

sur

X

déni par

ζ

t

(v) = 1

⇔ ∃w ∈ W, (w, 0) →

G

(v, t),

et

E

W,α

l'espéran e sous ette loi. En utilisant es notations on ontinuera à noter

ζ

t

la valeurdupro essusàl'instant

t

.Toutpro essusdontlaloiest

P

W,α

seraappeléunpro essus d'invasion de paramètres

(W, α)

. Si

W =

{w}

ave

w

∈ V

, on é rit simplement

P

w,α

.

Une onséquen e immédiate de ette dénition est qu'un pro essusd'invasion possède la propriété de monotonie vis-à-vis du paramètre

α

. Plus pré isément si

α

et

α

e

sont tels que

∀w 6= v

,

α(w, v)

≤ e

α(w, v)

, alors unargument standard de ouplage montreque pour toutefon tion positive

f

mesurablesur

X

et roissante pour l'ordrepartiel anoniquesur

X

,ona

E

_W,α

_{[f (ζ}

_t

_)]

_{≤ E}

W,e

α

[f (ζ

t

)].

(1.17) Ondénit,pour

v

∈ V

et

χ

∈ X

,

γ

α

(v, χ) := (1

− χ(v))

X

w6=v

α(w, v)χ(w),

g

α

(χ) :=

X

v

∈V

λ

v

γ

α

(v, χ),

où

λ

v

estdéni dans(

H

′

1

).Remarquons qu'en prenant

α = a

,ona

γ

a

(v, χ)

≤ λ

−1

λ

v

X

w6=v

λ

−1

_v

λ

w

a(w, v),

etpar onséquent

γ

a

(v, χ)

≤ λ

−1

λ

v

A.

(1.18)

Ondénit également lafon tion

q(χ) :=

X

v

∈V

λ

v

χ(v), χ

∈ X.

Dansle asparti ulieroù

λ

v

≡ 1

,remarquonsque

q(χ)

estsimplementle ardinalde

χ

.Le résultat quel'onénon emaintenant donne unedes riptionsimple dupro essusd'invasion dansdeux asspé iaux:danslepremier,on partd'une ongurationave unnombreni de

0

, et dans le deuxième ave un

1

en un ertain site et des

0

partout ailleurs. On se on entre sur esdeuxtypesde onditions initiales par eque e sonten faitles seulesqui vont nousservir.

Dans la suite on note

1

W

la onguration telle que

1

W

(v) = 1

si

v

∈ W

et

0

sinon. La restri tion d'une onguration

η

àun ensemble

W

⊂ V

sera notée

η

W

.

Proposition 1. (i) Supposonsque

W

c

soit ni.Sous

P

W,a

,

(ζ

t

, t

≥ 0)

estunpro essus de Markov sur l'ensemble ni

X

W

=

{χ ∈ X : χ

W

≡ 1}

, partant de

ζ

0

= 1

W

. De plus,dans la onguration

χ

, le site

v

hange d'état au taux

γ

a

(v, χ)

.

(ii) Supposons maintenantque

W =

{w}

et que (

H

′

1

)soit vériée. Alors

E

_w,a

_[q(ζ

_t

_)]

_{≤ λ}

_w

_e

At

_,

(1.19)

A

étantla onstantedans (

H

′

1

).En parti ulier sous

P

w,a

,

(ζ

t

, t

≥ 0)

est non-explosif au sens où

P

w,a

(Card(ζ

t

) < +

∞) = 1

, et

(ζ

t

, t

≥ 0)

est un pro essus de Markov à valeurs dans l'ensemble dénombrable

X

′

, partant de

ζ

0

= 1

w

. De plus, dans la onguration

χ

, le site

v

hange d'état au taux

γ

a

(v, χ)

.

Démonstration. Dans ha un des deux as le ara tère markovien de

(ζ

t

, t

≥ 0)

dé oule dufaitquelespro essusdePoissonsontàin rémentsindépendantsetstationnaires. Pour al uler lestaux de sautdanslepremier as, remarquonssimplement que pour une on-guration initiale

χ

ave

χ(v) = 0

, la oordonnée

ζ

t

(v)

saute si et seulement si l'un des pro essus

P

w,v

(ave

χ(w) = 1

) saute. Le résultat est don une onséquen e du fait que

P

w:χ(w)=1

P

w,v

estun pro essusde Poisson d'intensité

γ

α

(v, χ)

.Sipar ontre

χ(v) = 1

le tauxde saut en

v

vaut

0

ar seulesdestransitions

0

→ 1

surviennent.

Quant à lase ondeassertion, onsidérons d'abord

a

n

(x, y) :=

(

a(x, y),

si

x, y

∈ V

n

,

0,

sinon;

(1.20)

et

a

n

(x, y) := a

n

(y, x)

. Soit

u

n

(t) := E

w,a

n

[q(ζ

t

)]

. D'une part, un simple al ul utilisant (

H

′

1

) montre que

g

a

n

(χ)

≤ Aq(χ)

.D'autre part, sous

P

w,a

n

,

(ζ

t

, t

≥ 0)

est à valeursdans un ensemble ni don la formule suivanteest une simple onséquen e de la dénition du générateurd'un pro essus desaut appliquéeà lafon tion

q

:

E

_w,a

n

[q(ζ

t+h

)

|ζ

t

] = q(ζ

t

) + g

a

n

(ζ

t

)h + o(h).

En prenant l'espéran edans ette formule, ilvient

lim

h

→0

u

n

(t + h)

− u

n

(t)

h

= E

w,a

n

[g

a

n

(ζ

t

)]

≤ Au

n

(t).

Mais alors lelemme de Grönwall ave le fait que

u

n

(0) = λ

w

donnent l'inégalité

u

n

(t)

≤

λ

w

e

At

.

Pour terminer la preuve nousdénissons un ouplage despro essus

(ζ

n

_{, n}

_{≥ 1)}

et

ζ

, qui sontdespro essusd'invasiondeparamètresrespe tifs

(w, a

n

)

et

(w, a)

, e ouplageayantla propriétéque

ζ

n

t

(v)

estunesuite roissantequi onvergevers

ζ

t

(v)

.Pour e i,on onsidère la onstru tion Poissonienne i-dessus et on dénit

ζ

n

exa tement omme

ζ

sauf que

ζ

n

utilise uniquement

P

x,y

ave

x, y

∈ V

n

. Plus pré isément on dé ide que

((x, s), (y, t))

est une arêtedanslegraphe

G

n

sil'une desdeux onditionssuivantesestvériée :soit

x = y

et

s

≤ t

,soit

s = t

,

x, y

∈ V

n

et

s

est uninstant de sautde

P

x,y

.Maintenant ondénit

ζ

n

t

par

ζ

_t

n

(v) = 1

⇔ (w, 0) →

G

n

(v, t).

Tout hemin xé dans le graphe

G

est aussi un hemin du graphe

G

n

dès que

V

n

est assez gros pour ontenir tousles sommetsde e hemin. Par onséquent

ζ

t

(v)

estbien la limite roissantequand

n

→ ∞

de

ζ

n

monotone,onaque

E

w,a

[q(ζ

t

)] = lim

n→∞

u

n

(t)

.Ainsilabornedonnéepour

u

n

(t)

estaussi valable pour

E

w,a

[q(ζ

t

)]

.

Puisquelepro essus

ζ

t

n'explosepasen temps ni,ils'agit d'unsimplepro essusde saut pur surl'ensemble

X

′

dénombrable. Onpeutdon pro éder ommedansle asoù

W

c

est nipourdéterminer sestaux detransition.

Remarque.C'estpré isément danslapreuve pré édenteque(

H

′

1

)agit.Imaginonspar sou i de simpli ité que

λ

v

≡ 1

. Alors e qui apparaît dans ette preuve on ernant le pro essus d'invasion

ζ

t

de paramètres

(w, a)

est que par (

H

′

1

) on a un ontrle

|ζ

t

| ≤ B

t

, où

B

t

estun pro essusde bran hement binaireen temps ontinu,d'intensité

A

.C'est ela qui assurelanon-explosivitéde

ζ

t

,qui est ru iale dansle orollaire1.

La proposition suivante établit une relation de dualité entre le pro essus d'invasion de paramètre

a

et elui deparamètre

a

.

Proposition 2. Soit

v

∈ V

et

W

⊂ V

.Alors

P

_W,a

_(ζ

_t

_{(v) = 1) = P}

_v,a

₍

_{∃w ∈ W, ζ}

_t

_{(w) = 1).}

(1.21)

Démonstration. Soit

t

≥ 0

.Pour

s

≤ t

,on pose

e

P

x,y

(s) = P

y,x

(t)

− P

y,x

(t

− s).

Les pro essus de Poisson étant à a roissements indépendants et stationnaires,

P

e

x,y

est aussi un pro essus de Poisson sur l'intervalle de temps

[0, t]

, d'intensité

a(y, x)

, et les pro essus

( e

P

x,y

, x

6= y)

sont mutuellement indépendantspuisque les

(P

x,y

, x

6= y)

le sont. Ondénit un nouveau graphe

G

e

sur

V

× [0, t]

de lamême façon que

G

,maisen utilisant ette fois

P

e

x,y

au lieu de

P

x,y

.L'équation (1.21) dé oule alors de l'équivalen e :

(w, 0)

→

G

(v, t)

⇔ (v, 0) →

G

e

(w, t),

qui traduitlefait qu'un hemin de

(w, 0)

vers

(v, t)

dans

G

orrespond, en retournant les è heseten inversant lesensdu temps,à un hemin de

(v, 0)

vers

(w, t)

dans

G

e

.

Passonsmaintenant aurésultat prin ipal de ettese tion.

Théorème3.Soient

n

≥ 1

et

η

∈ X

.Ilexisteun ouplagedepro essus

(ξ

η,n

_{, η}

_{∈ X, n ≥ 1)}

et

(ζ

n

_{, n}

_{≥ 1)}

tels que (i)

ξ

η,n

soit un systèmede spins ni partant de

η

et de paramètres

(V

n

, c)

, (ii)

ζ

n

soit un pro essus d'invasion deparamètres

(V

c

n

, a)

, (iii) pour tout

t

≥ 0

et

v

∈ V

n

,

on ait

{ζ

t

n

(v) = 0

} ⊂ {∀k ≥ n, ξ

t

η,n

(v) = ξ

η,k

t

(v)

}.

Démonstration. Commeannon é,nousallonsutiliserune onstru tiongraphique ommune pour onstruire une famille de systèmesde spins nis surun même espa e deprobabilité. On ommen e don sans surprise par onsidérer une famille

(N

v

, v

∈ V )

de pro essus de Poisson mutuellement indépendants,

N

v

étant d'intensité

C + Aλ

−1

_λ

v

. On introduit aussiune famille, indépendante de

(N

v

, v

∈ V )

,de variables aléatoires

(U

v,i

, v

∈ V, i ≥ 1)

mutuellementindépendantes,

U

v,i

étantdistribuéeselonlaloiuniformesur

[0, C +Aλ

−1

_λ

v

]

. Tout e matériel aléatoire est déni sur un espa e de probabilité approprié

(Ω,

F, P)

, et l'espéran e sous

P

estnotée

E

.Pour

n

≥ 1

,on onsidère

N

n

=

X

v

∈V

n

N

v

.

Les sauts de

N

n

sont presque sûrement distin ts et n'ont pas de point d'a umulation, de sorte qu'il existe une suite stri tement roissante

(t

j

, j

≥ 1)

telle queles sauts de

N

n

soient les

t

j

, j

≥ 1

.Soit

v

j

lesite de

V

n

tel que

N

v

j

(t

j

)

− N

v

j

(t

−

j

) = 1

,et

u

j

= U

v

j

,N

_vj

(t

j

)

. Ondénit alors

ξ

η,n

t

de pro he en pro he, sur lesintervalles de temps

[t

j

, t

j+1

)

(sa valeur est onstantesur ha un de esintervalles):

 pour

t

∈ [0, t

1

)

,

ξ

η,n

t

= η

;  pour

t

∈ [t

j

, t

j+1

)

,

ξ

η,n

t

=









ξ

_t

η,n

_j−1



v

j

,

si

u

j

< c

v

j

(ξ

η,n

t

j−1

),

ξ

η,n

_t

_j−1

,

sinon. Ondénit aussi

ζ

n

de pro he en pro he, àpartir du même matérielaléatoire :  pour

t

∈ [0, t

1

)

,

ζ

n

t

= 1

V

c

n

;  pour

t

∈ [t

j

, t

j+1

)

,

ζ

_t

n

=









ζ

_t

n

_j−1



v

j

,

si

ζ

n

t

j−1

(v

j

) = 0

,et

A

n

j

≤ u

j

≤ A

n

j

+ γ

a

(v

j

, ζ

t

n

j−1

),

ζ

_t

n

_j−1

,

sinon; où

A

n

j

:= inf

k

≥n

c

v

j

(ξ

η,k

t

j−1

)

. La valeur de

A

n

j

représente le taux de saut simultané de tous les pro essus

ξ

η,k

t

,

k

≥ n

, lors de ette

j

-ième transition. Rappelons que

γ

a

(v

j

, ζ

n

t

j−1

) =

P

w

6=v

j

a(w, v

j

)ζ

n

t

j−1

(w)

,lorsque

ζ

n

t

j−1

(v

j

) = 0

.

Il dé ouleen ore despropriétés despro essusdePoissonque ha un despro essus

ξ

η,n

et

ζ

n

alapropriétédeMarkov.Parailleurslestauxdesautsont euxvoulus,par onstru tion. Eneet,pour haquepro essusletauxdesautd'une oordonnéeestdonnéeparlalongueur instantanée de l'intervalle auquel on demande à

u

j

d'appartenir pour que la oordonnée saute, puisque dans notre onstru tion et intervalle est toujours ontenu dans

[0, C +

Aλ

−1

λ

v

j

]

d'après (1.18). Observonsalors que ette longueur a été justement hoisie pour quetous espro essusaient ladynamique désirée.

Montrons (iii) par ré urren e sur

j

. Ave la onvention

t

0

= 0

,on doit prouver que pour tous

j

≥ 0

et

v

∈ V

,

{ζ

t

n

j

(v) = 0

} ⊂ {∀k ≥ n, ξ

η,n

t

j

(v) = ξ

η,k

t

j

(v)

}.

(1.22) Le as

j = 0

estune onséquen e deladénitiondespro essus. Supposons que(1.22)soit vériée pourun

j

≥ 0

etque

ζ

n

t

j

(v

j+1

) = 0

(dansle as ontrairela on lusionesttriviale). Alors(1.15) donne

sup

k

≥n

c

v

j+1

(ξ

η,k

t

j

)

≤ inf

_k

≥n

c

v

j+1

(ξ

η,k

t

j

) + γ

a

(v

j+1

, ζ

n

t

j

).

Par onséquent,lorsquelatranstionàl'instant

t

j+1

faitsauter

ξ

η,k

t

(v

j+1

)

maispas

ξ

η,k

′

t

(v

j+1

)

, pour deux entiers

k, k

′

_{≥ n}

, elle doit né essairement faire sauter aussi

ζ

n

t

(v

j+1

)

de

0

à

1

. Ainsi(1.22) reste vraiepour

j + 1

.

Corollaire 1. Dans le ouplage pré édent, pour tout

v

∈ V

et

t

≥ 0

, la suite

ξ

η,n

t

(v)

est presque sûrement onstanteàpartir d'un ertain rang

n

(aléatoire),eton peut don dénir

ξ

_t

η

(v) := lim

n

→∞

ξ

η,n

t

(v).

Démonstration. Fixons

v

∈ V

et

t

≥ 0

.La suite d'évènements

E

n

:=

{∀k ≥ n, ξ

t

η,k

(v) = ξ

t

η,n

(v)

}

est roissante don par le théorème 3 (iii) il sut de montrer que

lim

n

→∞

P

V

c

n

,a

(ζ

t

(v) =

1) = 0

. Orlarelation dedualité (1.21) impliqueque

lim

n

→∞

P

_V

c

n

,a

(ζ

t

(v) = 1) = lim

_n

_→∞

P

v,a

(

∃w ∈ V

c

n

: ζ

t

(w) = 1)

= P

v,a

(Card(ζ

t

) = +

∞)

= 0,

où ladernièreégalité dé oulede (1.19).

1.3.2 Générateur et mesures invariantes du pro essus limite

Jusqu'à présent nousavonsseulement établil'existen edu pro essuslimite

(ξ

η

t

, t

≥ 0)

mais nous n'avons au une réelle information on ernant sa loi. Dans ette se tion nous montrons qu'il possède la propriété de Markov et que l'expression de son générateur est elle attendue, à savoir que (1.8) a lieu pour les fon tions

f

dans un ensemble que nous introduisonsmaintenant.

Pour une fon tion

f

sur

X

, on rappelle la notation

∆

f

(v) := sup

η

∈X

|f(η) − f(η

v

)

|

qui mesure l'inuen e de

η(v)

sur lavaleur de

f (η)

.Plutt qu'ave les fon tions lo ales nous préférons travailler i i ave l'espa e fon tionnel suivant qui s'avère plus adapté à notre problème quel'espa e

F(X)

.Soit

D(X) = {f : X → R, f

est ontinue et

X

v

∈V

λ

v

∆

f

(v) < +

∞}.

Remarquonsquelanotation

D(X)

hangeparrapportàlase tion1.2dufaitdelaprésen e des

λ

v

,

v

∈ V

.

D(X)

doit être vu ommeun espa e de fon tionsrégulières au sens où e sont desfon tionsqui dépendent peu des oordonnées lointaines. Pour

f

∈ D(X)

on note

|||f||| :=

X

v

∈V

λ

v

∆

f

(v).

Ilfaut noterque esdeuxnotationsont légèrement hangépar rapportàlase tion1.2,du faitque (

H

1

)a étérempla ée par (

H

′

1

).Nous rappelonsladénition duprégénérateur

Ωf (η) :=

X

v∈V