Maths PCSI Exercices
D´ecomposition des fractions rationnelles
Il s’agit de l’une des feuilles lesplus maigres de l’ann´ee : d’autres fractions arriveront naturellement dans les calculs d’int´egrales et primitives.
Exercice 1
D´ecomposer en ´el´ements simples sur R et C les fractions suivantes :1. 1
X4+ 1, 1 X4−1;
2. 1
1 +X+X2, 1
X8−1 et 1 Xn−1;
3. 1
X2−2 cosθX+ 1·
Exercice 2
D´ecomposer en ´el´ements simples sur Rles fractions suivantes :1. 1
(X2−1)(X2+ 1)2 (utiliser la parit´e pour r´eduire les calculs) ;
2. 1
(X+ 1)3(X2+X+ 1)2; 3. Qn n!
k=1(X+k); 4. X5+ 2
(X2+X+ 1)3 (faire la division euclidienne deX5+ 2 parX2+X+ 1).
Exercice 3
SoitTn len-`eme polynˆome de Tchebichev. D´ecomposer 1 Tn·Exercice 4
(*)SoitP ∈C[X]. En consid´erantP0
P, montrer que les racines deP0sont incluses dans l’enveloppe convexe des racines de P, c’est-`a dire sont des barycentres “`a coefficients positifs” de ces derni`eres.
On pourra ´etablir une relation de la forme Xn
k=1
λk(z−zk) = 0,
o`u lesλk sont des r´eels positifs,z est une racine deP0, et leszk sont les racines de P.
Exercice 5
D´ecomposer en ´el´ements simples sur R X2+X+ 1 (X2−1)(X2+ 1) et XX4+X2+ 1·
