Abaque de Nichols

Abaque de Nichols

Documentation : Technique de l’ing´enieur

Th´eorie des circuits ´electriques lin´eaires.

Cet abaque permet, connaissant le nombre complexe : z = |z|e^iϕ d’obtenir le nombre complexe : Z = 1

1 +z =|Z|e^iθ et inversement.

L’abaque est trac´e dans un plan o`u sont port´ees en abscisses les valeurs de ϕ, exprim´ees en degr´es, et, en ordonn´ees, les valeurs de |z|, exprim´ees en d´ecibel (dB).

Cet abaque est constitu´e par l’ensemble de deux familles de courbes : – les courbes `a <(z) constante et =(z) variable.

– les courbes `a =(z) constante et <(z) variable.

Son utilit´e r´eside dans le fait que la transmittance H d’un syst`eme boucl´e, peut s’´ecrire : H = δσµ

1−µβ =−δσ β

−µβ 1−µβ

=−δσ β

C 1 +C

en posant : C =−µβ

Lorsque l’on connait C, cet abaque permet de d´eterminer par simple lecture : C 1 +C

Th` eme d’´ etude

Le but de cette ´etude est de construire l’abaque de Nichols en utilisant les connaissances du cours sur les transformations complexes.

On d´esigne par i le nombre complexe de module 1 et d’argument π Le plan complexe P est rapport´e `a un rep`ere orthonorm´e direct. 2

On notera respectivement <(z) et =(z) les parties r´eelle et imaginaire de z.

Soit l’applicationf qui `a tout point M d’affixe z associe le pointM⁰ d’affixe Z.

f :

( C → C

z 7→ Z =f(z) = z 1 +z f :

P → P

M 7→ M⁰ =f(M)

♣♦♥

♠ 1 / 2 ^♣_♦^♥_♠

1) Transformation f

D´ecomposer la transformation f en transformations ´el´ementaires simples.

2) Images des droites verticales

a) D´eterminer l’image par f de la droite d’´equation x=−1

b) D´eterminer ensuite l’image par la transformation f d’une droite d’´equation x = a pour les valeurs du r´eel a diff´erent de −1.

3) Images des droites horizontales

a) D´eterminer l’image par f de la droite d’´equation y= 0.

b) D´eterminer ensuite l’image par la transformation f d’une droite d’´equation y = b pour les valeurs du r´eel b diff´erent de 0.

4) Abaque de Nichols

Construction de l’abaque constitu´e par l’ensemble des deux familles de courbes : – les courbes `a <(z) constante et =(z) variable.

– les courbes `a =(z) constante et <(z) variable.

(On prendra pour unit´e : 6 cm) a) Construire les images par f des droites d’´equations respectives :

x=−2 ; x=−3

2 ; x=−1 ; x=−1

2 ; x= 1

2 ; x= 1 ; x= 2 y =−2 ; y=−3

2 ; y=−1

2 ; y= 0 ; y= 1

2 ; y= 2

3 ; y= 1

b) Compl´eter cet abaque de telle mani`ere que le centre de sym´etrie de la figure soit le point de coordonn´ees (1 ; 0)

Indiquer sur la figure les ant´ec´edents des nouveaux ´el´ements trac´es.

5) Lecture sur l’Abaque de Nichols

Utilisation de cet abaque :

a) D´eterminer Z par lecture sur cet abaque pour les valeurs suivantes de z : z = −3 +i

2 ; z =−2−i ; z = i

2

b) D´eterminer z par lecture sur cet abaque pour les valeurs suivantes de Z : Z = 2−i ; Z = 1 + 2i ; Z = 7−4i

5

Comparer les r´esultats lus sur l’abaque avec les r´esultats obtenus par le calcul.

♣♦♥

♠ 2 / 2 ^♣_♦^♥_♠

Abaque de Nichols : Corrig´ e

R iR

0• i

1) Transformation f

f : z 7−→Z =f(z) = z

1 +z = −1 z+ 1 + 1 D´ecomposition en transformations ´el´ementaires :

z 7−→^f1 z₁ =z+ 17−→^f2 z₂ = 1 z1

f3

7−→z₃ =−z₂ 7−→^f4 Z =f(z) =z₃+ 1 Avec : f =f₄◦f₃◦f₂◦f₁

f₁ =T Translation de vecteur d’affixe (1) f₂ =I Inversion Complexe

f3 =S Sim´etrie de centre O

f₄ =T Translation de vecteur d’affixe (1)

♣♦♥

♠ I / IV ^♣_♦^♥_♠

2) Image des droites verticales

a) Soit D la droite d’´equation x=−1 et D⁰ =f(D) son image par f.

D7−→^T D₁ 7−→^I D₂ 7−→^S D₃ 7−→^T D⁰ =f(D) D : x=−1 D₁ =D₂ =D₃ : x= 0

D⁰ : x= 1

D

D₁ =D₂ =D₃ D⁰

0 1

i

b) Soit ∆ la droite d’´equation x=a a6=−1 et ∆⁰ =f(∆) son image par f.

∆7−→^T ∆₁ 7−→^I ∆₂ 7−→^S ∆₃ 7−→^T ∆⁰ =f(∆)

∆₁ est la droite d’´equation x=a+ 1 qui coupe l’axe des r´eels enA₁ d’affixe (a+ 1)

∆₂ est le cercle de diam`etre OA₂ A₂ d’affixe _a+1¹

∆₃ est le cercle de diam`etre OA₃ A₃ d’affixe _a+1⁻¹

∆⁰ est le cercle ∆₃ translat´e de 1

∆7−→^T ∆₁ 7−→^I ∆₂ 7−→^S ∆₃ 7−→^T ∆⁰ =f(∆) Figure ci-contre construite avec : a=−1

2

∆ : x=a

∆₁ : x=a+ 1

∆₂ :

x− 1 2(a+ 1)

2

+y² = 1 4(a+ 1)²

∆₃ :

x+ 1 2(a+ 1)

2

+y² = 1 4(a+ 1)²

∆⁰ :

x− 2a+ 1 2(a+ 1)

2

+y² = 1 4(a+ 1)²

∆ ∆₁

•A₁

∆₂

•A₂

∆A₃₃•

∆⁰

0 1

i

♣♦♥

♠ II / IV ^♣_♦^♥_♠

3) Images des droites horizontales

a) Soit D la droite d’´equation y= 0 et D⁰ =f(D) son image parf.

D7−→^T D₁ 7−→^I D₂ 7−→^S D₃ 7−→^T D⁰ =f(D) La droite est invariante : f(D) =D

D=D₁ =D₂ =D₃ =D⁰ : y= 0

D=D₁ =D₂ =D₃ =D⁰

0 1

i

b) Soit ∆ la droite d’´equation y=b a6= 0 et ∆⁰ =f(∆) son image par f.

∆7−→^T ∆₁ 7−→^I ∆₂ 7−→^S ∆₃ 7−→^T ∆⁰ =f(∆)

∆1 =D est la droite d’´equation y =b qui coupe l’axe des imaginaires enB d’affixe (b i)

∆₂ est le cercle de diam`etre OB₂ B₂ d’affixe (−_bⁱ)

∆₃ est le cercle de diam`etre OB₃ B₃ d’affixe (_bⁱ)

∆⁰ est le cercle ∆3 translat´e de 1

∆7−→^T ∆1

7−→I ∆2

7−→S ∆3

7−→T ∆⁰ =f(∆) Figure ci-contre construite avec : b = 1

2

∆ : y=b

∆₁ : y=b

∆₂ : x²+

y+ 1 2b

2

= 1 4b²

∆₃ : x²+

y− 1 2b

2

= 1 4b²

∆⁰ : (x−1)²+

y− 1 2b

2

= 1 4b²

∆ = ∆₁

B1•

∆₂ B₂•

∆₃ B₃• ∆⁰

0 1

i

♣♦♥

♠ III / IV ^♣_♦^♥_♠

4) Abaque de Nichols

On lit sur l’abaque : z =x+y i 7−→ f(z) =Z =X+Y i

X

Y ^x=−1

2 −4

1 −3

1

2 −⁵₂

x= 0 x=−2

x=−¹₃ x=−⁵₃

x=−¹₂ x=−³₂

y= 0

−3 3

−2 2

−³₂

3 2

y=−1 y= 1

y =−²₃ y= ²₃

y =−¹₂ y= ¹₂

•A

•B C •

•D E•

• F 0•

i

5) Lecture sur l’Abaque de Nichols

Les r´esultats sont lus sur l’abaque aux points A, B, C et D, E, F. a) z 7→Z −3 +i

2 7→2 +i (A); −2−i7→ 3−i

2 (B); i

2 7→ 1 + 2i

5 (C)

b) Z ←[z 2−i←[

−3−i

2 (D); 1 + 2i←[−1 + i

2 (E); 7−4i

5 ←[−3

2 −i (F)

♣♦♥

♠ IV / IV ^♣_♦^♥_♠