 ez cos..   ....)0/1( yRzeMV 

MPSI/PCSI Sciences de l’Ingénieur

1/4

Corrigé TD Cinématique 4 : Contact entre 2 solides Exercice 1 Pompe « Medicare »

) 1 / 0 (

) 0 / 2 (

) 1 / 2

( M   V M   V M 

V   

z z BM B

V M

V 

 



 (  2 / 0 )  (  2 / 0 )   ( 2 / 0 )   .

) . .

( .

0 )

0 / 1 ( )

0 / 1 (

) 0 / 1

( M V O

₁

O

₁

M x e y

₁

R z

V   

 





           

y R z

e M

V 

 

 

. . .

. ) 0 / 1

(   

₁

 

y R z

e z z M

V 

 

 

 

. . .

. .

) 1 / 2

(    

₁

 

z y

z   

. cos .

1

  sin   

z e

z y R

e M

V 

 

 

 

).

cos . . (

).

. sin

. . ( ) 1 / 2

(          

La vitesse de glissement est dans la direction

y 



z   e .   . cos 

 

O O

x O

V V

 



 

 















 

0 . )

0 / 1 (

) 0 / 1 0 (

/

1 

 



 

 

B

B

z z

B V V

 



 

 

 



 





  









. 0 )

0 / 2 (

) 0 / 2 0 (

/ 2

 

M

y

M

x M

V V

 



 





 















   

 





. . )

1 / 2 (

) 1 / 2 1 (

/

2 



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2/4

Exercice 2 Véhicule à 4 roues

1.

I

est l’intersection des droites

( A

₁

, u 

₁

)

et

( C , x  )

2. La roue (2) est perpendiculaire à

( IA

₂

)

.

3.

d

l

 



₁



tan

d l

 



₂

 tan

4.

V  ( C  S / R

₀

)  V  ( I  S / R

₀

)    ( S / R

₀

)  IC y

x z

y

V 

 

 

 0 . . . .

.   

₀

     V    . 

5. Roulement sans glissement en

I

₁ 

 (

₁

1 /

₀

) 0 



 R I

V

0 ) / (

) / 1 (

) / 1

(

_{1 0}



₁



_{1 0}



 I  R  V I  S  V I  S R  V

1 1 1

1 1 1 1

1

1 / ) ( 1 / ) ( 1 / ) . ( . ) . .

( I S V A S S A I u r z r v

V        



   















1 0

0 0

1

/ ) ( / ) ( / )

( I S R V I S R S R II

V         

1 1 1

1 1

0

1

/ ) . . ( . . ) . .

( I S R z u R u r z R v

V 

 



 

 



    







 

₁

. r  R

₁

. 

r R 

 ^

₁



¹

^{. }

6. De même

r R 

 ^

₂



²

^{. }

 en virage, les roues ne tournent pas à la même vitesse !!!

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3/4

Exercice 3 Robot de maraichage

(CCP MP 2016)

Question 1

En I3 la condition de roulement sans glissement entre la roue 3 et le sol s’écrit :



3

3 /  0 ( 3 / ).

3

0

V I   roue sol   et   roue sol y  

Que l’on peut aussi écrire :

V I  

3

 3 / 0   0  et   ( roue 3 / 0). y 

3

 0

     

     

3 3 3

3 3 3 3 1 1 3

1 1 1

1 1 1

3 / 0 0 3 / 1 1 / 0

3 / 0 0 0 3 / 1 (3 / 1) 0 0 1 / 0 (1 / 0) 0

0 0 ( ) ( )

0

d d

V I V I V I

V I V I V I

y rz Vx z ey hz rz

r x Vx e x

 

 

     

           

         

   



  

 

     

        

 

  



En projection sur

x 

₁

:

 r 

_d

 V  e    0

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4/4

Question 1

De même :

 r 

_d

 V  e    0

Question 2 On a : d

V e r

  

 

et g

V e r

  ^  

On en déduit :

2 2

d g

V e V e e e d

r r r r dt

  

   ^{ }  

          



21

( ) ( )

( ) 2

p r

H p

p ep

  



(Condition initiale nulle)

Question 3

Question 4

( ) ( ) ( )

tan ( ) tan ( ) ( ) ' ( ) .

( ) ( ) ( )

dy t dy t dy t dt

t si est petit t t d où t

dx t dx t dt dx t

        

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

dy t dx t

t y t t x t t V

dt   dt      

On avait : 22

( ) ( )

( ) Y p V

H p

p p

 



(condition initiale nulle)

On en déduit :

2

( )

21

( )

22

( )

2

2 2

r V rV

H p H p H p

ep p ep

  