Université de Strasbourg
TP SCILAB
Agrégation Externe de Mathématiques Année 2012-2013
TP7: Etude de schémas numériques pour l’advection linéaire
On considère le problème d’advection linéaire
∂u
∂t +a(x)∂u
∂x = 0dans[0, π], u(0, x) = u0sin(2x),
avec des conditions aux limites périodiques, i.e. on suppose que la solution u(t, x) est périodique de période πen x. La fonctiona est donnée de classeC1 donnée. On traitera les questions successivement avec la fonction a(x) = 1 puis avec a(x) = sinx. Nous rappelons que la solution exacte est donnée en fonction de la condition initiale et des car- actéristiques par uex(x, t) = u0(X(0;x, t). Poura(x) = 1, on aX(t;x, s) = x+t−set poura(x) = sinx, on aX(t;x, s) = 2 arctan((tanx2)et−s).
1. Etude du schéma explicite décentré amont :
un+1i =uni −a(xi)∆t
∆x(uni −uni−1).
(a) Implanter le schéma explicite décentré amont avec les CL périodiques. Faire une simulation jusqu’au temps finalT = 1.
(b) Influence de la CFL. Vérifier que le schéma est stable uniquement pour ∆x∆t ≤1.
Calculer et comparer la solution approchée ent= 1pour différentes valeurs du rapport ∆x∆t.
(c) Vérifier visuellement qu’il converge vers la solution exacte quand les pas de temps et d’espace tendent vers 0 (le rapport des deux étant fixé). Pour cela on superposera les graphes de la solution calculée et de la solution exacte.
(d) Vérifier que le schéme est d’ordre 1 en temps et en espace. Pour cela, on cal- culera l’erreur pour différentes valeurs de∆tet∆x.
2. Etude du schéma explicite de Lax-Wendroff.
un+1i =uni − a(x)∆t
2∆x (1−∆t
2 a0(x))(uni+1−uni−1) + a(x)2∆t2
2∆x2 (uni+1−2uni +uni−1).
(a) Vérifier que le schéme est d’ordre 2 en temps et en espace.
(b) Comparer la solution obtenue avec ce schéma avec celle du schéma décentré amont pour la condition initialeu(0, x) = sin(2x)et pour la condition initiale u(0, x) = 1six∈[1,2]et 0 sinon pour différentes valeurs de la CFL.
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