8 (fonctions de la forme

Corrigé du devoir n

^◦

8 (fonctions de la forme

^{f exp}

et

^{exp f}

)

1 Six2 Df,f(x) est deni, et par consequente^f(x)egalement; on a donc Df = Dexp◦f. Pour quef(e^x) soit deni, il faut (et il sut) quee^x 2 Df;e^xetant toujours positif, cela revient donc a e^x 2 Df \

]

^{0; +1}

[

^{ou encore x 2 ln(Df \}

]

^{0; +1}

[

^{) (ou la}

notation ln(A), avec A

]

^0,+1

[

, designe l'ensemble des X de la forme lny, avec y2A).

2 Si f est paire, on a (pour tout x 2 Df) f(x) = f( x), et donc e^f(x) = e^f(−x), ce qui montre que exp fest paire. Une fonction de la forme exp f, etant toujours strictement positive, ne peut ^etre impaire. La fonction x 7! chx est paire, et on peut l'ecrirefexp, ouf(X) = (X+1/X)/2. Plus generalement, pour quefexp soit paire, il faut que (pour toutX)f(1/X) =f(X). Enn, en prenantf(x) = (x 1/x)/2, on voit que f exp = sh, qui est impaire.

3 Si f est T-periodique, c'est que (pour tout x de Df) f(x+T) = f(x), et donc que e^f(x+T)=e^f(x), ce qui montre que exp festT-periodique. Prenantf(X) = sin lnX, on voit que (f exp)(x) = sinx, et donc quef exp est2π-periodique.

4 Supposons que x tende vers +1, il en sera de m^eme de e^x, et par consequent, si lim

+∞fexiste, elle sera egale a lim

+∞f exp; reciproquement, comme lnX tend vers +1 avec X, on voit que lim

+∞f= lim

+∞f exp. De m^eme, si lim

+∞f= a 2 R, on aura lim+∞exp f=e^a, mais l'ecrituree^+∞etant illegale, on doit rediger completement les autres cas; ainsi, si a = +1, la limite sera +1; et enn, si lim

+∞f = 1, on aura lim

+∞exp f=0.

5 De m^eme, lim_x→−∞f(e^x) = lim

0⁺ f; et lim_x→af(e^x) = lim

lnaf. Enn, si par exemple lim_a f= 1 (ou a est une borne de Df), on aura lim_x→ae^f(x)=0.

6 L'exponentielle etant croissante, les variations de f et de exp f sont les m^emes, en eet f(a)< f(b) () e^f(a) < e^f(b). D'autre part, si f est croissante sur

[

^a;b

]

(avec a > 0), f exp sera croissante sur

[

^{lna; lnb}

]

, comme on le voit aisement;

l'etude des variations def exp et de exp fdecoule donc directement de celles de f (et ce raisonnement ne necessite pas de savoir si f est derivable, ni bien s^ur de conna^tre la formule de derivation des fonctions composees).

7 L'etude precise des branches innies depend de la forme exacte def. Ainsi, prenant f(x) = ln(ax+b+c/x) (aveca > 0), fpresente une branche parabolique d'axe Ox en +1 (puisque lnx

+∞x), alors queg= exp fa

[

^Y=aX+b

]

comme asymptote oblique (g(x) =ax+b+c/x) et h= f exp a

[

^{Y =X+ lna}

]

comme asymptote oblique (h(x) = ln(ae^x+b+ce^−x) =x+ln(a+ε(x)).

8 En resume, le domaine, les limites et les variations de f exp et de exp fpeuvent

^etre deduits directement de ceux de f (sans conna^tre la forme exacte de f);

les autres elements de l'etude (les branches innies par exemple) necessitent une connaissance plus precise de f, inutile pour un trace rapide (mais tres approche) du graphe

9 Comme pour les branches innies, la recherche des points d'inexions (correspon- dant aux zeros de la derivee seconde quand elle existe) ne saurait ^etre aussi directe;

Devoir n8 (fonctions de la forme^fexp et ^{exp f}) : corrige p. 2

en eet, (exp f)⁰⁰ = (f⁰² +f⁰⁰) (exp f), par exemple; et on voit que ses zeros ne sont pas ceux de f⁰⁰. Dans le cas de f(x) = sinx (dont les points d'inexions sont en 0 et π), on obtient (e^sinx)⁰⁰ = 0 () cos²x = sinx, qui (sur

[

^{0, π}

]

⁾

se produit en Arc sin((p

5 1)/2) '0.6662; de m^eme, on constate (graphiquement) que la fonction h:x 7!e^1/(x3−x) de l'application de 10 possede des inexions sans rapport avec f.

10 Sur l'exemple f : x 7! f(x) = 1/(x³ x) (impaire, de domaine R f 1, 0, 1g) (et sur les fonctions g=f exp :x7! 1

e^3x e^x eth = exp f:x7!exp(1/x³ x)), on peut conrmer ces dierentes observations (en particulier, les trois tableaux de variations sont analogues, les asymptotes aussi, mais pas les points d'inexions;

l'etude des points limites du graphe deh(en 0 et en1⁻) ne peut egalement pas ^etre deduite de l'etude def. Le travail complet (ou l'on se fera aider par la calculatrice) est laisse au lecteur . . .