Modélisation des fibres à cristaux photoniques par une méthode vectorielle :

MINISTÈRE DE L’ENSEIGNEMENT SUPÉRIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE

-o-o-o-o-o-o-o-o-

UNIVERSITE D’ABOMEY-CALAVI -o-o-o-o-o-o-o-o-

ECOLE POLYTECHNIQUE D’ABOMEY-CALAVI (E.P.A.C.) -o-o-o-o-o-o-o-

Département de Génie Informatique et Télécommunications (GIT)

Option: Réseaux et Télécommunications

MEMOIRE DE FIN DE FORMATION

POUR L’OBTENTION DU

DIPLOME D’INGENIEUR DE CONCEPTION

THEME :

Réalisé par :

M. Isidore Giovanni Adoukpè Ayéodayo AFFOGNON Sous la supervision de :

Dr Michel DOSSOU, Enseignant-Chercheur à l’EPAC

et de

Dr Villévo ADANHOUNME, Maître Assistant des Universités CAMES

Année Académique : 2011-2012 5^ème Promotion

Modélisation des fibres à cristaux

photoniques par une méthode vectorielle :

Caractérisation de la dispersion chromatique

Dédicace ii

Remerciements iii

Liste des figures vii

Résumé viii

Abstract x

Introduction générale 1

I Synthèse bibliographique et approche méthodologique 5

1 Généralités sur les fibres optiques 6

2 État de l’art sur les différentes méthodes de modélisation

des PCFs 23

II Approche méthodologique 31

3 Résolution analytique des équations de Maxwell 32

4 Matériel de simulation 40

5 Présentation d’un modèle de fibre 48 6 Résultat de simulation et comparaison des résultats 53

Conclusion et perspectives 62

Références bibliographiques 64

Annexes 68

Summary 72

TABLE DES MATIERES 81

A

mes chers parents,

Armand AFFOGNON et Antoinette LAOUROU, en reconnaissance des nombreux sacrifices et efforts consentis pour mon éducation,

mon suivi, mon accompagnement et ma réussite.

Je remercie Dieu Tout Puissant car avec lui tout est grâce.

Je remercie la Très Sainte Vierge Marie pour son intercession et sa miséricorde.

J’exprime ma grande gratitude et mes sincères remerciements au Docteur Michel DOSSOU pour m’avoir permis de réaliser ce travail en me proposant le sujet de mémoire. Son sens aigu du travail bien accompli et sa disponibilité m’ont aidé pour la réussite de ce mémoire.

Je tiens à remercier sincèrement le Docteur Villévo ADANHOUNME.

Je lui suis reconnaissant des conseils ainsi que de son attention assez particulière afin que ce travail se déroule dans de bonnes conditions.

J’exprime mes remerciements au Docteur Sèmiyou ADEDJOUMA pour m’avoir accepté au Laboratoire d’Electrotechnique de Télécom- munications et d’Informatique Appliquée (LETIA) afin que j’y fasse mon stage.

Je remercie le Directeur de l’Ecole Polytechnique d’Abomey-Calavi (EPAC) en la personne du Professeur Félicien AVLESSI ainsi que tous ses collaborateurs.

Je tiens à remercier le Docteur Marc ASSOGBA, en sa qualité de Chef du Département de Génie Informatique et Télécommunications ainsi que tous les enseignants dudit département.

Aussi à tout le corps professoral du département "frère" le Dépar-

leur encadrement car comme l’a dit Victor HUGO « Chaque enfant qu’on enseigne est un homme qu’on gagne ».

J’adresse mes sincères remerciements à Mohamed, et à tous ceux qui m’ont aidé d’une manière ou d’une autre dans la concrétisation de ce travail.

Je remercie tous mes camarades de promotion et tous mes amis.

Je remercie mon frère Mariano et mes sœurs Raïssa et Immaculée pour leur soutien constant.

Je remercie Myleine HOUNSOU pour tout ce qu’elle a fait et fera pour moi.

Je remercie mes grands-parents, oncles, tantes, cousins, cousines, neveux et nièces.

PCF : photonic crystal fiber

FSM : fundamental space-filling mode

FOM : fibre optique microstructurée

1.1 Système de transmission optique . . . 8 1.2 Emetteur optique avec modulation interne . . . 9 1.3 Différentes parties d’une fibre optique conventionnelle . 9 1.4 Courbe d’atténuation typique d’une fibre monomode . . 12 1.5 Récepteur optique . . . 15 1.6 Bandes interdites en électronique . . . 17 1.7 Illustration de la section transverse d’une fibre à cœur

creux . . . 18 1.8 Illustration de la section transverse d’une fibre à cœur

solide . . . 19 1.9 Vue de face d’une fibre microstructurée à cœur creux . 20 1.10 Schéma descriptif d’une fibre microstructurée . . . 21 3.1 Schéma de la structure de la fibre dans un repère car-

tésien (x, y, z) . . . 33 3.2 Courbe de la dispersion chromatique D_c pour d = 2 µm

Λ = 5 µm . . . 39 4.1 Navigateur de modèle de COMSOL Multiphysics . . . . 42 4.2 Profil transversal de la fibre microstructurée après concep-

tion . . . 42 4.3 Eléments 2D (triangles) . . . 43 4.4 Eléments 2D (quadrangles) . . . 43 4.5 Profil transversal de la fibre microstructurée après maillage 43

4.7 Editeur de programmation de Matlab . . . 45

5.1 Évolution des indices en fonction de λ/Λ pour une va- leur de d/Λ fixée . . . 49

5.2 Évolution de V en fonction de λ/Λ pour une valeur de d/Λ fixée . . . 50

6.1 Courbe de la dispersion chromatique en fonction du nombre de couronnes de trous . . . 54

6.2 Courbe de la dispersion chromatique calculée à la lon- gueur d’onde de 1,55 µm en fonction ded/Λ . . . 55

6.3 Courbe de la dispersion chromatique calculée à la lon- gueur d’onde de 1,55 µm en fonction de Λ avec des valeurs de d/Λfixées . . . 56

6.4 Comparaison de l’indice effectif . . . 58

6.5 Diagramme de phase de monomodalité . . . 59

6.6 Détermination de la zone de "monomodalité" . . . 60

6.7 Mode fondamental . . . 61

8 Positionnement correct des éléments . . . 69

9 Achievement of the microstructured . . . 75

En télécommunications, la transmission d’un signal optique est sou- vent soumise à quelques perturbations dont l’une des plus impor- tantes est la dispersion chromatique. Elle est occasionnée par la va- riation de l’indice de réfraction du cœur en fonction de la longueur d’onde. Avec l’avènement des nouveaux types de fibres que sont les PCFs dont la géométrie est complexe, caractériser la dispersion chro- matique s’impose. Le présent travail se propose d’utiliser une nou- velle approche vectorielle basée sur une méthode de résolution des équations de Maxwell de manière analytique. Un modèle scalaire du champ électrique dans les fibres optiques est utilisé pour la mise en œuvre, la validation de la méthode utilisée et l’explication physique des nouvelles solutions dans un cas simple. Le champ est supposé permanent donc invariant dans le temps et se propage dans la di- rection longitudinale de la fibre. Ainsi la résolution des équations de Maxwell a permis de déterminer de manière implicite l’expression de l’indice de réfraction non-linéaire ainsi que de la variation de l’indice de réfraction avec les conditions aux limites du domaine considéré.

Ensuite, avec cet indice de réfraction, la dispersion chromatique pro- prement dite a été évaluée. L’influence des trous de par la mesure de leur diamètre et de leur distance inter-trou a été aussi appréciée.

Mots clés : Équations de Maxwell, fibre optique microstructurée,

laire/vectoriel

In telecommunications, the transmission of an optical signal is of- ten subjected to some disturbances which one of the most important is the chromatic dispersion. It is caused by the change in the refraction index of the heart depending on the wavelength. With the advent of new types of fibers that are PCFs whose geometry is complex, chro- matic dispersion characterization is required. The present study pro- poses the use of a new vector approach based on a method for solving analytically Maxwell equations. A scalar model of the electric field in optical fibers is used for the implementation, validation of the method used and the physical explanation of the new solutions in a simple case. The field is supposed permanent therefore invariant in time and propagates in the longitudinal direction of the fiber. Thus the resolution of Maxwell’s equations allowed implicitly to determine the expression of the index of non-linear refraction as well as the variation of the in- dex of refraction with the boundary conditions of the field. Then, with this refractive index, the chromatic dispersion itself was evaluated. The influence of holes by measuring their diameter and their inter-hole dis- tance is also appreciated.

Keywords : Maxwell equations, photonic crystal fiber , chromatic dispersion, Finite Elements Method, Scalar/vectorial models

Depuis l’avènement de la fibre optique, les télécommunications n’ont cessé de connaître des progrès. Cela a permis ainsi d’interconnecter les continents avec des liaisons transatlantiques à haut débit. L’idée à l’origine de la création des fibres microstructurées était d’avoir un nouveau type de guides d’ondes diélectriques [Knight et al, 1996].

Comparativement à la bande interdite dans les semi-conducteurs pour les électrons, le but était de concevoir un matériau qui serait pour le photon ce que sont les semi-conducteurs pour l’électron [Peyrilloux, 2003]. Ainsi ces matériaux permettent une modulation de l’indice de réfraction selon la longueur d’onde à laquelle le signal lumineux est émis[J. Russel, 1996]. Avec des caractéristiques de propagation tout à fait originales[Peyrilloux, 2003], le principe de propagation proposé pour la première fois en 1996 par l’équipe du professeur Russel pré- sente un nouveau type de fibre : la fibre microstructurée. Dès lors beaucoup de méthodes furent utilisées pour la résolution des équa- tions de Maxwell afin de décrire au mieux le guidage de l’onde dans le cœur de la fibre. La structure de ces nouvelles fibres est constituée d’un cœur solide ou air entouré par une gaine trouée. Elles ont dé- montré un vaste potentiel d’applications et ce dans des domaines très variés allant des télécommunications à la biophotonique en passant pas les capteurs ou les sources laser.

Au début la résolution de ces équations pour la détermination du module du champ électrique se faisait à l’aide de méthodes scalaires.

propagation de la lumière dans la fibre microstructurée, les méthodes vectorielles furent développées. A partir de l’expression du champ électrique, nous évaluerons la dispersion chromatique, la pente de la dispersion chromatique et l’aire effective du mode fondamental pour modéliser la fibre.

Contexte, Justification et Problématique

Au départ, l’idée était de concevoir de nouveaux types de guides d’ondes diélectriques pour des applications autant en télécommuni- cations qu’en instrumentation. Dès lors, des travaux ont été menés en vue d’obtenir les paramètres nécessaires pour mettre en œuvre cette nouvelle fibre optique qu’est la fibre microstructurée. Encore appe- lée fibre à cristaux photoniques ou fibre à trous [Saitoh et Koshiba, 2005], la fibre microstructurée est constituée d’une gaine trouée au- tour d’un cœur creux ou solide. Selon la structure du cœur de la fibre, nous avons deux types de propagation de l’onde lumineuse [Knight et al 1996, 1997]. La première est de guider la lumière par réflexion totale interne (Total Internal Reflection, TIR) pour les fibres à cœur solide. La seconde est une propagation par bande interdite photo- nique (Photonic Band Gap, PBG) pour les fibres à cœur creux. Pour les fibres à cœur solide, l’indice du cœur est supérieur à celui de la gaine comme dans le cas des fibres conventionnelles. En ce qui concerne les fibres à cœur creux, l’indice du cœur est inférieur à ce- lui de la gaine [Knight, J. C. et al, 1998]. C’est la structure pério- dique qu’offrent ces fibres qui permet, à certaines longueurs d’onde, de laisser passer la lumière et, d’empêcher le passage de la lumière à d’autres. Cette impossibilité pour le signal optique de se propager à certaines fréquences n’est pas due à l’absorption du signal par le ma- tériau, mais uniquement à la périodicité d’arrangement de la structure de ce matériau [Dossou, 2011]. Afin de simuler la propagation d’un

laires ont été utilisées[Koshiba, M., 2002 ]. Aujourd’hui, les méthodes vectorielles permettent de mieux caractériser le faisceau lumineux qui se propage dans le guide d’onde diélectrique. L’une d’entre elles, la méthode multipolaire est assez utilisée du fait de sa rapidité et de sa précision[Bucznski, 2004]. Selon Uranus[Uranus, 2004]la méthode multipolaire ne s’applique qu’à la forme circulaire des trous. Une autre méthode numérique, celle des éléments finis est aussi utilisée. Avec un temps de calcul plus long, elle est un peu moins précise que celle multipolaire. S’inscrivant dans cet ordre d’idées, le présent travail vise donc à évaluer au sein d’un modèle précis et physiquement réalisable d’une fibre optique à cristaux photoniques à partir d’une méthode vec- torielle, la dispersion chromatique.

Objectifs

Il s’agit comme objectif principal d’accroître la précision de la mé- thode des éléments finis dans la modélisation d’une fibre microstruc- turée. Pour ce faire, les objectifs spécifiques suivants sont à mention- ner :

• résolution des équations de Maxwell afin de déterminer l’expres- sion du champ électrique ;

• évaluation de la valeur de l’indice de réfraction non-linéaire ;

• évaluation de la valeur de la dispersion chromatique ;

• simulation d’une fibre optique monomode sous le logiciel Com- sol ;

• comparaison et discussion des résultats de la dispersion chroma- tique suivant la valeur des distances inter-trou et des diamètres des trous.

Le mémoire est organisé en deux parties comportant chacune deux chapitres.

optiques et sur les fibres à cristaux phoniques en mettant en évidence leur intérêt par rapport aux fibres conventionnelles. Leur origine et les différents types de propagation dans ces fibres microstructurées à savoir par réflexion totale interne modifiée et par bande interdite photonique sont exposés. Nous présenterons le type de fibre sur la- quelle porte notre travail. Il s’agit d’une fibre utilisant la propagation par réflexion totale interne modifiée. Dans le chapitre 2, nous expo- sons aussi les différentes méthodes de modélisation et nous décrirons notre approche de modélisation.

Le chapitre 3 dans la deuxième partie montre l’évaluation des pa- ramètres importants d’une fibre afin qu’elle puisse être monomode. Le chapitre 4 porte sur la simulation et l’évaluation de la dispersion chro- matique. Nous terminons le document par une conclusion générale et proposons quelques perspectives.

Synthèse bibliographique et

approche méthodologique

Généralités sur les fibres optiques

1.1 Transmission optique

1.1.1 Bref historique

Dès leurs débuts, les télécommunications guidées ont utilisé des fils métalliques pour guider des signaux porteurs d’informations. L’in- vention du télégraphe par Samuel Morse en 1837 fut d’une grande importance dans les communications longues distances [Fontolliet, P. -G, 1999]. L’invention du téléphone en1876¹ permit la transmission de signaux analogiques grâce à des variations continues de signaux électriques. Par la suite, ce fut par l’usage direct du rayonnement, que les systèmes de communication se sont affranchis de cette liaison physique. Au fil des années, et du fait des aléas atmosphériques, la sensibilité de la transmission a été mise à l’épreuve. Le besoin de la propagation guidée des ondes électromagnétiques est devenu une nécessité[Fontolliet, P. -G, 1999].

Les transmissions par fibres optiques, dont le développement a sensiblement débuté depuis la seconde moitié du XX<sup>i`eme</sup>si`ecle, plus précisément en 1966², ont connu plusieurs évolutions³. La première étape a été marquée par l’invention du laser au début des années

1. Alexander Graham Bell déposa (quelques heures avant Elisha Gray) un brevet concernant un moyen de transmettre électriquement des sons à l’aide d’une résistance variable[Fontolliet, P. -G, 1999]

2. Propositions de transmission optique sur fibre de verre (1000 dB/km)[Fontolliet, P. -G, 1999]

3. Les premières liaisons expérimentales par fibres optiques (45 Mbit/s, 8 dB/km)[Fontolliet, P.

-G, 1999]

soixante dix, puis la mise au point de fibres optiques à très faibles pertes [Cassan E. et Cassan S., 2005]. Il y a eu aussi la réalisation des diodes lasers performantes (diodes GaAs, InP).

1.1.2 Systèmes de transmission optique

Il a fallu du temps pour la concrétisation de l’idée de transmettre de l’information via un support optique. Deux paramètres clés sont à l’origine du succès fulgurant des transmissions optiques, dépassant les pronostics les plus optimistes :

• l’affaiblissement linéïque très réduit (inférieur à 0,2 dB/km dans la troisième "fenêtre" optique, autour de la longueur d’onde de 1550 nm) ;

• une largeur de bande énorme, potentiellement de plusieurs di- zaines de T Hz.

A cela s’ajoutent encore d’autres avantages pour l’exploitation :

• faibles dimensions et poids minime (arguments primordiaux pour le transport et la pose, en particulier dans les caniveaux urbains déjà encombrés,

• robustesse et flexibilité mécaniques,

• prix de revient modéré (matière première peux coûteuse, mais procédé de fabrication complexe et délicat).

Il est de fait que pratiquement pour toutes les nouvelles installations de transmission à moyenne et grande distance, les fibres optiques sont préférées aux câbles coaxiaux [Fontolliet, P. -G, 1999]. Aujour- d’hui l’essentiel des communications intercontinentales passe par des câbles optiques sous-marins déposés dans les fonds des océans.

Les systèmes optiques ont permis une montée rapide des débits.

Cette ascension s’est accélérée avec l’invention de l’amplificateur op- tique, qui a pallié les problèmes de pertes sur les longues distances, et remplacé les répéteurs dans les liaisons.

Les systèmes de communication optiques peuvent être classés en deux catégories : les systèmes non-guidés et les systèmes guidés.

Les systèmes non-guidés sont des systèmes où le signal optique est envoyé depuis l’émetteur jusqu’au récepteur en se propageant dans l’espace libre. Dans les systèmes guidés, on utilise un support, par exemple la fibre optique, afin de transporter le signal optique de l’émetteur au destinataire. De manière générale, une chaîne de trans- mission optique est composée de 3 éléments principaux comme à la figure 1.1 : un émetteur, un canal de transmission et un récepteur. La fibre optique est le canal utilisé pour les transmissions optiques.

FIGURE1.1 – Système de transmission optique

1.1.2.1 Emetteur optique

Dans un système de transmission optique, un émetteur a deux fonctions essentielles : la génération d’un signal optique et sa mo- dulation par l’information à émettre. Il est composé d’une source lu- mineuse, une diode laser en général, dont on module l’intensité op- tique par un signal électrique (analogique ou numérique). Dans ce cas, on parle de modulation directe. Lorsque la puissance continue de la source est modulée avec un modulateur externe, associé à la source, on parle alors de modulation externe.

FIGURE1.2 – Emetteur optique avec modulation interne

1.1.2.2 Fibre optique

Une fibre optique conventionnelle est un guide d’onde cylindrique et diélectrique. Elle est constituée par deux guides cylindriques et concentriques, en matériau diélectrique, ayant tous deux le même axe de révolution comme le montre la figure 1.3.

F^IGURE1.3 – Différentes parties d’une fibre optique conventionnelle

Le guide intérieur est le cœur au travers duquel la lumière se pro- page ; l’enveloppe cylindrique extérieure, d’indice de réfraction plus petit que celui du cœur, permet, sous certaines conditions, le guidage de la lumière dans ce dernier et, un revêtement de protection. Les ma- tériaux utilisés pour les fibres optiques sont un verre de quartz (silice) ou un polymère, extrêmement pur avec adjonction contrôlée de traces d’autres éléments afin de maîtriser l’indice de réfraction,[Fontolliet, P. -G., 1999]. Ce dopage modifie l’indice de réfraction dans le cas de la silice afin d’avoir la différence d’indice nécessaire au guidage

de la lumière par réflexion totale interne. Ce guidage du signal op- tique se base sur les relations fondamentales de l’électromagnétisme avec une approximation par les relations de la loi de Snell-Descartes.

L’onde lumineuse se propage le long de la fibre par réflexions succes- sives entre le cœur et la gaine. Cela ne se fait que lorsque le cœur ainsi que la gaine sont constitués de matériaux transparents et que l’indice de la gaine est inférieur à celui du cœur. La seconde condi- tion est d’injecter le signal lumineux dans la fibre avec un angle, par rapport à l’axe inférieur à l’ouverture numérique.

La qualité d’un milieu physique pour la transmission de signaux se fonde sur deux principaux facteurs qui sont l’atténuation et la disper- sion. Pour assurer une bonne transmission optique, le monde scienti- fique s’est attelé dès lors à trouver le compromis entre une faible atté- nuation et une dispersion minime. Aujourd’hui, ce sont les longueurs d’ondes autour de 1550 nm qui sont le plus utilisées pour les trans- missions optiques.

Bien que la classification soit discutable (distinction par caractéris- tique modale), on distingue de façon standard deux sortes de fibres : les fibres multimodes et les fibres monomodes. Les fibres monomodes ne laissent se propager que le mode fondamental du faisceau lumi- neux. Quant aux fibres multimodes, elles laissent se propager à la fois le mode principal ainsi que plusieurs autres modes secondaires. Elles peuvent être classées en deux selon leur profil : il s’agit des fibres multimodes à saut d’indice et celles à gradient d’indice. Les fibres à saut d’indice présentent une variation brusque de l’indice à l’interface cœur-gaine, alors que pour les fibres à gradient d’indice la variation d’indice est continue du cœur à la gaine. Les fibres monomodes sont généralement des fibres à saut d’indice et à petit cœur.

La fibre optique possède un grand nombre de propriétés remar- quables, qui font d’elle un excellent support de transmission physique pour les télécommunications. La qualité d’un milieu physique pour la

transmission de signaux se repose sur deux principaux facteurs que sont l’atténuation et ladispersion.

Atténuation : L’atténuation représente la réduction de la puissance du signal au cours de sa propagation. Ce facteur est déterminant pour connaître la distance maximale que peut parcourir un signal, étant données la puissance d’émission et la sensibilité en réception.

Notons P(D) la puissance de l’impulsion lumineuse dans une fibre optique à la distance D de l’émetteur, P_r la sensibilité du récepteur (puissance minimale requise pour détecter le signal) et A le facteur d’atténuation de la fibre. Elle est caractérisée par :

P(D) = 10^−AD/10P(0) (1.1) P(0) est la puissance optique à l’entrée de la fibre.

Pour une longueur de fibre de D, la puissance P(D) doit être au moins égale à la sensibilité P_r, d’où nous déduisons :

Dmax = 10 Alog10

P(0)

P_r (1.2)

D_max est la longueur maximale de fibre à laquelle correspond une puissance optique de sortie nulle.

La distance maximale entre l’émetteur et le récepteur (ou entre am- plificateurs) dépend davantage du facteur d’atténuation que de la puis- sance d’émission ou de la sensibilité en réception.

Une courbe typique de variation de l’atténuation en fonction de la longueur d’onde est représentée à la figure 1.4. Elle montre aussi l’existence de trois "fenêtres", régions où l’atténuation est minimale.

La première autour de la longueur d’onde de 0,85 µm. La deuxième autour de la longueur d’onde de 1,3 µm présente en outre l’avantage d’une dispersion chromatique minimale alors que la troisième qui se trouve autour de la longueur d’onde de 1,55 µm correspond au mini- mum absolu de l’atténuation.

FIGURE 1.4 – Courbe d’atténuation typique d’une fibre monomode [Auguste, J. -L et al, 2005]

Dispersion : La dispersion représente la dépendance de la constante de propagation par rapport à la fréquence. Elle permet de calculer l’élargissement de la durée des impulsions lumineuses au cours de leur propagation. Pour des signaux lumineux, on parle de dispersion chromatique.

En effet, la vitesse de propagation de la lumière dans la matière transparente, définie par l’indice de réfraction optique, est fonction de la longueur d’onde. Or une impulsion lumineuse se propageant dans une fibre optique n’est pas parfaitement monochromatique, puisqu’un laser ne transmet pas une fréquence unique. Aussi, un signal trans- portant de l’information a une largeur spectrale non nulle. Par consé- quent, les différentes longueurs d’onde constituant le signal lumineux vont se propager à des vitesses différentes, ce qui entraîne l’élargisse- ment temporel des impulsions qui peuvent alors se chevaucher, pro- voquant des erreurs de détection à la réception. Plus une impulsion est brève, plus sa gamme de fréquences est étendue. La dispersion chromatique est alors un facteur d’autant plus limitatif que les débits

sont élevés car les impulsions sont alors très brèves et proches les unes des autres dans le temps.

Pour un mode guidé, la dispersion chromatique D_C est approxima- tivement égale à la somme de la dispersion du matériau D_M de la structure guidante et de la dispersion liée à la géométrie du guide D_G [Peyrilloux, 2003].

D_C = D_M +D_G (1.3)

Avec :

D_M = −λ c

d²n

dλ² (1.4)

Où :

λ est la longueur d’onde c est la célérité de la lumière

d²n

dλ² est la dérivée seconde de l’indice de réfraction du milieu par rapport à la longueur d’onde.

D_G = N_c −N_g cλ

2a²

1 V

Z Z

Ω

E(x, y)

2dxdy)

(1.5) Où :

N_c est l’indice de groupe du matériau constituant le cœur de la fibre Ng est l’indice de groupe du matériau constituant la gaine de la fibre

Remarque : D’après [Peyrilloux, 2003], N_i désigne l’indice de groupe du matériau constituant la région i. Il s’exprime en fonction de l’indice de réfraction n_i de la région i par la formule ci-après :

N_i = n_i −λdn_i

dλ (1.6)

Guidage par réflexion totale interne : Dans un guide d’onde diélectrique, le phénomène de guidage ne se présente pas en termes de rayon

lumineux mais plutôt en terme de mode guidé. L’optique géométrique (Loi de Descartes) ne suffit pas à décrire la propagation de la lumière dans une fibre. La théorie des ondes électromagnétiques, basée sur les équations de Maxwell, permet une approche beaucoup plus fé- conde dont les principaux résultats sont [Fontolliet, P. -G, 1999]:

• seuls certains angles discrets v₁ < v_1max conduisent à des si- tuations stables, appelées modes, caractérisées par une onde stationnaire transversale et une onde progressive longitudinale.

• le nombreM de modes possibles dans une fibre cylindrique dont le cœur a un rayon r dépend d’un paramètre caractéristique V (appelé aussi "fréquence normalisée⁴") :

V = 2π

λ rN (1.7)

oùN est l’ouverture numérique de la fibre etλ la longueur d’onde dans le vide (dans le cœur, elle vaut λ₁ = λ/n₁)

f ibre monomode

V ≤ 2,405 : M = 1 (1.8)

f ibre multimode

V ≥2,405 : M ∼= 1

2V² (1.9)

Non-linéarités dans les fibres optiques : Les effets non-linéaires sont en général une nuisance pour les réseaux de télécommunication car ils altèrent le signal transmis (pour les applications Wavelength Divi- sion Multiplexing "WDM") et peuvent entraîner une auto-focalisation instable du faisceau [Peyrilloux, 2003]. Cependant, ces effets pré- sentent de nombreuses applications utiles avec en particulier l’implé- mentation de fonctionnalités tout optique dans les réseaux optiques et l’amplification de signaux.

4. Une fibre optique standard est unimodale lorsque V < 2,405; la valeur de V = 2,405 est appelée la fréquence normalisée decoupuredu premier mode d’ordre supérieur.

Les fibres optiques ont une section droite de cœur de faible surface ce qui entraîne un fort confinement des modes en particulier dans les fibres optiques. Dans ces conditions, la densité de puissance peut de- venir importante et peut provoquer l’apparition d’effets non-linéaires.

Plusieurs phénomènes peuvent alors être étudiés selon qu’il s’agisse d’une modulation de l’indice de réfraction (effet Kerr optique) ou de la dispersion inélastique stimulée (dispersion Raman⁵ et de Brillouin⁶).

1.1.2.3 Récepteur optique

La fonction d’un récepteur dans un système de transmission op- tique est de détecter et de démoduler un signal lumineux transmis sur une fibre.

La détection consiste en la conversion du signal optique en signal électrique. La démodulation est généralement réalisée ensuite par les techniques habituelles des systèmes de transmission électriques.

FIGURE 1.5 – Récepteur optique

1.2 Les fibres à cristaux photoniques

L’avènement des transmissions optiques a révolutionné le domaine des télécommunications. Dans le but d’obtenir de nouveaux types de guides d’onde pouvant être mieux adaptés à de nouvelles applications

5. Elle est due à la fluctuation de la polarisabilité de l’onde optique. Elle induit un décalage fré- quentiel plus important.

6. Ses effets sont plus intenses que ceux des autres diffusions. De plus la puissance critique nécessaire à son apparition est relativement inférieure à celle des autres diffusions. Elle est à la base de nombreuses réalisation dans le domaine de la spectroscopie

spécifiques, l’idée des fibres à bande photonique a été émise. En ef- fet, c’est de l’observation des similitudes entre le comportement de l’électron et de celui du photon, en théorie connue, que nous pouvons appréhender ces deux entités sous leurs deux aspects à savoir : les natures corpusculaire et ondulatoire de la lumière.

En électronique, l’existence des bandes de conduction et de va- lence séparées par les bandes interdites où aucun électron ne peut se retrouver, est bien connue. L’analogie en électromagnétisme sera faite par Yablonovitch [Yablonovitch, 1987]. Il a montré qu’il pouvait aussi exister des bandes interdites encore appelées " fréquences in- terdites " si la structure du diélectrique est périodique. Ainsi, comme les électrons, les photons ne peuvent donc pas se propager dans un matériau tant que leur énergie tombe dans des bandes interdites. En d’autres termes, dans un matériau diélectrique dont les éléments sont périodiquement arrangés avec une période d’un ordre de grandeur comparable à celle de la longueur d’onde du signal optique [Rus- sel, 2006], il est possible d’empêcher la propagation de la lumière à certaines fréquences (ou longueurs d’onde), et cela indépendam- ment de la direction de propagation et de la polarisation de l’onde op- tique. L’impossibilité pour le signal optique de se propager à certaines fréquences n’est donc pas due à l’absorption du matériau, mais est uniquement due à la périodicité d’arrangement de la structure de ce dernier.

Ces matériaux permettent une modulation de l’indice de réfraction selon la longueur d’onde à laquelle le signal lumineux est émis. Avec des caractéristiques de propagation tout à fait originales [Peyrilloux, 2003], le principe de propagation proposé pour la première fois en 1996 par l’équipe du professeur Russel nous présente un nouveau type de fibre. La section transverse de cette fibre appelée fibre à cris- taux photoniques possède une périodicité 2D. Cette section se pré- sente sous forme d’un arrangement hexagonal de couronnes de trous

F^IGURE1.6 – Bandes interdites en électronique [Dossou, 2011]

en similitude à un essaim d’abeilles [Birks et al, 1997]. Ainsi ces fibres à cristaux photoniques présentent une autre manière de pro- pager de la lumière dans un guide. Elles permettent la propagation de la lumière confinée dans l’air, ce qui n’était pas possible pour les fibres conventionnelles existantes. Selon Knight [Knight et al, 1998], la théorie des bandes interdites photoniques a permis de démontrer qu’un milieu de plus faible indice de réfraction peut très bien confiner la lumière et la propager. La réalisation d’une telle fibre monomode à toutes les longueurs d’onde devient alors une réalité grâce aux tra- vaux de Birks [Birks et al, 1997]. Ces fibres encore appelées "fibres à trous" ou "fibres à bandes interdites photoniques" ou "fibres micro- structurées", trouvent leurs applications dans les télécommunications, dans le domaine des capteurs fibrés de même que dans le domaine de l’optique non-linéaire.

Les fibres optiques microstructurées peuvent être classées en deux grandes catégories selon le mécanisme de propagation de la lumière dans la fibre. Il s’agit des fibres utilisant le principe de bandes inter- dites photoniques (souvent des fibres à cœur creux représentées à la

F^IGURE 1.7 – Illustration de la section transverse (à gauche) d’une fibre à cœur creux et (à droite) du profil d’indice de réfraction. La couleur noire représente celle de la silice et la seconde celle de l’air(Pinto, M. R. A et Lopez-Amo, M., 2011)

figure 1.8 ou à cœur solide d’indice de réfraction inférieur à celui de la gaine) se trouvant sur la figure 1.7. La fibre à cœur solide encore ap- pelée fibre à cœur de bas indice et elle utilise le concept de réflexion totale interne modifiée [Knight et al 1996, 1997].

Dans notre travail, nous nous intéresserons à la modélisation d’une fibre microstructurée à cœur solide parce qu’elle présente l’avantage de la propagation suivant le principe des fibres conventionnelles. Aussi, son indice de réfraction est supérieur à celui de la gaine. Au delà de cette condition, la

1.2.1 Fibre à cristaux photoniques à guidage par résonance trans- verse (effet BIP)

C’est grâce à Knight [Knight et al, 1998] que le principe de la propagation dans une fibre optique exploite le phénomène de bandes interdites photoniques. Ce caractère innovant provient d’une part de la capacité de guidage du signal optique à certaines longueurs d’onde, et d’autre part, de son impossibilité de se propager aux fréquences

F^IGURE 1.8 – Illustration de la section transverse (à gauche) d’une fibre à cœur solide et (à droite) du profil d’indice de réfraction. La couleur noire représente celle de la silice et la seconde celle de l’air(Pinto, M. R. A et Lopez-Amo, M., 2011)

qui tombent dans les bandes interdites. Dans ce cas, l’onde se trouve ainsi confinée dans le cœur de la fibre qui elle a un indice de réfraction inférieur à celui de la gaine trouée [Cregan et al, 1999]. Ce sont les trous d’air sur la gaine qui permettent ce type de guidage.

En effet, en fonction de la longueur d’onde du signal optique, la lumière doit être confinée dans le cœur central par la réflexion due aux trous de la gaine optique entourant celui-ci. Ici contrairement aux fibres conventionnelles, l’indice du cœur est inférieur à celui de la gaine. Plus cette différence d’indice est grande, plus larges sont les bandes interdites photoniques et donc, plus grande est la bande de transmission des fibres à cristaux photoniques [Knight et al, 1998].

Les FCPs peuvent être monomodes lorsque l’indice du cœur est infé- rieur aux indices des matériaux constituant la gaine photonique. Dans le cas contraire où l’indice du cœur est supérieur, un autre principe entre en jeu et peut rendre les FCPs multimodes aux longueurs d’onde correspondant aux bandes interdites de la gaine photonique [Pey- rilloux, 2003]. Une fibre utilisant la propagation par bande interdite photonique possède une gaine photonique trouée et un cœur maté-

rialisé par un trou de plus grande dimension que ceux de la gaine.

F^IGURE 1.9 – Vue de face d’une fibre microstructurée à cœur creux[Cregan et al, 1999]

Dans une telle fibre, la propagation de lumière dans l’air limite les pertes intrinsèques dues à l’interaction lumière/matière. De très grandes densités de puissance peuvent donc être injectées dans le cœur sans observer des phénomènes de claquage du matériau.

Avec le principe de propagation par bande interdite photonique, les fibres à cœur creux offrent un éventail plus large de possibilités d’ap- plications que celles à cœur solide. Elles peuvent, par exemple, per- mettre des transmissions de fortes puissances ainsi que de nombreux autres avantages comme entre autre[Dossou, 2011] :

• une grande proportion de l’intensité lumineuse (jusqu’à95%) peut être localisée dans le cœur creux,

• l’interaction plus faible entre la lumière et la silice réduit le seuil de dommage,

• comme il n’y a plus de silice dans le cœur, les pertes par diffusion Rayleigh sont limitées,

• la possibilité de remplissage du cœur avec un liquide pour aug- menter les interactions non-linéaires.

1.2.2 Fibre à cristaux photoniques à guidage par réflexion totale interne modifiée

La propagation de la lumière est rendue possible par le fait que, la gaine photonique étant composée de trous d’air dans de la silice, son indice de réfraction moyen est inférieur à celui du cœur constitué de silice pure (Voir figure 1.7). Ce principe de transmission est donc basé sur un guidage par l’indice comme dans une fibre standard, d’où l’expressionmodifiée pour la désigner.

F^IGURE 1.10 – Schéma descriptif d’une fibre microstructurée[Dossou, 2011]

1.2.3 Applications des fibres à cristaux photoniques

Les fibres à bandes interdites photoniques font partie d’une nou- velle classe de guides d’onde ayant des propriétés optiques impos- sibles à obtenir avec des guides d’onde classiques basés sur la ré- flexion totale interne [Peyrilloux, 2003]. Les applications nécessitant de fortes puissances guidées telles que les lasers à forte puissance, le guidage d’atomes froids sont envisagées pour ces fibres.

L’obtention de pertes de propagation inférieures à 0,2dB/km, pertes minimales des fibres silice actuellement utilisées, semble accessible à court terme. La génération d’un supercontinuum qui est la forma- tion d’un large spectre continu par propagation d’impulsions de haute énergie à travers un matériau non-linéaire. Ceci permet de produire

toutes les longueurs d’onde du visible et au-delà, à partir d’une im- pulsion spectralement étroite. Le transfert de fortes puissances sans distorsion temporelle ou spectrale. Ceci est notamment utilisé dans les domaines médical et militaire [Drouart, 2009]. Les nombreux degrés de liberté concernant les paramètres opto-géométriques des fibres microstructurées leurs permettent également de trouver une place prépondérante dans les amplificateurs. Dans cette perspective, le co- efficient de gain de l’amplification peut être augmenté, réduisant ainsi d’environ 40% la longueur de fibre nécessaire à l’obtention d’un gain donné [Drouart, 2009]. L’utilisation des fibres à cristaux photoniques permet donc une miniaturisation des systèmes en offrant la possibilité de contrôler la dispersion chromatique tout en assurant un fort confi- nement du champ guidé, indispensable à l’obtention de gains élevés [Drouart, 2009].

État de l’art sur les différentes méthodes de modélisation des

PCFs

2.1 Généralités sur les méthodes de modélisation des fibres à cristaux photoniques

Afin de modéliser une fibre optique, il faut passer au calcul des modes de propagation. Ce calcul se fait par la résolution des équa- tions de Maxwell dont il faut déduire les champs électriques et ma- gnétiques [Dossou, 2011]. Au nombre des méthodes pour modéliser une fibre microstructurée, il en existe de deux sortes : les unes analy- tiques¹ et les autres numériques².

Les méthodes scalaires ou encore vectorielles sont les premières à être utilisées avec des approximations sur le problème posé afin de le rendre assez simple. Dans de telles conditions, elles ont révélé ainsi leurs limites. Les solutions obtenues ne rendent donc pas compte de la réalité du problème de départ. Avec le développement des moyens de calculs scientifiques, et afin d’avoir de meilleures approximations des solutions, les méthodes numériques ayant de solides fondements mathématiques ont été développées. Ces méthodes numériques uti-

1. Les méthodes analytiques sont aussi appelées méthodes scalaires ou encore méthodes vec- torielles. Elles s’opposent aux méthodes numériques par le fait qu’elles aboutissent à des solutions exactes

2. Les méthodes numériques sont appelées ainsi car elles procèdent par la discrétisation du problème. Les solutions obtenues sont des solutions approchées.

lisées permettent d’obtenir des solutions assez intéressantes compa- rativement aux méthodes scalaires. Aussi remarquons que pour plus de précision sur la modélisation, les méthodes vectorielles pouvant considérer la géométrie complexe des fibres à cristaux photoniques s’imposent. Au fil des années, ces méthodes ont connu des amélio- rations et ont été également adaptées au type de modèle de fibre à réaliser. Elles ont aussi permis de mettre en œuvre différents types de fibres pour diverses applications. Parmi les méthodes numériques, la plus utilisée est celle des éléments finis.

2.1.1 Méthodes analytiques

2.1.1.1 Approche de l’indice effectif

La première approche développée pour les fibres à cristaux pho- toniques est celle de l’indice effectif. Celle-ci se base sur un modèle scalaire assez simple utilisant l’indice effectif de la gaine. Un indice effectif de la gaine microstructurée est d’abord évalué et ensuite la région de la gaine comportant des trous d’air est remplacée par une gaine homogène équivalente avec un indice effectif proprement choisi.

Bien que cette approche ait permis de bien appréhender les fibres mi- crostructurées, elle est néanmoins incapable de prédire les propriétés modales telles que la dispersion ou la biréfringence, [Saitoh, K., Ko- shiba, M., 2005]. Le guidage par réflexion totale interne est dans une fibre standard à saut d’indice pour tout mode ayant une constante de propagationβ vérifiant la condition suivante :

kngaine < β < knc (2.1)

k est le nombre d’onde. Il a pour expression : k = 2π

λ (2.2)

kn_gaine est la constante de propagation maximale autorisée dans la

région du cœur. kn_c est la valeur limite de β en dessous de laquelle le mode n’est plus guidé dans le cœur car il peut fuir dans la gaine.

kn_gaine représente donc la constante de propagation maximale autori- sée pour les modes de la gaine optique.

Dans une fibre à trous, cette condition est encore valable. Les modes guidés dans le cœur en silice sont les modes ayant une constante de propagationβ telle que :

β_max < β < kn_c (2.3) β_maxgaine peut être définie comme la constante de propagation du mode fondamental existant dans le cristal photonique de la gaine de dimensions infinies, en l’absence de site de défaut. Le mode de gaine possédant la plus grande constante de propagation est le mode ayant la plus grande fraction de son énergie localisée dans la silice [Pey- rilloux, 2003]. Par conséquent, l’intensité lumineuse du mode fonda- mental remplit l’espace entre les trous avec une pénétration minimale dans l’air. En raison de la distribution particulière de son énergie, ce mode est souvent appelé «Fundamental Space-filling Mode (FSM)»

dans la littérature scientifique [Saitoh, K., Koshiba, M., 2005]. Sa constante de propagation est notée βF SM. Comme dans une fibre standard, la détermination de β_max permet de définir un indice effectif du mode fondamental du cristal photonique n_{F SM} :

β_max = β_{F SM} = kn_{ef f gaine} (2.4)

Ainsi :

n_{F SM} = β_{F SM}

k₀ (2.5)

Avec k₀ le nombre d’onde dans le vide.

2.1.1.2 Méthode de l’onde plane

Les méthodes de l’onde plane sont des méthodes dans lesquelles le domaine est considéré comme une superposition des ondes planes [White et al, 2005]. Aussi, comme l’a dit White [White, 2002] ces mé- thodes de l’onde plane ne s’adaptent pas aux caractéristiques géné- rales de la géométrie des inclusions. Elles ont été effectivement appli- quées non seulement pour le guidage par indice des fibres à cristaux photoniques mais aussi pour celles ayant un guidage par bandes in- terdites photoniques[Saitoh, K., Koshiba, M., 2005].

2.1.1.3 Méthode des fonctions localisées

Elle est une méthode alternative à la méthode de l’onde plane. Elle a l’avantage de la localisation du mode, et ainsi, un nombre de fonc- tions sont nécessaires afin de rendre précis le modèle des modes guidés découlant de moins d’effort de calcul comparativement à l’ap- proche de l’onde plane [Saitoh, K., Koshiba, M., 2005]. Par consé- quent, le profil d’indice pris en compte dans la résolution de l’équa- tion d’onde est une approximation du profil d’indice que l’on souhaite étudier. Ce profil approché ne présente pas les transitions abruptes d’indice puisque les variations d’indice sont décrites par des fonctions approchées [Peyrilloux, 2003].

2.1.1.4 Méthode multipolaire

C’est un modèle capable de modéliser les fibres à cristaux photo- niques à cœur solide ou à cœur plein [Kuhlmey et al., 2002]. Cette méthode vectorielle consiste à décrire chaque trou par sa matrice de diffraction. Le champ électromagnétique dans chaque matrice de dif- fraction est exprimé dans un repère cylindrique local sous la forme de la somme d’une composante incidente et d’une composante sortante.

Le champ est décomposé en séries de Fourier-Bessel. Les propriétés de translation des fonctions de Bessel sont exploitées pour exprimer

chacune des matrices de diffraction dans le même repère.

La méthode multipolaire est une méthode rigoureuse mais très lourde à mettre en œuvre. Son avantage majeur est l’exploitation de la circularité des trous d’air lui permettant de converger avec une grande précision assez rapidement pour être capable de traiter des structures comportant un très grand nombre de trous. Avec quelques modifica- tions dans le programme, elle peut également traiter des fibres avec des trous d’air qui ne sont pas circulaires. Cependant, les matrices de diffractions ne pourront plus être calculées analytiquement mais il faudra employer des méthodes intégrales ou différentielles ce qui augmentera les temps de calculs. Cette méthode permet de réaliser une étude détaillée des caractéristiques de la propagation dans les fibres microstructurées (aire, effective, dispersion chromatique, biré- fringence, pertes de confinement etc.) [Peyrilloux, 2003].

Elle a été non seulement développée pour les fibres à cristaux pho- toniques mais aussi en général pour les structures à fort pouvoir de diffraction [White et al, 2001].

2.1.2 Méthodes numériques

2.1.2.1 Méthode des éléments finis

De nombreuses méthodes ont été utilisées pour l’analyse de la stabilité modale des non-linéarités dans les fibres. Les premières ap- proximations étaient assez simples et les résultats s’obtenaient non sans erreurs. Afin d’accroître la puissance de calcul, les méthodes numériques s’imposent[Saitoh, K., Koshiba, M., 2005]. Pouvant trai- ter des problèmes de géométrie complexe, permettant de couvrir de nombreux domaines de la physique et avec les moyens informatiques actuels (puissance des calculateurs, ou outils de visualisation), la mé- thode des éléments finis est donc, de toutes les méthodes de discré- tisation, la plus utilisée.

2.2 Détermination de l’indice effectif

La gaine de notre fibre microstructurée est constituée de trous d’air dans la silice. Ainsi l’indice de cette fibre ne sera plus celui de la silice pure, mais plutôt en dessous de la valeur de celle de la silice. Afin de déterminer cet indice, nous nous baserons sur la détermination de celui du mode fondamental qui est l’indice de la gaine photonique par les expressions obtenues de manière empirique.

Pour qu’il y ait mode guidé dans dans la fibre, il faudrait que : n_{F SM} < n_{ef f} = β

k₀ < n_c (2.6) L’équation 2.6 nous permet de déduire que :

n_{F SM}k₀ < β < n_ck₀ (2.7) nF SM indice effectif de la gaine pour le mode fondamental. Dans une fibre standard à saut d’indice ayant pour rayon du cœura, et pour indice du cœur et de la gaine respectivement n_c et n_g, le nombre des modes guidés est déterminé par la fréquence normalisée V définie par :

V = 2π λ a

r

n²_c −n²_g (2.8)

Cette fréquence normalisée doit être inférieure à 2,405pour que la fibre optique soit monomode.

Par analogie aux fibres à saut d’indice, on définit pour la fibre mi- crostructurée la valeur effective deV notée Vef f comme suit :

V_{ef f} = 2π

λ a_{ef f}^qn²_co−n²_{F SM} = √

U² + W² (2.9) avec

U = 2π λ aef f

r

n²_co−n²_{ef f} (2.10)

W = 2π λ aef f

r

n²_{ef f} −n²_{F SM} (2.11)

a_{ef f} = Λ

√3 (2.12)

Ainsi de façon empirique, V se calcule par l’expression suivante : V

λ Λ, d

Λ

= A₁ + A₂

1 +A₂e^A4Λλ (2.13)

A_i = a_i0 +a_i1

d Λ

bi1

+a_i2(d Λ

bi2

+a₃

d Λ

bi3

(2.14) Et W par :

W

λ Λ, d

Λ

= B₁ + B2

1 +B₂e^A4Λλ (2.15) B_i = c_i0 +c_i1

d Λ

di1

+c_i2

d Λ

di2

+c_i3

d Λ

di3

(2.16) Les coefficients a_i0, a_ij, b_ij, c_i0, c_ij, d_ij (i = 1 à 4, j = 1 à 3) sont donnés au tableau (...)

i 1 2 3 4 a_i0 0,54808 0,71041 0,16904 -1,52736 a_i1 5,00401 9,73491 1,85765 1,06745 a_i2 -10,43248 47,41496 18,96849 1,93229 a_i3 8,22992 -437,50962 -42,4318 3,89

b_i1 5 1,8 1,7 -0,84

b_i2 7 7,32 10 1,02

b_i3 9 22,8 14 13,4

c_i0 -0,0973 0,53193 0,24876 5,29801 c_i1 -16,70566 6,70858 2,72423 0,05142 c_i2 67,13845 52,04855 13,28649 -5,18302 c_i3 -50,25518 -540,66947 -36,80372 2,7641

d_i1 7 1,49 3,85 -2

d_i2 9 6,58 10 0,41

d_i3 10 24,8 15 6

Plusieurs approches ont été faites pour déterminer a_{ef f}. Les va- leurs suivantes ont été successivement proposées Λ, ^Λ₂, Λ − ^d₂ [Ko- shiba, M., 2002]. De manière empirique la valeur du rayon effectif du cœur a été fixée à ^√Λ₃ [Koshiba, M., 2002].

L’indice n_{F SM} de la gaine déduite de V et de W calculées et des équations 2.13 et 2.15 est :

nF SM =





n²_c − 3λ²V² 4π²Λ²







1 2

(2.17) Aussi l’expression de l’indice effectif n_{ef f} est la suivante :

n_{ef f} =





n²_c − 3λ²(V² −W²) 4π²Λ²







1 2

(2.18)

Approche méthodologique

Résolution analytique des équations de Maxwell

3.1 Détermination du champ électrique

3.1.1 Position du problème

Nous considérons les fibres à cristaux photoniques (encore appe- lées fibres optiques microstructurées) constituées d’une région cen- trale solide, entourée de multiples trous d’air parcourant les fibres en longueur.

A proximité de chaque trou d’air, le champ électrique décrivant l’onde se propageant le long du trou d’air de la fibre est décrit par les équations de Maxwell pour un processus permanent.

rot ~~ E = 0 (3.1)

div ~E = 0 (3.2)

La condition aux limites est de la forme :

E_{/∂Ω×]0;+∝[} = E₀e^−jβz (3.3)

Où E = E(x, y, z) est le champ électrique défini sur Ω×]0; + ∝[.

Ω :une figure plane située sur le plan xy représentant la section de la fibre, z]0; + ∝ [.

E₀ = (f₀, g₀, h₀) : est un vecteur imposé sur le bord de la section plane Ω dont les composantes f₀, g₀, h₀ dépendent de la longueur d’onde uniquement.

∂Ω : désigne le bord de la figure plane Ω

β désigne la constante de propagation dans la direction des z.

Dans le cadre de notre travail, nous considérons en qualité de la figure plane Ω, un disque comme sur la figure 3.1

Ω = {(x, y)R² : (x−x0)² + (y −y0)² ≤ D²

4 } (3.4)

∂Ω = {(x, y)Ω : (x−x₀)² + (y −y₀)² = D²

4 } (3.5)

Où (x₀, y₀) est le centre du disque Ω.

Dans la section plane Ω, se trouvent des trous représentant des petits disques de diamètred. La distance séparant les centres de deux trous voisins est notéeΛ.

FIGURE 3.1 – Schéma de la structure de la fibre dans un repère cartésien(x, y, z)

3.1.2 Résolution du problème

Dans cette section, nous fournissons les solutions analytiques au problème 3.1, 3.2 et 3.3.

De l’équation 3.1, nous déduisons qu’il existe un champ scalaire ϕ tel que :

E = gradϕ.

Alors l’équation 3.2 devient :

4ϕ = 0 (3.6)

Nous supposons que la structure est uniforme le long de la direc- tion de propagation d’axe z; ainsi nous considérons le champ élec- trique E sous la forme

ϕ(x, y, z) = f(x, y).e^−jβz (3.7) Nous supposons que la solution f est deux fois continûment diffé- rentiable sur Ω. Ainsi nous formulons le résultat principal suivant :

Théorème :

Les composantes de la solution vectorielle exacteE des équations 3.1, 3.2, vérifiant la condition aux limites 3.3 sont définies par :

= Ey(x, y, z) =

f0ch^√β₂(x+y−x¯−y) +¯ j^√h0₂sh^√β₂(x+y−x¯−y¯)

e^−jβz E_z =

−√

2f₀sh^√β₂(x+ y−x¯−y)¯ −jh₀ch^√β₂(x+y −x¯−y¯)

je^−jβz) De plus,

e

2= (2f₀² +h²₀)chβ√

2(x+y −x¯−y)¯ Où (¯x,y)¯ ∂Ω, (x, y) Ω

Preuve

En effet, en posant ϕ(x, y, z) = f(x, y).e^−jβz et après un calcul des dérivées partielles, nous obtenons :

L’équation 3.6 devient :

4ϕ= 0 ⇐⇒ ∂²f

∂x² + ∂²f

∂y² = β²f (3.8)

Ainsi la solution de l’équation 3.8 se présente sous la forme : f(x, y) = C₁ch^√β₂(x+y) +C₂sh^√β₂(x+y)

Avec C₁ et C₂ des constantes d’intégration. Remarquons que E =