Fréquence normalisée effective

La fréquence normalisée V est un paramètre qui contribue à ca-ractériser les conditions de guidage dans les fibres conventionnelles.

L’onde optique qui se propage dans un matériau dépend de l’indice réfraction n, de la longueur d’onde λ dans le vide et des dimensions du milieu de propagation. Dans une fibre standard, son expression est donnée à la relation 2.13 où a est le rayon du cœur de la fibre. Ce paramètre qui est fonction de la longueur d’onde et des paramètres opto-géométriques de la fibre, permet ainsi de déduire le caractère monomodal ou non de notre fibre optique.

F^IGURE5.2 – Évolution de V en fonction deλ/Λ pour une valeur de d/Λfixée

Pour les fibres microstructurées qui mettent en œuvre la propaga-tion par réflexion totale interne modifiée, la fréquence normalisée V peut être définie comme ci-dessus. Le plus important est qu’il y ait une répartition des inclusions circulaires autour du cœur de la fibre, de façon à créer une gaine d’indice de réfraction inférieur à celui du cœur. A la figure 5.2 nous verrons l’évolution de la courbe de la fré-quence normalisée V en fonction des rapports d/Λ et λ/Λ. Ce gra-phique nous montre les contraintes pour obtenir une fréquence

nor-malisée au moins égale à 2,405¹. 5.1.3 Dispersion

La dispersion est une expression de l’étalement dans le temps que subissent de brèves impulsions lumineuses émises dans la fibre op-tique. Ses conséquences, très semblables à l’effet des distorsions linéaires connues sur les lignes métalliques, sont une interférence entre moments qui limite les possibilités de transmission analogique (en ce concerne la largeur de bande) ou numérique (pour ce qui est du débit de moments) sur cette fibre. Elle caractérise la différence de chemin à un instant t donné, entre les différents modes guidés dans la fibre, chaque mode étant représenté par son chemin de propagation, sa longueur d’onde et sa polarisation. La dispersion peut être classée en cinq catégories à savoir :

• Dispersion modale : Elle est encore appelée dispersion inter-modale et est due à l’existence de plusieurs modes guidés dans la fibre. En effet, pour une même longueur d’onde, différents modes peuvent se propager dès que cette fibre n’est pas mo-nomode. A cause de la différence de longueur des chemins par-courus, deux impulsions envoyées au même instant arriveront à des instants différents. Elle s’exprime en picosecondes par kilo-mètre ps/km, et n’apparaît que pour les fibres multimodes.

• Dispersion liée au matériau : Même si la fibre est monomode, la longueur d’onde de propagation est centrée sur une valeur avec une légère variation autour de cette longueur d’onde. Cette variation dépend de la largeur spectrale de la source utilisée pour injecter la lumière dans la fibre. L’indice de réfraction de la fibre dépend de chaque composante du spectre. Par consé-quent, chaque mode se propage à une vitesse différente

condui-1. 2,405 est la fréquence limite pour que la fibre soit monomode

sant ainsi à l’élargissement temporel et à la déformation de l’im-pulsion.

• Dispersion du guide : Elle provient de la résolution des équa-tions d’onde qui montrent une dépendance de la constante de propagation à la longueur d’onde même si la dispersion du ma-tériau n’est pas prise en compte.

• Dispersion chromatique : Il s’agit de la contribution la plus im-portante à la dispersion dans une fibre optique conventionnelle.

Elle inclut les dispersions du matériau et du guide. Quand nous considérons la dispersion chromatique pour un mode guidé, elle est égale à la somme de la dispersion de la structure guidante et la dispersion liée à la dispersion du guide. C’est la dispersion de la structure du guide qui est évaluée ici car elle est plus impor-tante contribution à la dispersion chromatique.

• Dispersion de polarisation : Il est possible de supprimer la dis-persion intermodale en utilisant une fibre monomode, tout comme la dispersion chromatique en travaillant à la longueur d’onde de zéro de dispersion. Toutefois, un autre type de dispersion dite de polarisation peut réduire la vitesse de transfert de données (bande passante) dans la fibre. En effet, dans une fibre optique monomode, deux modes dégénérés ayant des polarisations or-thogonales peuvent se propager. Ainsi, la vitesse de propagation du signal dépend de son état de polarisation. Considérant un cas idéal, ces deux modes dégénérés peuvent se propager sans in-teragir. Mais de légères variations dans la structure du cœur de la fibre entraînent une interaction de ces deux modes, modifiant de fait leur caractère dégénéré.

Résultat de simulation et comparaison des résultats

Il s’agira d’évaluer l’influence du diamètre des trous d et de la dis-tance inter-trou∧ sur la dispersion chromatique. Notons que la disper-sion chromatique est très pénalisante dans les télécommunications à haut débit [Peyrilloux, 2003]. Elle peut rendre difficile, voire impos-sible, la reconnaissance des informations contenues dans chacun des canaux en provoquant le recouvrement des éléments binaires succes-sifs. C’est donc un paramètre à prendre en compte attentivement lors de la conception de lignes de transmission [Peyrilloux, 2003]. Elle se déduit comme au chapitre 2, de la dérivée seconde de l’indice et obtenue grâce à une dérivation analytique.

6.1 Courbe de variation de la dispersion chromatique en fonction du nombre de trous de la gaine pho-tonique

A la figure 6.1, il y a deux courbes. Celle en bleue représente la variation de la dispersion chromatique pour une ayant deux couronnes de trous et celle en couleur verte est pour une ayant trois couronnes de trous.

La courbe ayant la couleur bleu représente la variation de la disper-sion chromatique pour une fibre à deux couronnes. Celle en verte est la représentation de la variation de la dispersion chromatique lorsque

F^IGURE 6.1 – Courbe de la dispersion chromatique en fonction du nombre de cou-ronnes de trous

nous considérons une fibre ayant trois couronnes de trous. Sur ces fi-gures, nous remarquons qu’avec l’augmentation du nombre de trous, la dispersion devient plus négative. Ainsi en jouant sur le nombre de trous constituant la gaine photonique, nous obtenons ainsi un compo-sant de compensation de dispersion. Une telle particularité serait utile dans les systèmes de télécommunications dans lesquels les disper-sions auraient une influence acerbe sur la qualité de la transmission.

6.2 Courbe de variation de la dispersion chromatique en fonction du pitch et du diamètre des trous

Les figures 6.2 et 6.3 illustrent la grande dépendance de la disper-sion chromatique des fibres microstructurées à la dimendisper-sion des trous et à leur espacement. Pour les paramètres des fibres sélectionnées, la dispersion chromatique à 1,55µmvarie très peu de5ps/(nm.km)à10 ps/(nm.km). Ce paramétrage de la dispersion chromatique en fonc-tion de la taille et de la répartifonc-tion des trous est un grand avantage

des fibres à cristaux photoniques sur les autres fibres optiques [Pey-rilloux, 2003]. Notons que nous n’avons considéré pour établir ces résultats que le cas d’une distribution hexagonale de trous identiques dans la gaine photonique mais que d’autres configurations (trous de dimensions différentes, cœur formé par l’omission de plusieurs ca-pillaires, gaine photonique en nid d’abeille. . .) offrirait de nouveaux degrés de liberté pour ajuster la dispersion chromatique.

F^IGURE 6.2 – Courbe de la dispersion chromatique calculée à la longueur d’onde de 1,55µmen fonction ded/Λ

Sur la figure 6.3, on voit nettement que la dispersion augmente quand la proportion d’air augmente pour Λ fixé. En effet, la variation de la dispersion en fonction de d/Λ pour d/Λ = 1µm semble atypique en comparaison avec les résultats obtenus pour d’autres valeurs deΛ.

Les causes de ce résultat peuvent être diverses. Il peut provenir

uni-quement d’un problème de simulation. Le diamètre du cœur (approxi-mativementΛ = 2µm) étant proche de la valeur de la longueur d’onde de travail (1,55 µm), les variations du champ électromagnétique dans le cœur sont très fortes. Ceci peut causer une augmentation très sen-sible des erreurs de calculs même pour une finesse de grille respec-tant les critères que nous avons fixés. Mais il est également plausible que ce résultat reflète la réalité physique. En effet, la variation de la dispersion étant plus importante en fonction ded/ΛlorsqueΛdiminue, nous pouvons nous attendre à une variation encore plus importante et plus rapide pour des valeurs de Λ bien inférieures à la longueur d’onde.

FIGURE 6.3 – Courbe de la dispersion chromatique calculée à la longueur d’onde de 1,55µmen fonction deΛ avec des valeurs ded/Λfixées

Les courbes de la dispersion chromatique tracées en fonction de

d/Λ à Λconstant s’aplatissent lorsque Λ augmente (figure 6.2).

Les fibres microstructurées pour lesquelles λ/Λ est compris entre 1,5 et 2 semblent offrir un bon compromis pour obtenir une fibre à dispersion faible et peu sensible à la variation de la taille des trous (d) et de leur position (Λ). Le cas des dispersions très négatives à 1,55 µm (intéressantes pour les fibres destinées à réaliser la fonction de compensation de dispersion dans une liaison optique) ne sont pas obtenues pour des fibres à cristaux photoniques à petit cœur (Λ ≈ 1µm). De telles fibres sont cependant susceptibles de présenter de forts effets non-linéaires en raison du fort confinement du champ qui induit un accroissement de la densité de puissance dans le cœur.

Les systèmes de télécommunications optiques de type WDM ne fonctionnent pas qu’à une seule longueur d’onde mais dans une bande spectrale comportant un ensemble de canaux multiplexés suivant la longueur d’onde. Il est donc important de connaître la variation de la dispersion en fonction de la longueur d’onde. Dans un premier temps, cette information est donnée autour d’une longueur d’onde par le cal-cul de la dérivée de la dispersion chromatique. Dans un deuxième temps, lorsque nous aurons sélectionné un profil intéressant, cette étude devra être complétée par le calcul de la dispersion chromatique et de sa pente sur une large bande spectrale.

6.3 Comparaison de l’indice effectif de la méthode de résolution scalaire et de celui obtenu sous Com-solMultiphysics

Dans notre travail, nous avons évalué la dispersion chromatique à partir de l’expression de l’indice effectif déterminé. Comparant cet indice effectif trouvé à celui que ComsolMultiphysics nous a donné, il est à noter, à partir de la figure 6.4, un écart entre les valeurs qui ont été obtenues. Cet écart peut être du à au fait que l’une des courbes

soit issue d’une méthode numérique donc approchée et l’autre, est un résultat de la méthode analytique utilisée. De cette observation, une dérivation numérique ne ferait qu’augmenter encore plus les erreurs dues à une telle approximation numérique.

FIGURE 6.4 – Comparaison de l’indice effectif

6.4 Paramètres de la fibre modélisée

Nous choisissons de modéliser une fibre monomode à la longueur d’onde de 1550 µm. Les conditions d’applicabilité des formules empi-riques déduites des simulations numéempi-riques pour la monomodalité de la fibre sont :

• V > 0,85

• 0,2< d/Λ < 0,8

• λ/Λ < 2

A la figure 6.5 est représentée la courbe de délimitation de la zone de monomodalité [Dossou, 2011]. Ce tracé se base sur l’expression empirique suivante :

λ/Λw a(d/Λ−b)^c (6.1)

avec a = 2,8± 0,12; b = 0,406± 0,003 et c = 0,89 ± 0,02.

Nous retiendrons cette courbe pour modéliser notre PCF en terme de monomodalité puisqu’elle est valable sur tout le domaine de défi-nition de d/Λ [ 0; 1 [

FIGURE6.5 – Diagramme de phase délimitant les zones de monomodalité de la fibre microstructurée[Dossou, 2011]

Afin de respecter les conditions de monomodalité, si nous fixons par exemple le rayon effectif du cœur de la fibre compris entre 1 µm et 2 µm, nous déduisons les valeurs des autres paramètres géomé-triques de la manière suivante :

• la distance inter-trous (Λ) sera approximativement de 1,7µm ou 3,5µm valeur déduite de grâce à l’équation (2.12).

• pour une valeur de Λ fixée, et une longueur d’onde de travail donnée, nous pouvons déterminer la valeur maximale ded/Λqui

définisse l’entrée dans la zone de "multimodalité" de la fibre et choisir de rester légèrement en deçà de cette valeur comme dé-montrée (6.6).

F^IGURE6.6 – Détermination de la zone de "monomodalité" pour une valeur deλ/Λ fixée.[Dossou, 2011]

En effet, pour illustration, nous choisissons de déterminerd connais-santΛ pour que la fibre soit monomode à1550 µm. Donc :

λ

Λ = 1550/1700 (6.2)

= 0,911 (6.3)

On détermine sur la figure 6.6, le point correspondant sur la courbe de monomodalité. Ensuite, on déduit la valeur _Λ^d = 0,679 correspon-dante par une simple projection sur l’axe des abscisses. Par consé-quent :

Λ = 1,7µm ⇒ d/Λ = 0,679 ⇒d = 1,22 µm.

Par la méthode, on obtient pour :

Λ = 3,5µm ⇒ d/Λ = 0,527 ⇒d = 1,84 µm.

C’est cette méthode que nous avons utilisée pour vérifier le carac-tère monomodal à1550nm. Aussi remarque-t-on que pour des valeurs de _Λ^d ≤ 0,4, la valeur deV reste bien en deçà de 2,405.

Pour une PCF ayant pour Λ = 1,7 µm, nous obtenons les valeurs suivantes pour les paramètres de la fibre.

Equation 2.12 aef f (µm) 0,9814 Equation 2.13 V 1,0460 Equation 2.18 nef f 1,4335 Equation 2.17 nFSM 1,4260

Plusieurs méthodes et outils de modélisation des PCFs ont été développées. Le logiciel de simulation ComsolMultiphysics que nous employons est conçu pour appliquer la méthodes des éléments finis à la structure de la fibre. En prime abord, il faut faire faire un pre-mier maillage de la structure¹. Ce maillage sera de plus en plus affiné à proximité des trous. Enfin, la figure 6.7 montre le confinement du mode fondamental. Suivant la symétrie de la section des fibres micro-structurées que nous avons utilisés, le temps de calcul s’est amélioré.

La figure 6.7 ci-dessous montre le confinement de son mode optique fondamental.

F^IGURE6.7 – Mode fondamental

1. Voir la figure 4.5

L’objectif poursuivit par ce travail est de prédire les propriétés de propagation des fibres à cristaux photoniques par réflexion totale in-terne, tout en caractérisant la dispersion chromatique.

Dans un premier temps, nous avons cherché à modéliser correc-tement la propagation dans les fibres à cristaux photoniques à cœur solide. Nous avons déterminé qu’à partir des équations de Maxwell, et avec une méthode analytique, l’expression de l’intensité du champ électrique tout en appliquant les conditions aux limites qui s’impo-saient au domaine que constituait la fibre.

Cette intensité du champ électrique, nous a permis d’évaluer la dis-persion chromatique en fonction des paramètres de leur profil d’indice (diamètred des trous d’air et de la distance inter-trouΛ). Dans l’hypo-thèse que les trous ont une section circulaire transverse parfaite des trous, nous avons remarqué qu’avec des valeurs de d/Λ variant de 0,2 à 0,4, et, des valeurs de λ/Λ variant entre 1,5 et 2, la dispersion chromatique tente de se stabiliser autour de la valeur de dispersion nulle. De tels types de fibres pourraient être utiles dans les systèmes de télécommunications.

Par ailleurs, après la fabrication des fibres microstructurées, les trous de gaine optique de la fibre n’ont plus toujours une section trans-verse parfaitement circulaire. Comme perspectives, il s’agira d’évaluer la dispersion avec la forme réelle des trous qui seront obtenues. Aussi l’évaluation de l’erreur commise par l’approximation de cette forme

circulaire parfaite des trous.

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éléments finis

La méthode des éléments finis (MEF) est une méthode numérique le plus souvent utilisée pour la résolution d’équations aux dérivées partielles décrivant des phénomènes physiques. C’est une technique d’approximation des variables inconnues qui permet de transformer un système continu d’équations aux dérivées partielles en un sys-tème discret d’équations algébriques. Cette méthode de modélisation nécessite en tout premier lieu de découper le domaine d’étude en sous-espaces élémentaires et de définir des conditions non triviales aux limites de ce domaine borné, pour conduire à l’unicité des solu-tions. Cette première étape est celle de la réalisation du maillage de la structure étudiée. Les sous-espaces générés sont appelés les élé-ments du maillage. Des fonctions d’approximation de la solution sont définies sur chacun des éléments à partir de valeurs calculées en un nombre fini de points positionnés sur chaque élément (les nœuds du maillage). Ces valeurs nodales sont appelées les degrés de liberté.

L’approximation de la solution sur tout le domaine étudié est assurée par la somme, correctement pondérée, des fonctions d’approximation définies par morceaux.

De manière plus simple, la méthode des éléments finis est une mé-thode numérique appliquées au milieu continu se présentant comme une formulation aux résidus pondérés de type Galerkin appliqués par sous-domaines à la forme faible du problème.

Forme faible ou formulation variationnelle Domaine d’étude

Le domaine d’étude Ω est découpé en éléments tels que des seg-ments en 1D, des triangles en 2D et des tétraèdres en 3D (on peut également rencontrer d’autres familles géométriques d’éléments tels que le quadrilatère en 2D et le parallélépipède en 3D). Ces éléments doivent respecter les conditions géométriques suivantes :

• Le domaine d’étude est entièrement décrit par l’ensemble des N éléments ω_i (Ω = ^SNω_i

i=1 )

• Deux éléments contigus du maillage doivent avoir en commun soit 1 sommet, soit une arête, soit une face (cas 3D).

La figure 8 illustre la configuration géométrique des éléments dans un domaine d’étude à deux dimensions.

FIGURE 8 – (a) Positionnement correct des éléments : le côté AB est commun à 1 et 2, le sommet A est commun à 1,2 et 3. (b) Positionnement incorrect

Méthode des résidus pondérés (Méthode de Galerkine)

L’approximation de l’inconnue est réalisée grâce à des fonctions polynomiales définies par morceaux sur chacun des éléments

L’approximation de l’inconnue est réalisée grâce à des fonctions polynomiales définies par morceaux sur chacun des éléments