6.4 Paramètres de la fibre modélisée
Nous choisissons de modéliser une fibre monomode à la longueur d’onde de 1550 µm. Les conditions d’applicabilité des formules empi-riques déduites des simulations numéempi-riques pour la monomodalité de la fibre sont :
• V > 0,85
• 0,2< d/Λ < 0,8
• λ/Λ < 2
A la figure 6.5 est représentée la courbe de délimitation de la zone de monomodalité [Dossou, 2011]. Ce tracé se base sur l’expression empirique suivante :
λ/Λw a(d/Λ−b)c (6.1)
avec a = 2,8± 0,12; b = 0,406± 0,003 et c = 0,89 ± 0,02.
Nous retiendrons cette courbe pour modéliser notre PCF en terme de monomodalité puisqu’elle est valable sur tout le domaine de défi-nition de d/Λ [ 0; 1 [
FIGURE6.5 – Diagramme de phase délimitant les zones de monomodalité de la fibre microstructurée[Dossou, 2011]
Afin de respecter les conditions de monomodalité, si nous fixons par exemple le rayon effectif du cœur de la fibre compris entre 1 µm et 2 µm, nous déduisons les valeurs des autres paramètres géomé-triques de la manière suivante :
• la distance inter-trous (Λ) sera approximativement de 1,7µm ou 3,5µm valeur déduite de grâce à l’équation (2.12).
• pour une valeur de Λ fixée, et une longueur d’onde de travail donnée, nous pouvons déterminer la valeur maximale ded/Λqui
définisse l’entrée dans la zone de "multimodalité" de la fibre et choisir de rester légèrement en deçà de cette valeur comme dé-montrée (6.6).
FIGURE6.6 – Détermination de la zone de "monomodalité" pour une valeur deλ/Λ fixée.[Dossou, 2011]
En effet, pour illustration, nous choisissons de déterminerd connais-santΛ pour que la fibre soit monomode à1550 µm. Donc :
λ
Λ = 1550/1700 (6.2)
= 0,911 (6.3)
On détermine sur la figure 6.6, le point correspondant sur la courbe de monomodalité. Ensuite, on déduit la valeur Λd = 0,679 correspon-dante par une simple projection sur l’axe des abscisses. Par consé-quent :
Λ = 1,7µm ⇒ d/Λ = 0,679 ⇒d = 1,22 µm.
Par la méthode, on obtient pour :
Λ = 3,5µm ⇒ d/Λ = 0,527 ⇒d = 1,84 µm.
C’est cette méthode que nous avons utilisée pour vérifier le carac-tère monomodal à1550nm. Aussi remarque-t-on que pour des valeurs de Λd ≤ 0,4, la valeur deV reste bien en deçà de 2,405.
Pour une PCF ayant pour Λ = 1,7 µm, nous obtenons les valeurs suivantes pour les paramètres de la fibre.
Equation 2.12 aef f (µm) 0,9814 Equation 2.13 V 1,0460 Equation 2.18 nef f 1,4335 Equation 2.17 nFSM 1,4260
Plusieurs méthodes et outils de modélisation des PCFs ont été développées. Le logiciel de simulation ComsolMultiphysics que nous employons est conçu pour appliquer la méthodes des éléments finis à la structure de la fibre. En prime abord, il faut faire faire un pre-mier maillage de la structure1. Ce maillage sera de plus en plus affiné à proximité des trous. Enfin, la figure 6.7 montre le confinement du mode fondamental. Suivant la symétrie de la section des fibres micro-structurées que nous avons utilisés, le temps de calcul s’est amélioré.
La figure 6.7 ci-dessous montre le confinement de son mode optique fondamental.
FIGURE6.7 – Mode fondamental
1. Voir la figure 4.5
L’objectif poursuivit par ce travail est de prédire les propriétés de propagation des fibres à cristaux photoniques par réflexion totale in-terne, tout en caractérisant la dispersion chromatique.
Dans un premier temps, nous avons cherché à modéliser correc-tement la propagation dans les fibres à cristaux photoniques à cœur solide. Nous avons déterminé qu’à partir des équations de Maxwell, et avec une méthode analytique, l’expression de l’intensité du champ électrique tout en appliquant les conditions aux limites qui s’impo-saient au domaine que constituait la fibre.
Cette intensité du champ électrique, nous a permis d’évaluer la dis-persion chromatique en fonction des paramètres de leur profil d’indice (diamètred des trous d’air et de la distance inter-trouΛ). Dans l’hypo-thèse que les trous ont une section circulaire transverse parfaite des trous, nous avons remarqué qu’avec des valeurs de d/Λ variant de 0,2 à 0,4, et, des valeurs de λ/Λ variant entre 1,5 et 2, la dispersion chromatique tente de se stabiliser autour de la valeur de dispersion nulle. De tels types de fibres pourraient être utiles dans les systèmes de télécommunications.
Par ailleurs, après la fabrication des fibres microstructurées, les trous de gaine optique de la fibre n’ont plus toujours une section trans-verse parfaitement circulaire. Comme perspectives, il s’agira d’évaluer la dispersion avec la forme réelle des trous qui seront obtenues. Aussi l’évaluation de l’erreur commise par l’approximation de cette forme
circulaire parfaite des trous.
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éléments finis
La méthode des éléments finis (MEF) est une méthode numérique le plus souvent utilisée pour la résolution d’équations aux dérivées partielles décrivant des phénomènes physiques. C’est une technique d’approximation des variables inconnues qui permet de transformer un système continu d’équations aux dérivées partielles en un sys-tème discret d’équations algébriques. Cette méthode de modélisation nécessite en tout premier lieu de découper le domaine d’étude en sous-espaces élémentaires et de définir des conditions non triviales aux limites de ce domaine borné, pour conduire à l’unicité des solu-tions. Cette première étape est celle de la réalisation du maillage de la structure étudiée. Les sous-espaces générés sont appelés les élé-ments du maillage. Des fonctions d’approximation de la solution sont définies sur chacun des éléments à partir de valeurs calculées en un nombre fini de points positionnés sur chaque élément (les nœuds du maillage). Ces valeurs nodales sont appelées les degrés de liberté.
L’approximation de la solution sur tout le domaine étudié est assurée par la somme, correctement pondérée, des fonctions d’approximation définies par morceaux.
De manière plus simple, la méthode des éléments finis est une mé-thode numérique appliquées au milieu continu se présentant comme une formulation aux résidus pondérés de type Galerkin appliqués par sous-domaines à la forme faible du problème.
Forme faible ou formulation variationnelle Domaine d’étude
Le domaine d’étude Ω est découpé en éléments tels que des seg-ments en 1D, des triangles en 2D et des tétraèdres en 3D (on peut également rencontrer d’autres familles géométriques d’éléments tels que le quadrilatère en 2D et le parallélépipède en 3D). Ces éléments doivent respecter les conditions géométriques suivantes :
• Le domaine d’étude est entièrement décrit par l’ensemble des N éléments ωi (Ω = SNωi
i=1 )
• Deux éléments contigus du maillage doivent avoir en commun soit 1 sommet, soit une arête, soit une face (cas 3D).
La figure 8 illustre la configuration géométrique des éléments dans un domaine d’étude à deux dimensions.
FIGURE 8 – (a) Positionnement correct des éléments : le côté AB est commun à 1 et 2, le sommet A est commun à 1,2 et 3. (b) Positionnement incorrect
Méthode des résidus pondérés (Méthode de Galerkine)
L’approximation de l’inconnue est réalisée grâce à des fonctions polynomiales définies par morceaux sur chacun des éléments géo-métriques (des triangles dans le problème à deux dimensions que nous traitons). Ces fonctions d’approximation doivent présenter les mêmes variations que la grandeur inconnue (les champs électroma-gnétiques dans le cas présent). Notamment, elles doivent respecter
les relations de continuité des champs électromagnétiques au pas-sage d’un éléments à l’autre : continuité des composantes du champ électrique tangentielles à l’arête commune et possible discontinuité de sa composante normale (discontinuité si les deux éléments sont définis dans des milieux diélectriques différents).
La méthode de Galerkine permet de passer de manière systéma-tique d’une forme différentielle à une intégrale qui peut être traitée par les éléments finis.
Cette forme intégrale nous permet d’aboutir à un système à valeurs propres. Ce type de problème pourra être résolu par une procédure numérique itérative.
by using vectorial method : Caracterization of chromatic
scattering
by using vectorial method : Caracterization of chromatic
scattering
Introduction
Since the advent of fiber optics, telecommunications have progres-sed. This helped thus to interconnect continents with high-speed trans-atlantic routes. The idea behind the creation of microstructured fibers was to have a new type of dielectric waveguides [Knight et al, 1996].
Compared to the band gap in semiconductors for electrons, the object was to design a material that would be for the photon that are semi-conductors for the electron [Peyrilloux,2003]. Thus, these materials allow a modulation of the index of refraction according wavelength at which the light signal is emitted [J. Russel, 1996]. With propagation characteristics all completely original [Peyrilloux, 2003] the principle of propagation proposed the first time in 1996 by the team of Professor Russel present a new type of fiber : the microstructured fiber. therefore many methods were used for solving equations of Maxwell in order to best describe the waveguiding in the heart of the fiber. The structure of these new fibers consists of a solid heart or air surrounded by a gap sheath . They shown great potential applications in various areas ranging from telecommunications to biophotonics through the sensors
or laser sources.
At the beginning resolution of these equations for the determination of module of electric field was done using scalars methods. Conside-ring their limitations and to understand properly the light propagation in the microstructured fiber, vector methods were developed. From the expression of the electric field we will evaluate the chromatic disper-sion the slope of the chromatic disperdisper-sion and the effective area of the fundamental mode for modeling the fiber.
Problems and goals
To the departure, the idea was to conceive new types of guides of dielectric waves as much in telecommunications as in instrumenta-tion for applicainstrumenta-tions. From then on, works have been led in order to get the necessary parameters to set in motion this new optical fiber that is the microstructured fiber. Also called photonic crystal fiber or fi-ber with holes [Saitoh and Koshiba, 2005], the microstructured fiber comprises a perforated sheath around a hollow heart or solid. Depen-ding on the structure of the heart of the fiber, we have two types of propagation of the light wave [Knight and al 1996, 1997]. The first is to guide light by total and internal reflection (Total Internal Reflec-tion, TIR) fibers solid heart. The second is a propagation by photonic bandgap (Photonic Band Gap PBG) for fiber with hollow heart. For the fibers with strong heart, the index of the heart is greater than the sheath one as in the case of conventional fibers. For fibers with hol-low heart, the index of the heart is hol-lower than the sheath one[Knight, J. C. and al, 1998]. This is the periodic structure provided by these fibers which, in some wavelengths, allow light to pass, and to prevent the passage of light to others. This inability of the optical signal to pro-pagate at certain frequencies is not due to the absorption of the signal by the material, but only to the periodicity of arrangement of the struc-ture of this material[Dossou, 2011]. In order to simulate propagation
of a light beam into an optical fiber, some methods scalars were used [Koshiba, M., 2002]. Today, vector methods allow to better charac-terize the light beam propagates in the dielectric waveguide. One of them, the multipolar method is quite used because of its speed and its accuracy [Bucznski, 2004]. According to [Uranus, 2004] multipo-lar method applies only to circumultipo-lar form of holes. Another numerical method, the finite elements method one is also used with a longer computation time, it is a little less precise than the multipolar mthod.
In keeping with this context, this work aims therefore to evaluate within a specific and phycally realizable model of a optical fiber with photonic crystals based on a vector method, the chromatic dispersion.
The main objective is to increase the accuracy of the finite element method in modeling a microstructured fiber. To do this, the following specific objectives are to include :
FIGURE 9 – Achievement of the microstructured (a)macroscopic assemblage (b) optical fiber of 125µmdiameter typically, stretched from preform (a).
• Resolution of the equations of Maxwell in order to determine the expression of the electric field ;
• assess the value of the non-linear refractive index ;
• assess the value of the chromatic dispersion ;
• simulating a monomode optical fiber with the software Comsol ;
• compare and discuss the results of the chromatic dispersion ac-cording to the value of the distances between the gaps and dia-meters of the holes.
Methodology
Position of the problem
We consider the photonic cristal fibers (even named optical micro-structured fibers)constitued of a strong central region, surrounded with multiple air-holes browsing the fibers in length.
Close to every airhole, the electric field describing the wave propa-gating itself along the air-hole of the fiber is described by the equations of Maxwell for a permanent process.
rot ~~ E = 0 (4)
div ~E = 0 (5)
The boundaries condition is the shape :
E/∂Ω×]0;+∝[ = E0e−jβz (6)
WhereE = E(x, y, z)is the electric field that is definning onΩ×]0; + ∝ [.
Ω : a plane face situated on the plan xy representing the section of the fiber,z]0; + ∝[.
E0 = (f0, g0, h0) : is a vector imposed on the side of the plane sec-tion Ω of which the components f0, g0, h0 depend solely on the wave length.
∂Ω : designate the side of the plane face Ω
β designate the constant of propagation in the direction of the z axis.
In the setting of our work, we consider as the plane faceΩ, a disc Ω ={(x, y)R2 : (x−x0)2 + (y −y0)2 ≤ D42} and
∂Ω = {(x, y)Ω : (x−x0)2 + (y −y0)2 = D42} Where (x0, y0) is the center of the disc Ω.
In the plane section Ω, are of the holes representing small discs of diameterd. The distance separating the centers of two neighboring holes is notedΛ.
Resolution of the problem
In this section, we provide the analytic solutions to the problem 4, 5 and 6.
Of the equation 4, we deduct that a scalar field exists ϕ as : E = gradϕ.
Then the equation 5 becomes :
4ϕ = 0 (7)
We suppose that the structure is uniform along the direction of pro-pagation ofz axis ; so we consider the electric field E under the shape ϕ(x, y, z) = f(x, y).e−jβz (8) We suppose that the f solution is continuously two times différen-tiable onΩ. So we formulate the result main next one :
Theorem :
The components of the exact vectorial solution E of the equations refrotE, 5, verifying the condition to the limits 6 are defined by :
Ex(x, y, z) =Ey(x, y, z) =
Results and discussions
Chromatic scattering
The scattering represents the dependence of the propagation constant in relation to the frequency. It permits to calculate the widening of the length of the luminous impulses during their propagation. For lumi-nous signals, one speaks of scattering chromatique. This phenome-non being responsible for the decomposition of the white light by a prism of glass.
Indeed, the speed of light propagation in the transparent matter, definite by the optic refractive index, is function of the wave length.
However a luminous impulse propagating itself in an optic fiber is not perfectly monochromatic, since a laser doesn’t transmit an unique fre-quency. Also, a signal transporting information has a non hopeless spectral width. Therefore, the different lengths of wave constituting the luminous signal are going to propagate themselves to different speeds, what entails the temporal widening of the impulses that can ride then, provoking mistakes of detection to the receipt. More an im-pulse is brief, more its range of frequencies is spread. The chromatic scattering is then an especially restrictive factor than the debits are raised because the impulses are then very brief and near the some of the other in the time.
For guided one fashion, the chromatic dispersion DC is roughly equal to the sum of the scattering of the material DM of the guiding structure and the scattering bound to the guide’s geometry DG [Pey-rilloux, 2003].
DC = DM +DG (9)
With :
DM = −λd2n
(10)
DG = Nc −Ng Remarque : Ni designates the indication of group of the material constituting the region i. It expresses itself according to the refractive indexni of the regioni by the formula below :
Ni = ni −λdni
dλ (12)
Discussion
In our workwe assessed the chromatic dispersion from the expres-sion of the effective index determined. Comparing this index to that found effective ComsolMultiphysics gave us, it should be noted. A gap between the values that were obtained. This discrepancy may be due to the fact that one of the curves is derived from a numerical approxi-mation and therefore the other is a result of the analytical method used. From this observation, a numerical derivation would increase even more errors due to such a numerical approximation.
Conclusion
The objective being pursued by this work is to predict the propa-gation properties of photonic crystal fibers by total internal reflection, while characterizing the chromatic dispersion.
At first, we tried to accurately model the propagation in photonic crystal fibers that have solid core. We have determined that from Max-well’s equations, and with an analytical method, the expression of the intensity of the electric field while applying the boundary conditions that were needed in the area that constituted the fiber.
The electric field strength has allowed us assess the chromatic dis-persion based on the settings their index profile (diameter d of the air holes and the distance between holeΛ). Assuming that the holes have
a circular cross section perfect holes, we noticed with values of d/Λ varying from 0.2to 0.4, and the values of λ/λ varying between 1.5 and 2, the chromatic dispersion is trying to stabilize around the value of zero dispersion. These types of fibers could be useful in telecommuni-cations systems. Moreover, after the manufacture of microstructured fibers, the cladding holes of the fiber no longer have always a perfectly circular cross section. As prospects, it will assess the dispersion with
a circular cross section perfect holes, we noticed with values of d/Λ varying from 0.2to 0.4, and the values of λ/λ varying between 1.5 and 2, the chromatic dispersion is trying to stabilize around the value of zero dispersion. These types of fibers could be useful in telecommuni-cations systems. Moreover, after the manufacture of microstructured fibers, the cladding holes of the fiber no longer have always a perfectly circular cross section. As prospects, it will assess the dispersion with