Méthodologie : polynômes
,→ Compétence visée : savoir factoriser un polynôme.
,→ Prérequis : calcul de discriminant, division euclidienne.
1 Polynômes à racines évidentes
1.1 Méthode générale
La même méthode qui suit sert à :
• Factoriser P(x)
• Trouver les racines de P(x)
• Trouver les solutions de l'équation P(x) = 0
Méthode :
1. Trouver une racine évidenteα.
2. Factoriser par (x−α)en eectuant la division euclidienne de P(x) par (x−α). 3. Trouver les racines du polynôme quotient obtenu Q(x) (de degré strictement infé-
rieur à P(x)).
1.2 Mise en pratique
P(x) = 2x3− 6815x2+ 103x− 45.
P(x) = 3x4+ 3x3 −117x2+ 93x+ 210
2 Polynômes particuliers
. Se ramener à une forme connue.
2.1 Polynômes à puissances paires
On pose X =x2.
Factoriser P(x) =x4 +x2−1 et en déduire ses racines.
1. En posant X =x2, le polynôme devient
2. On trouve les racines du polynôme en X obtenu :
3. On revient aux x :
Factoriser P(x) =x6 +172x4 +72x2−4 et en déduire ses racines.
1. En posant X =x2, le polynôme devient
2. On trouve les racines du polynôme en X obtenu avec la méthode utilisée en Section 1 :
3. On revient aux x :
2.2 Expressions non polynomiales
Trouver les solutions de −ln(x)2 + 2 ln(x) + 2 = 0. 1. En posant X =. . ., l'équation devient
2. On trouve les racines du polynôme en X obtenu :
3. On revient aux x :
Trouver les solutions de e2x−3ex+ 2 = 0. 1. En posant X =. . ., l'équation devient
2. On trouve les racines du polynôme en X obtenu :
3. On revient aux x :
Trouver les solutions de e3x+ 2e2x− 14ex− 12 = 0. 1. En posant X =. . ., l'équation devient
2. On trouve les racines du polynôme en X obtenu :
3. On revient aux x :
