16/09/2019 III – Signal et rayonnement
III.2 : Régime sinusoïdal forcé
Chapitre III.2.1 : Outils pour le RSF
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Problématique
Toute fonction périodique peut être décomposée en une somme de fonctions sinusoïdales
➔ Comportement de circuits forcés par tension sinusoïdale
Résolution d’équation différentielle beaucoup plus difficile
➔ Introduction d’une notation simplificatrice
→ Notation complexe
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Plan du cours
1 – Description d’un signal sinusoïdal
• Expression mathématique
• Déphasage entre deux signaux
• Notation complexe
2 – Régime sinusoïdal forcé
• Exemple du circuit RC
• Généralisation
• Résolution d’équa. diff. avec la notation complexe
3 – Impédance complexe d’un dipôle
• Dipôles classiques
• Théorèmes utiles
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1. Description d’un signal sinusoïdal
1.1. Expression mathématique
• Représentation
• Notions :
o Amplitude
o Grandeur crête-à-crête
o Période/Pulsation/Fréquence o Grandeur efficace :
▪ Intérêt
▪ Relation avec l’amplitude
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1.2. Déphasage entre deux signaux
• Deux signaux de même fréquence : o 𝑠1(𝑡) = 𝑆1,𝑚cos(𝑡 + 1) o 𝑠2(𝑡) = 𝑆2,𝑚cos(𝑡 + 2)
• Déphasage de s2(t) par rapport à s1(t) o Définition : ∆ = 2 - 1
o Signe :
▪ 2 > 1 : s2 est en avance de phase sur s1
▪ 2 < 1 : s2 est en retard de phase sur s1
o Vocabulaire :
▪ Signaux en phase
▪ Signaux en quadrature de phase
▪ Signaux en opposition de phase
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• Comment mesurer un déphasage sur un oscillogramme ?
o Déterminer la valeur absolue :
Demi-période Angle = π Distance entre signaux Angle = |Δ|
o Trouver le signe en identifiant le signal en avance de phase
Doc 1 – Représentation de deux signaux sinusoïdaux
Exemple 1 Exemple 2
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1.3. Notation complexe
• Nombre complexe associé :
o Grandeur réelle : 𝑠(𝑡) = 𝑆𝑚cos(𝑡 + ) o Grandeur complexe : 𝑠 = 𝑆𝑚𝑒𝑗(𝑡+)
• Manipulation :
o Passage au module -> Amplitude Sm
o Passage à l’argument -> Phase
• Intérêts :
o Dérivation o Intégration
-7- Doc 2 – Rappels sur les nombres complexes Expressions d’un nombre complexe :
• Forme algébrique : 𝑧 = a + 𝑗. 𝑏 o a = Re(z) : partie réelle o b = Im(z) : partie imaginaire
• Forme géométrique :
𝑧 = |𝑧|𝑒𝑗 = |𝑧|[cos() + 𝑗. 𝑠𝑖𝑛()]
o |𝑧|: module positif o : argument
• Equivalence des représentations : o |𝑧| = √𝑎2+ 𝑏2
o cos() = 𝑎
√𝑎2+𝑏2 et sin() = 𝑏
√𝑎2+𝑏2 o tan() = 𝑏
𝑎
▪ = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 (𝑏
𝑎) si Re(z) > 0
▪ = 𝜋 + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 (𝑏
𝑎) si Re(z) < 0 Opérations sur les nombres complexes :
• Conjugué : 𝑧∗= a − 𝑗. 𝑏
• Produit par le conjugué : 𝑧. 𝑧∗= 𝑎2+ 𝑏2
• Produit : 𝑧 = 𝑧1. 𝑧2
o Module : |𝑧| = |𝑧1| . |𝑧2|
o Argument : 𝐴𝑟𝑔(𝑧) = 𝐴𝑟𝑔 (𝑧1) + 𝐴𝑟𝑔 (𝑧2)
• Rapport : 𝑧 =𝑧1
𝑧2
o Module : |𝑧| =|𝑧1|
|𝑧2|
o Argument : 𝐴𝑟𝑔(𝑧) = 𝐴𝑟𝑔 (𝑧1) − 𝐴𝑟𝑔 (𝑧2)
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2. Régime sinusoïdal forcé
2.1. Exemple du circuit RC
• Expérience :
o R et C en série
o Générateur de tension sinusoïdale 𝑒(𝑡) = 𝐸𝑚cos(𝑡) o Branchement oscillo pour observer e(t) et uC(t)
• Equation différentielle
• Recherche de solution :
o Solution « homogène » : Ae-t/
o Solution « particulière » : 𝑈𝐶𝑚cos(𝑡 + )
o Durée du temps caractéristique
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2.2. Généralisation
• Définition « régime sinusoïdal forcé »
• Conséquence sur les grandeurs électriques : o Format mathématique
o Même pulsation que le forçage o Eventuellement, un déphasage
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2.3. Résolution d’équation différentielle
• Déterminer uC(t) en RSF : o Amplitude
o Déphasage par rapport au signal de forçage o Pulsation : déjà connue
• Retour à l’ED du circuit RC o Amplitude
o Phase
o Dépendance de UCm et vis-à-vis de la pulsation de forçage
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3. Impédance complexe d’un dipôle
3.1. Dipôles passifs classiques
• Obtention de l’expression
o Relations entre i et u en grandeurs réelles o Passage aux complexes
o Impédance / Admittance
• Intérêt -> « loi d’Ohm »
• Equivalents HF/BF des dipôles
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3.2. Théorèmes utiles
• Lois d’association : o Série
o Dérivation
• Pont diviseur de tension
• Pont diviseur de courant
-13- Exercice d’application – Circuit à étudier en RSF
Dans le montage représenté ci-dessous, alimenté par une source idéale de tension délivrant une tension sinusoïdale 𝑒(𝑡) = 𝐸𝑚𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡), déterminer l’expression de l’intensité I.
