III – Signal et rayonnement

05/09/2019

III – Signal et rayonnement

III.1 : Oscillateurs libres amortis

Chapitre III.1.2 : Oscillateur RLC amorti

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Expérience téléphone portable

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Problématique

Qu’est-ce qu’un régime transitoire ?

1^ère année : condensateur avec résistance

• Charge du condensateur : emmagasine de l’énergie

• Décharge dans une résistance

2^ème année : décharge d’un condensateur en régime transitoire

• Dans une bobine idéale (circuit LC)

• Dans une bobine réelle (circuit RLC)

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Plan du cours

1 – Décharge du condensateur dans une bobine idéale 2 – Décharge du condensateur dans une bobine réelle

3 – Exploitation d’un oscillogramme de relaxation pseudo-pér.

• Pseudo-pulsation

• Décrément logarithmique

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1. Décharge condensateur ds bobine idéale

Aspect expérimental : Quel circuit pour :

• Charger le condensateur,

• Puis, le décharger dans une bobine idéale

• Visualiser uC(t) et e(t)

1.1. Charge du condensateur

Étude théorique :

• Equation différentielle

• Durée de charge

• Régime permanent atteint

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1.2. Décharge dans bobine idéale

• Étude théorique :

o Équation différentielle vérifiée par uC o Forme canonique de l’ED

o Pulsation propre ω0 : signification et unité

• Résolution :

o Forme des solutions

o 2 constantes à déterminer → 2 conditions initiales

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Doc 1 – Décharge du condensateur dans une bobine idéale

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• Étude énergétique :

o Conservation de l’énergie

o Vérification avec expressions obtenues pour i(t) et uC(t)

Doc 2 – Décharge du condensateur dans une bobine idéale – aspect énergétique

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2. Décharge condensateur ds bobine réelle

2.1. Equation différentielle

• Différence entre bobine idéale et bobine réelle

• Étude théorique : 𝑑²𝑢_𝐶

𝑑𝑡² + 𝜔₀ 𝑄

𝑑𝑢_𝐶

𝑑𝑡 + 𝜔₀² 𝑢_𝐶 = 0

o Équation différentielle sous forme canonique vérifiée par uC

o Pulsation propre o Facteur de qualité

o Autre forme d’écriture de la forme canonique : 𝑑²𝑢_𝐶

𝑑𝑡² + 2𝜆 𝑑𝑢_𝐶

𝑑𝑡 + 𝜔₀² 𝑢_𝐶 = 0

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• Relaxation

o Signification

o Trois formes de relaxation

2.2. Bilan énergétique

• Dissipation d’énergie

• Influence de la résistance du conducteur ohmique : o Effet Joule

o Et si R tend vers 0 ?

o Origine du terme « facteur de qualité »

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2.3. Régime de relaxation apériodique

• Cas où ∆ > 0 (i.e. Q < ½)

o Deux racines réelles à l’équation caractéristique o Forme des solutions

o Détermination des constantes d’intégration

Doc 3 – Relaxation apériodique

• Méthode : à vérifier pour que la solution ait un sens physique

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2.4. Régime de relaxation critique

• Cas où ∆ = 0 (i.e. Q = ½)

o Racine réelle unique à l’équation caractéristique o Forme des solutions

o Détermination des constantes d’intégration

Doc 4 – Relaxation critique

• Méthode : à vérifier pour que la solution ait un sens physique

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2.5. Régime de relaxation pseudo-périodique

• Cas où ∆ < 0 (i.e. Q > ½)

o Racines complexes à l’équation caractéristique o Forme des solutions

▪ Terme exponentiel :

• Facteur d’atténuation

• Durée caractéristique du phénomène

▪ Terme sinusoïdal :

• Pseudo-pulsation

• Pseudo-période

▪ Condition de sens physique

o Détermination des constantes d’intégration

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• Méthode : Tracé à la main de la fonction

Doc 5 – Relaxation pseudo-périodique

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• Influence de la résistance sur le tracé

Doc 6 – Relaxation pseudo-périodique : influence de R

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3. Exploitation d’oscillogramme pseudo-périodique

Exercice-type

Dans le circuit reproduit ci-dessous, le condensateur initialement déchargé. A t = 0, l’interrupteur est fermé. Le graphe obtenu est tel que l’axe des abscisses est le temps (en s) et l’axe des ordonnées, la tension 𝑢𝐶(𝑡) (en V).

Déterminer les valeurs des grandeurs E, R et C.

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3.1. Pseudo-pulsation

• Expression

 = ₀

2𝑄 √4𝑄² − 1

• Comment évaluer graphiquement la pseudo-pulsation ?

• Comment la simplifier quand Q >> ½ ?

3.2. Décrément logarithmique

• Rôle

• Expression :

 = 𝑙𝑛 𝑢_𝐶(𝑡) 𝑢_𝐶(𝑡 + 𝑇)

o Raison de son introduction

o Quelle grandeur permet-il d’évaluer ?

o Expression simplifiée quand Q >> ½