Annexe leçon 1 : Le raisonnement par récurrence TS Situation d'utilisation d'un tel raisonnement : On souhaite démontrer, par exemple, que pour tout

Annexe leçon 1 : Le raisonnement par récurrence TS

Situation d'utilisation d'un tel raisonnement :

On souhaite démontrer, par exemple, que pour tout n appartenant à ℕ : 2

n1 .

On nomme cette propriété P  n  au rang n ( P pour propriété et n pour insister sur le fait que la propriété dépend de cet entier )

Réflexe : On examine la propriété pour les premières valeurs prises par l'entier n .

2

n1 P n  (vraie ou fausse)

n=0 n=1 n=2 n=3 n=4

On pourrait continuer ainsi l'examen de beaucoup d'entiers mais quel que soit le nombre de valeurs de n testées semblant valider la propriété, on ne peut pas considérer la propriété vraie pour tout entier naturel n de ℕ. (Est-il nécessaire de vous rappeler que l'ensemble ℕ est infini ? Il y a toujours un entier après celui que vous avez testé !)

Un outil puissant : L'idée consiste à établir une "chaîne de vérité" de longueur infinie.

Théorème dit du "principe de récurrence" : Si l'on prouve les deux étapes suivantes,

étape 1  P n est vraie au départ ( n=n

_et n

est 0, ou 1, ... )

étape 2  P n a un caractère héréditaire : c'est à dire que pour nn

_, P n vraie implique P n1 vraie,

alors la propriété P n est vraie pour tout n de ℕ Mise en œuvre de l'outil : démonstration de la propriété.

Initialisation 

Hérédité  Il existe un entier n pour lequel P n est vraie c'est à dire ...

Je me sers obligatoirement de cette propriété pour démontrer que P n 1 est vraie.

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