Séquence 5

Séquence 5

1 ^ère partie :

Produit scalaire (1)

2 ^e partie :

Suites numériques (1)

1ère partie

Produit scalaire (1)

Sommaire

1. Pré-requis

2. Produit scalaire de deux vecteurs

3. Synthèse de la partie 1 de la séquence 4. Exercices d’approfondissement

1 ^Pré-requis

Théorème de Pythagore

1. Théorème de Pythagore

Vous connaissez bien sûr ce théorème.

Le triangle ABC est rectangle en A si et seule- ment si AB²+AC²=BC .²

Vecteurs et calcul vectoriel

1. Vecteurs

Dans la séquence 1 nous avons vu.

Un vecteur est un « objet mathématique » qui ca- ractérise une translation.

S’il n’est pas nul, il est défini par la donnée : d’une direction,

d’un sens,

et d’une longueur (on dit aussi une norme).

Définition

Soient A, B, C et D quatre points du plan. On a : AB CD

= si et seulement si les segments [AD] et [BC] ont le même milieu (c’est-à-dire si et seulement si ABDC est un parallélogramme, éventuellement aplati ou réduit à un point).

Propriétés

On peut aussi remarquer que cela signifie que, s’ils ne sont pas nuls, les vec- teurs AB et CD ont la même direction (puisque (AB) et (CD) sont paral- lèles), le même sens (on va dans le même sens de A vers B et de C vers D) et la même longueur ( AB CD= ).

A

B A

C Théorème

B

Commentaire

Soient u et v

deux vecteurs non nuls du plan. On a : u v= si et seule- ment si u

et v

ont la même direction, le même sens et la même norme.

Propriétés

Lorsqu’un vecteur est défini à l’aide de deux points, AB, sa norme (c’est-à-dire sa longueur) peut se noter AB, puisque c’est aussi la distance entre les deux points A et B.

Mais lorsqu’un vecteur n’est pas défini à l’aide de points, u

, et que l’on veut écrire sa norme, on utilise la notation u

.

Pour un vecteur AB on peut alors écrire aussi AB , de sorte que : AB =AB.

2. Coordonnées d’un vecteur

Si le repère

(

O; ,i j

)

est orthonormé, et si le vecteur u

a pour coordonnées u x y

(

;

)

^{on a :}

u x y

=OM= ²+ ². Propriétés

Les coordonnées du vecteur AB sont : AB

(

x_B−x_A^;y_B−y_A

)

^{où A}

(

^xA;yA

)

^{et B}

(

^xB;yB

)

^.

On retrouve alors : AB =AB=

(

^x_B−^x_A

)

²⁺

(

^y_B^−y_A

)

². Propriétés

Soient u x y

(

;

)

^{et v x y}

(

^{'; '}

)

deux vecteurs et k un réel.

Les coordonnées de u v+ sont

(

x+x y^'; +y^{' .}

)

Celles de k u.

sont

(

kx ky;

)

^.

Propriétés

Remarque

Soit u

un vecteur du plan. Les coordonnées du vecteur u

dans un repère O; ,

(

i j

)

^{sont les}

coordonnées du point M tel que : OM=u . Si l’on a M

(

x y;

)

on a alors u xi y j

=OM= + . Définition

Projection orthogonale d’un point, d’un vecteur

1. Projection orthogonale d’un point

Dans de nombreuses situations géo- métriques (par exemple dans la fi- gure ci-contre pour calculer l’aire du triangle ABC), à partir d’un point donné (ici A), on a besoin de construire un point (ici H), situé sur une droite donnée (ici (BC)), et tel que (AH) soit perpendiculaire à la droite donnée.

Ce point est unique, et pour le construire à partir de A on dit que l’on fait une projection orthogo- nale sur la droite (BC).

Soit d une droite donnée du plan et A un point du plan n’appartenant pas à d.

On appelle projeté orthogonal de A sur la droite d l’unique point H de d tel que (AH) soit perpendiculaire à d.

Si A appartient à la droite d, il est son propre projeté orthogonal sur d. Définition

2. Projection orthogonale d’un vecteur

On considère une droite d donnée. Si un vecteur v

est défini à l’aide de deux points, v

=AB, on peut projeter les points A et B orthogonalement sur la droite d. On obtient les points H et K.

On dit que le vecteur HK est le projeté or- thogonal de v

sur la droite d.

On peut vérifier (voir figure ci-contre) que si l’on définit le vecteur v

à l’aide de deux autres points, v

=CD, de façon que C soit sur la droite (AH), on a : H projeté orthogo- nal de C sur d (évident) et K projeté ortho- gonal de D sur d.

C

B

A H

C H B A

C

B

d v

K D H

A

C

En effet l’égalité AB CD

= implique que ABDC est un parallélogramme. On a alors (AC) parallèle à (BD) et donc (BD) perpendiculaire à d. Cette droite (BD) est alors confondue avec (BK) et K est bien le projeté orthogonal de D sur d.

On voit ainsi que le projeté orthogonal de v

sur la droite d est indépendant du choix des points qui le définissent ( AB ou CD), en tout cas lorsque (AC) est perpendiculaire à d.

Sur la figure suivante, regardons ce qui se passe si l’on définit le vecteur v

à l’aide de deux points, v =CD, sans que C soit sur la droite (AH).

On construit le point C’ de la droite (AH) tel que (CC’) soit parallèle à d. Puis on construit D’ tel que v

=C'D'.

On sait, voir explication précédente, que H est le projeté orthogonal de C’

sur d et K le projeté orthogonal de D’

sur d.

On sait aussi que CDD’C’ est un parallélogramme puisque CD C'D'.

= Donc

CC' DD'.

=

Construisons les points H’ et K’ projetés orthogonaux respectifs de C’ et D’ sur d. On a (CC’) parallèle à (HH’) et (C’H) parallèle à (CH’) par construction (perpendi- culaires à d).

Donc HH’CC’ est un parallélogramme. Donc CC' H'H.

=

On fait le même raisonnement avec KK’DD’. On obtient DD' K'K.

= On a alors : H'K' H'H HK KK' CC' HK D'D

= + + = + +

=HK car CC' DD'.

= Puisque H'K' HK

= on voit que le projeté orthogonal de v

sur la droite d est indépendant du choix des points qui le définissent ( AB ou CD), même si C n’est pas sur la droite (AH).

Soit d une droite donnée du plan et v

un vecteur de ce plan.

Si l’on définit le vecteur v

à l’aide de deux points, v

=AB, et si l’on considère les points H et K, projetés orthogonaux respectifs de A et B sur d, alors le vecteur HK est indépendant du choix des points A et B. Il ne dépend que de v

. Propriétés

Cet unique vecteur HK est appelé projeté orthogonal de v

sur la droite d. Définition

B

d v

K K’

D’ D H

A

C’ C

H’

Si l’on projette le vecteur v

sur une autre droite parallèle à d, on obtient le même projeté orthogonal. Autrement dit le projeté orthogonal d’un vecteur sur une droite ne dépend pas réellement de la droite, mais uniquement de sa direction.

Cela nous permet de définir le projeté orthogonal d’un vecteur v

sur un autre vecteur u

non nul. Il suffit de le projeter sur n’importe quelle droite dont u est un vecteur directeur (voir figure ci-dessous).

d v

v’

u’

u

Remarque

2 Produit scalaire de deux vecteurs

Activités

1. Triangle rectangle ?

Dans la figure ci- contre, dire si le triangle ABC est rectangle en A.

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé

O ; i j,  ,

( )

on donne les points A

(

1 3;

)

, ^B

(

^{−3 1;}

)

et C

(

4;−3

)

. Faire une figure.

Dire si le triangle ABC est rectangle en A.

2. Expression de ^AB

²

+ ^AC

²

− ^BC

²

avec des longueurs et un angle

A partir de l’activité précédente, on peut remarquer que le nombre AB²+AC²−BC² permet de savoir si le triangle ABC est rectangle en A ou non :

« le triangle ABC est rectangle en A si et seulement si AB²+AC²−BC²=0 », ce qui est une autre forme du théorème de Pythagore.

On va donc s’intéresser à ce nombre, AB²+AC²−BC ,² ou plutôt à sa moitié (on verra pourquoi plus loin) en particulier lorsqu’il est non nul.

On considère un triangle ABC, non rectangle en A et le point H projeté orthogonal de B sur la droite (AC).

Trois cas peuvent se présenter : soit H appartient au segment [AC], soit il est à l’extérieur de ce segment et du côté de A, soit il est à l’extérieur du segment [AC] du côté de C.

Faire trois figures correspondant à ces trois cas.

Montrer que l’on a toujours : HB²+HC²=BC .² Déterminer une égalité ana- logue pour AB .²

A

8

13 10

A

C B

En déduire que : AB²+AC²−BC²=HA²+AC²−HC .²

a) Dans le premier cas de figure, quelle relation a-t-on entre HC, AC et AH ? b) En déduire que l’on a : AB²+AC²−BC²=2AC AH.×

a) Dans le deuxième cas de figure, quelle relation a-t-on entre HC, AC et AH ? b) En déduire que l’on a : AB²+AC²−BC²= −2AC AH.×

a) Dans le troisième cas de figure, quelle relation a-t-on entre HC, AC et AH ? b) En déduire que l’on a : AB²+AC²−BC²=2AC AH.×

Dans les trois cas de figure, montrer que l’on a :

AB²+AC²−BC²=2AB AC× ×^cos

(

AB AC . ^,

)

Attention à être bien rigoureux dans le calcul trigonométrique.

3. Expression de ^AB

²

+ ^AC

²

− ^BC

²

avec des normes de vecteurs

On garde la situation précédente et on définit les vecteurs u

=AB et v

=AC.

Exprimer le vecteur BC

en fonction de u et v

.

En déduire que : AB²+AC²−BC²= u ²+ v ²− −u v ².

4. Expression de ^AB

²

+ ^AC

²

− ^BC

²

avec des coordonnées de vecteurs

On garde encore la situation précédente et on définit les vecteurs de u et v

par leurs coordonnées dans un repère orthonormé O ;  ,

(

i j

)

^{: u x y}

⁽

^;

⁾

^{et v x y}

⁽

^{'; '}

⁾

^.

Montrer que l’on a : AB²+AC²−BC²=2

(

^xx'+^yy'

)

.

On vient ainsi de voir, dans les activités précédentes, que le nombre AB²+AC²−BC² peut s’exprimer de différentes manières suivant le type de données dont on dispose, ou le type de résultat que l’on veut obtenir.

Vous avez aussi sans doute remarqué, dans les activités o et q que les expres- sions obtenues pour ce nombre étaient factorisées par 2.

C’est pourquoi on s’intéressera, dans le cours, au nombre 1 2

2 2 2

AB +AC −BC

( )

dont on sait déjà qu’il vérifie : 1 2

2 2 2

AB +AC −BC AB AC AB AC ,

( )

^{= × ×cos}

⁽

^,

⁾

1 2

1 2

2 2 2 2 2 2

AB +AC −BC ,

( )

^{= }_ ^{u + v − −u v }_

1 2

2 2 2

AB +AC −BC .

( )

^=xx'+yy'

Conclusion

Cours

1. Produit scalaire de deux vecteurs

Comme on l’a vu à la fin des activités, étant donnés deux vecteurs u et v

, nous allons nous intéresser au nombre 1

2

2 2 2

u v u v

+ − −







. Définition 1

Étant donnés deux vecteurs u et v

, on appelle produit scalaire des vecteurs u et v

le nombre réel noté u v⋅⋅ et défini par : u v u v u v

⋅ =  + − −







1 2

2 2 2

. On le lit « u

scalaire v ».

Cette définition nous donne immédiatement les propriétés suivantes.

Propriété 1

a. Retenons tout d’abord que le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel.

b. Si l’un des vecteurs u ou v

est nul, on a : u v⋅ =0.

c. Quand on calcule un produit scalaire, l’ordre des vecteurs n’a pas d’importance et on a : u v v u

⋅ = ⋅ .

d. Si v =u, autrement dit si l’on calcule le produit scalaire de u

par lui-même, on a : u u u

⋅ = ². On a l’habitude de dire que c’est le carré scalaire de u

et on le note : u₂

. On a donc : u₂ u u u 2

= ⋅ = .

Si l’on considère trois points A, B et C tels que u

=AB et v

=AC, on a :

AB AC AB AC BC .

⋅ =¹²

(

²+ ²− ²

)

On reconnaît l’expression étudiée dans les activités.

Si l’on considère deux points A et B tels que u

=AB on a : AB²= AB ²=AB .² Cette égalité est assez importante car elle permet, dans certains calculs, de passer des longueurs (AB, BC, …) aux vecteurs ( AB, BC,

…). Or on ne sait pas facilement additionner ou soustraire des longueurs (que vaut AB BC+ ?) alors que l’on sait mieux additionner ou soustraire des vecteurs ( AB BC AC

+ = ).

Définition 2

On dit que deux vecteurs non nuls u et v

sont orthogonaux si

(

u v,

)

^{= +π}2 k^π avec k∈.

B

Remarques

Théorème 1 Deux vecteurs u

et v

sont orthogonaux si et seulement si u v⋅⋅ ==0.

Considérons deux vecteurs u et v

et trois points A, B et C tels que u

=AB et v

=AC.

a. Supposons que u et v

soient orthogonaux.

Si u=0 on a :

u v v v v v v

⋅ = ⋅ =  + − −





= + − −

0 1

2 0 0 1

2 0

2 2 2  2 2





=0.

Car v 2 v 2

= − .

Si v =0 on montre de la même façon que : u v u

⋅ = ⋅ =0 0.

Si u et v

sont non nuls on a : u v k

, AB, AC

( )

⁼

( )

^{= +π}2 ^π avec k∈. Le triangle ABC est alors rectangle en A et on a : AB²+AC²=BC² (théorème de Pythagore). On a alors :

u v

⋅ = ⋅ =  + − −

AB AC 1 AB AC AB AC

2

2 2 2









=  + −









1 2

2 2 2

AB AC CB



=¹²

(

^AB2+^AC2−^CB2

)

^=0.

On a donc bien dans tous les cas : si u etv sont orthogonaux, alorsu v⋅ =0.

Implication que l’on peut noter :

(

u etv orthogonaux

)

^⇒

(

u v^{⋅ =0}

)

. b. Réciproquement, supposons que u v⋅ =0.

Si u=0 ou v =0 les vecteurs u et v

sont orthogonaux.

S’ils sont tous deux non nuls, on a : u v

⋅ =^{AB AC}⋅ =²¹

(

^AB2+^AC2−^CB2

)

^=0.

Donc AB²+AC²=BC².

On en déduit que le triangle ABC est rectangle en A. Donc

u v k

, AB, AC

( )

⁼

( )

^{= +π}2 ^π avec k∈. Les vecteurs u

et v

sont orthogonaux.

On a donc bien dans tous les cas : si u v⋅ =0 alors u etv sont orthogonaux.

Implication que l’on peut noter :

(

u v⋅ =⁰

)

^⇒

(

u ^etv orthogonaux .

)

L’équivalence est donc démontrée :

(

u etv orthogonaux

)

^⇔

(

u v^{⋅ =0}

)

.

왘Démonstration

Rappel

Rappel

2. Expression analytique du produit scalaire

Dans tout ce paragraphe, on suppose que le plan est rapporté à un repère ortho- normé O

(

; ,i j

)

.

Les calculs de l’activité 4 nous permettent d’énoncer le théorème suivant.

Théorème 2 Soient u

(x ; y ) et v

(x‘ ; y ‘) deux vecteurs. On a : u v⋅ =xx'+yy' .

Considérons deux vecteurs u et v

de coordonnées u x y

(

;

)

^{et v x y}

(

^{'; '}

)

^dans

un repère orthonormé O

(

; ,i j

)

. On a alors : u 2=x2+y2, v 2 x 2 y 2

=

(

^'

)

⁺

(

' et, comme les coordonnées de

)

u v− sont x−x y−y

(

^{'; ' on a}

)

^{u v− 2= −}

(

^{x x'}

)

^{2+ −}

(

^{y y' .}

)

²

Donc :

u v u v u v x y x y

⋅ =  + − −





= + +

( )

⁺

( )

1 2

1 2

2 2 2 2 2 2

' '²²− −

( )

^{2− −}

( )

²

 

x x' y y' . Soit : u v⋅ =¹₂

(

²xx^'+²yy^'

)

⁼xx^'+yy^'.

Il est indispensable que l’on soit dans un repère orthonormé.

Propriété 2

a. Quels que soient les vecteurs u , v

et w

on a : u v w u v u w

⋅⋅

((

++

))

== ⋅⋅ ++ ⋅⋅ . b. Quels que soient les vecteurs u

et v

et le nombre réel λ on a :

((

λλu

))

^{⋅⋅ == ××}v λλ

((

u v^⋅⋅

))

^.

a. Considérons les vecteurs u , v

et w

de coordonnées u x y

(

;

)

^,

v x y

(

'; '

)

^{et w x}

(

"; "^y

)

dans un repère orthonormé O

(

; ,i j

)

. On a alors :

v w+ x x y y

( ) ⁽

^{'+ "; '+} " . Donc :

⁾

u v w x x x y y y xx xx yy yy

⋅ +

( )

⁼

⁽

^{'+ "}

⁾

⁺

⁽

^{'+ "}

⁾

^{= '+ "+ '+ "}

et u v u w xx yy xx yy

⋅ + ⋅ = '+ '+ "+ ".

On a donc bien : u v w u v u w

⋅ +

( )

^{= ⋅ + ⋅ .}

b. Considérons les vecteurs u et v

de coordonnées u x y

(

;

)

^{et v x y}

(

^{'; '}

)

^dans

un repère orthonormé O

(

; ,i j

)

, ^{et λ} un nombre réel. On a alors : λ λ λu x y

; .

( )

왘Démonstration

Remarque

왘Démonstration

Donc :

λu v λx x λy y λxx λyy

( )

^{⋅ =}

^{( )}

^'+

^{( )}

^{' = '+ '}

et λ× ⋅

(

^{u v}

)

^{= ×}λ

⁽

^xx'+yy'

⁾

⁼λ^xx'+λ^{yy' .} On a donc bien :

(

λu v

)

^{⋅ = × ⋅}λ

(

u v

)

^.

Si l’on utilise l‘égalité u v v u

⋅ = ⋅ , on peut démontrer que l’on a également les propriétés suivantes :

a. Quels que soient les vecteurs u , v

et w

on a : u v w u w v w

(

+

)

^{⋅ = ⋅ + ⋅ .}

b. Quels que soient les vecteurs u et v

et le nombre réel λ on a :

u v u v

⋅

(

^λ

)

^{= × ⋅λ}

( )

^.

Les quatre propriétés de calcul vues ci-dessus, même si on les a démontrées à l’aide des coordonnées des vecteurs dans un repère orthonormé, sont néan- moins toujours vraies, indépendamment du mode d’expression du produit scalaire.

Si deux vecteurs u et v

sont colinéaires, on a : u v

u v u v

u v

⋅ = −

si et sont de même sens ; siu etv sont de sens contraire.







En effet si u et v

sont colinéaires, il existe un réel λ tel que : v u

= λ . On a alors : u v u u u u u

⋅ = ⋅

(

^λ

)

^{= × ⋅λ}

( )

^{=λ 2.}

D’autre part : u v u u u u u

= λ = λ = λ ². Donc si u

et v

sont de même sens, λ >0, donc λ λ= et donc u v⋅ = u v . Si u

et v

sont de sens contraire, λ <0, donc λ= −λ et donc u v⋅ = − u v . Ces propriétés de calcul sont analogues à celles que l’on a pour les calculs algé- briques, à ceci près que l’on « mélange » ici nombres et vecteurs.

On va donc pouvoir « développer » les calculs de produit scalaire comme l’on

« développe » les calculs algébriques, en faisant cependant très attention à ce que l’on manipule, nombre ou vecteur. Par exemple :

produits scalaires

(λu v) λ u v λ u v

⋅ = × ⋅

( )

⁼

( )

^⋅

produit d’un produit vecteur par un réel

de deux réels Exprimer en fonction de u 2

, v 2

et u v⋅ les produits scalaires suivants : a. 3u 2v

⋅ −

( )

^{, b. 3}

(

^{u v+}

)

^{⋅ −}

(

^{u 2v}

)

^,

c.

(

u v+

)

^{⋅ −}

(

u v

)

^{, d. u v+ 2.}

Remarques

Conséquence

왘Exemple 1

Réponses

a. 3u 2v 3 u 2v 3 2 u v 6 u

⋅ −

( )

^{= × ⋅ −}

( ( ) )

^{= × −}

^{( )}

^{× ⋅}

^{( )}

^{= −}

^{( )}

^{× ⋅⋅}

⁽

^v

⁾

^.

b. 3u v u 2v 3u v u 3u v 2v

( )

+ ^{⋅ −}

( )

⁼

( )

^{+ ⋅ −}

( )

^{+ ⋅}

( )

⁼

=

( )

^{3u u⋅ + ⋅ −v u}

( )

^{3u ⋅}

( )

^{2v − ⋅v}

( )

^{2v .}

Donc :

3u v u 2v 3 u u v u 6 u v 2 v

(

+

)

^{⋅ −}

( )

^{= × ⋅}

( )

+ ⋅ − × ⋅ − × ⋅vv u u v v

=3 ²− × ⋅ −5 2 ². c.

u v u v u u v v u v u u v

(

+

)

^{⋅ −}

( )

^{= ⋅ −}

( )

^{+ ⋅ −}

( )

^{= 2− ⋅ ++ ⋅ −v u v 2= u 2− v 2.}

d. Ne pas oublier que : u v+ ²= +

(

u v

)

^{⋅ +}

(

u v

)

. Ce qui nous donne :

u v u v u v u u v v u v u

+ ²= +

( )

^{⋅ +}

( )

^{= ⋅ +}

( )

^{+ ⋅ +}

( )

^{= 22+ ⋅ + ⋅ +u v v u v 2.}

Et donc :

u v u u v v

+ ²= ²+2 ⋅ + ².

Comme les deux derniers calculs nous le montrent, nous avons, avec le produit scalaire des « identités remarquables » analogues à celles que l’on a avec le calcul sur les nombres réels.

Propriété 3

Quels que soient les vecteurs u et v

on a :

a. u v u v u u v v

+ ²= +

( )

^{2= 2+2 ⋅ + 2.}

b. u v u v u u v v

− ²= −

( )

^{2= 2−2 ⋅ + 2.}

c. u v u v u v

(

+

)

^{⋅ −}

( )

^{= 2− 2.}

a. et c. sont démontrées dans l’exemple 1.

b. On a :

u v u v u v u u v v u v u

− ²= −

( )

^{⋅ −}

( )

^{= ⋅ −}

( )

^{− ⋅ −}

( )

^{= 22}− ⋅ − ⋅ + −u v v u v ² . Mais −v 2= v 2

. Et donc : u v u u v v

− ²= ²−2 ⋅ + ².

On considère un carré ABCD de centre O et tel que AB=2. On appelle E le milieu de [BC] et F le milieu de [CD].

왘Démonstration

왘Exemple 2

Calculer les produits scalaires suivants : a. AB BC,

⋅ b. AB CD,

⋅ c. AB AC,

⋅ d. AB BO.

⋅ Montrer que les droites (AE) et (BF) sont perpendiculaires.

Réponses

a. Comme ABCD est un carré, les vecteurs AB et BC

sont orthogonaux. Donc :

AB BC .

⋅ =0

b. Comme ABCD est un carré, on a CD= −AB.

Donc : AB CD AB AB AB AB .

⋅ = ⋅ −

( )

^{= − 2= − 2= −4}

c. On a : AB AC AB AB BC AB AB BC

⋅ = ⋅

(

+

)

^{= 2+ ⋅=AB2+ =0 4 .}

d. On a : BO BD BC CD .

=2¹ =

(

+

)

1

2 Par conséquent :

AB BO AB BC CD AB BC

⋅ = ⋅¹2

(

+

)

^{= ⋅}

1

2 ++1 ⋅ = −

2AB CD 2.

Pour montrer que les droites (AE) et (BF) sont perpendiculaires, montrons que les vecteurs AE et BF

sont orthogonaux. Pour cela calculons leur produit scalaire. On a :

AE BF AB BE BC CF AB B

⋅ =

(

+

)

^⋅

(

⁺

)

^{= ⋅ C}C AB CF BE BC BE CF.

+ ⋅ + ⋅ + ⋅ Soit :

AE BF AB CD BC BC BC

⋅ = +0 ⋅1 + ⋅ + 2

1 2

1 2

⋅₂^1CD= −₂¹

(

⁴

)

⁺¹₂

(

⁴

)

^{+ =0 0.}

Le produit scalaire est nul. Les vecteurs sont orthogonaux, et donc les droites perpendiculaires.

3. Autres expressions du produit scalaire

Nous avons défini le produit scalaire de deux vecteurs à l’aide de normes (ou de distances si les vecteurs sont définis avec des points) puis, si l’on est dans un repère orthonormé, à l’aide des coordonnées.

Comme nous l’avons aperçu dans les activités initiales, nous pouvons également définir un produit scalaire de deux vecteurs en projetant orthogonalement l’un sur l’autre, ou en utilisant leurs normes et l’angle qu’ils forment.

C’est d’ailleurs cette richesse d’expressions possibles pour le même calcul qui donne tout son intérêt à la notion, comme nous le verrons en exercice.

Commençons par l’utilisation du projeté orthogonal.

Théorème 3 Si u

est un vecteur non nul, et v

un vecteur quelconque, on a : u v u v

⋅⋅ == ⋅⋅ ' où v ' est le projeté orthogonal de v

sur u .

Par définition du projeté orthogonal d’un vecteur sur un autre, le vecteur v v− ' est orthogonal à u

. On a donc : u v v

⋅ −

(

^'

)

^=0.

Ce qui nous donne : u v u v

⋅ − ⋅ =' 0.

Et donc : u v u v

⋅ = ⋅ '.

On en déduit que deux vecteurs ayant même projeté orthogonal sur u

ont même produit scalaire par u

. Sur la figure ci-contre on a :

u v u v u v u v

⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅_{1 2 3} '.

On considère un carré ABCD de centre O et tel que AB=a. On appelle E le milieu de [BC] et F le milieu de [AD].

Calculer les produits scalaires suivants : a. AB AC,

⋅ b. AB AE,

⋅ c. AB DB.

⋅ Calculer les produits scalaires suivants :

a. AE EB,

⋅ b. FC EB,⋅ c. AO EB.⋅

Réponses

a. Comme ABCD est un carré, le projeté orthogonal de AC

sur AB est AB.

Donc : AB AC AB AB AB²

⋅ = ⋅ = =a².

b. Comme ABCD est un carré et E le milieu de [BC], le projeté orthogonal de AE sur AB est AB.

Donc : AB AE AB AB

⋅ = ⋅ =a².

c. Comme ABCD est un carré, le projeté orthogonal de DB

sur AB est AB.

Donc : AB DB AB AB

⋅ = ⋅ =a².

a. Comme ABCD est un carré et E le milieu de [BC], le projeté orthogonal de AE sur EB

est BE.

Donc : AE EB BE EB BE BE BE

⋅ = ⋅ = − ⋅ = − = −



2

2

a



2

.

b. Comme ABCD est un carré et F le milieu de [AD], le projeté orthogonal de FC sur EB

est EC BE.= Donc : FC EB BE EB

⋅ = ⋅ = −







a 2

2

.

왘Démonstration

v

v’

u v – v’

v1 v2

v3

v’ u

Remarque

왘Exemple 3

c. Comme ABCD est un carré et O le centre de ce carré, le projeté orthogonal de AO

sur EB

est BE.

Donc : AO EB BE EB

⋅ = ⋅ = −







a 2

2

.

Passons maintenant aux normes et au cosinus.

Théorème 4 Si u

et v

sont deux vecteurs non nuls, on a : u v⋅⋅ == u v ^cos

((

u v^,

))

^.

Pour démontrer ce théorème, il faut être attentif aux différents cas de figures possibles (on va donc faire une démonstration par « disjonction des cas »).

L’angle

(

u v,

)

peut être aigu (sa mesure principale est dans l’intervalle

−

 

 π π

2 2, , droit ou obtus.

Dans le premier cas (figure 1), le projeté orthogonal v '

de v sur u

est colinéaire à u

et de même sens, donc : u v u v u v

⋅ = ⋅ =' ' .

D’autre part le cosinus de

(

u v,

)

est positif, donc v' v cos ',v v v cos u v,

=

( )

⁼

( )

^.

On a donc bien : u v⋅ = u v^' = u v ^cos

(

u v^,

)

^.

Dans le deuxième cas (angle

(

u v,

)

droit) le produit scalaire est nul (vecteurs orthogonaux) et on a cos

(

u v,

)

⁼0. On a donc bien :

u v⋅ = u v^' = u v ^cos

(

u v^,

)

^=0.

Dans le troisième cas (figure 2), le projeté ortho- gonal v '

de v sur u

est colinéaire à u et de sens contraire, donc : u v u v u v

⋅ = ⋅ = −' ' . D’autre part le cosinus de

(

u v,

)

est négatif, donc v' v cos ',v v v cos u v,

=

( )

^{= −}

( )

^.

On a donc bien : u v⋅ = − u v^' = u v ^cos

(

u v^,

)

^.

Dans tous les cas de figures on a démontré le théorème.

왘Démonstration

v

v’

u, v u figure 1

v

v’

u u, v

figure 2

Comme c’est le cosinus de l’angle des deux vecteurs qui intervient dans le calcul du produit scalaire, et que cos

(

α

)

⁼cos

(

⁻α

)

, on remarque que le produit sca- laire ne dépend pas de l’orientation de l’angle des vecteurs.

D’ailleurs on le savait déjà puisque u v v u

⋅ = ⋅ .

Dans un repère orthonormé O

(

; ,i j

)

, on donne les points A

(

2;−2

)

, ^B

(

^{−3 1;}

)

et C

(

1 2;

)

.

Calculer le produit scalaire : AB AC.

⋅

En déduire une valeur exacte de l’angle AB AC

, .

( )

Réponses

On a : AB

(

− −^{3 2 1 2;} +

)

, ^{soit AB}

(

^{−5 3;}

)

^. De même : AC , 1 2 2 2− +

(

^;

)

^soit

AC .

(

−^{1 4;}

)

Comme le repère est orthonormé, on a : AB AC .

⋅ = −

(

⁵

)

^{× −}

(

¹

)

^{+ × =3 4 17}

Calculons les normes des vecteurs AB et AC.

On a :

AB =AB= −

(

⁵

)

^{2+32 = 34 et AC =AC= −}

(

¹

)

^{2+42 = 17.}

Or on sait que : AB AC AB AC AB AC .

⋅ = × ×^cos

(

^,

)

On en déduit que : cos AB AC, AB AC

AB AC .

( )

⁼ _×^{⋅ =} _{34 17}¹⁷

Soit : cos AB AC , .

( )

^{= 1}₂ ⁼ 2²

On en déduire qu’une mesure principale de l’angle AB AC

(

,

)

^{est soit π}4, soit

− π4.

Une figure nous permet de préciser que l’on a : AB AC .

(

,

)

^{= − +π}4 2k^π

On voit sur cet exemple l’intérêt de passer d’une forme de calcul d’un produit scalaire à une autre.

Exercices d’apprentissage

On considère un triangle ABC tel que : AB=3, BC=4 et CA=6. Calculer les produits scalaires :

AB AC ;

⋅ BC BA ;

⋅ CA CB.

⋅ Remarque

왘Exemple 4

Remarque

C

Exercice 1

Dans un repère orthonormé O

(

; ,i j

)

, on donne les points A 2

(

;−2

)

^et

B

(

−^{3 1;}

)

, les vecteurs u

(

−^{1 2;}

)

^{, v}

(

^{3 0;}

)

^{, w= +2i 4 et j z= − +i 3 . j}

Calculer les produits scalaires : a. OA OB ;

⋅ b. u v⋅ ; c. w z⋅ . Calculer le produit scalaire : BA .

⋅u

On considère deux vecteurs u et v

tels que : u

=4, v

=3 et u v⋅ = −6.

Calculer les produits scalaires : u u v

⋅

(

² −

)

^;

(

^{3u+5v v}

)

^{⋅ ;}

2u 3v u v

(

−

)

^{⋅ − +}

( )

^;

(

^2u+3v

)

^2.

Dans la figure ci-contre, ABC est un triangle isocèle en A, ABEF un parallélogramme et les droites (AH) et (BF) sont perpendiculaires à (BC). On donne : BC=a .

Exprimer en fonction de a les produits sca- laires :

BC BA ;

⋅ BC FC ;⋅

BC AE ;

⋅ BC BA HF .

⋅

(

+

)

On considère deux vecteurs u et v

tels que : u

=4, v

=3 et

(

u v,

)

⁼²3 π. Calculer le produit scalaire u v⋅ .

On considère deux vecteurs w et z

tels que : w

= 2, z

=4 et w z,

( )

^{= − π}4.

Calculer le produit scalaire w z⋅ . On considère deux vecteurs u

et v

tels que : u

=4, v

= 5 1 et + u v⋅ =4.

Déterminer une valeur approchée de la mesure en radians de l’angle

(

u v,

)

^.

Dans un repère orthonormé O

(

; ,i j

)

, on considère deux vecteurs w et z tels que : w i j

= −3 4 et z i j

= −12 +5 .

Déterminer une valeur approchée à 0,01 rad près de la mesure de l’angle

(

w z,

)

^.

Exercice 2

Exercice 3

Exercice 4

B H

A F

E

C

Exercice 5

Exercice 6

Dans un repère orthonormé O

(

; ,i j

)

, on donne les points A 1 2

(

;

)

^{et B}

(

^{3 2;}

)

^.

a. Déterminer une équation de la droite (OB).

b. En déduire les coordonnées du point H, projeté orthogonal de A sur (OB).

c. Déterminer les coordonnées du point K, projeté orthogonal de B sur (OA).

Calculer les produits scalaires : a. OA OK ;

⋅ b. OB OH ;

⋅ c. OA OB.

⋅ Donner une explication du résultat trouvé à la question 2.

On considère un triangle ABC et les points I, J et K milieux respectifs des seg- ments [BC], [CA] et [AB].

Montrer que : AB CK BC AI CA BJ .

⋅ + ⋅ + ⋅ =0 Sur la figure ci-après, on donne deux vecteurs u

et v

et un point A (le qua- drillage n’est là que pour aider au dessin).

v

A u

a. Construire les points B, C et D tels que : AB ,

=u AC=v et AD .

= +u v b. Définir le vecteur BC

en fonction des vecteurs u et v

. Montrer que :

u v u v u v

+ + − =  +







2 2 2 2

2 .

En déduire une propriété des diagonales d’un parallélogramme.

On considère un rectangle ABCD tel que : AB=a et BC=b avec b> >a 0.

Le point H est le projeté orthogonal de A sur (BD) et le point K celui de C sur la même droite.

a. Faire une figure.

b. Calculer, en fonction de a et b, le produit scalaire : AC BD.⋅ Exercice 7

Exercice 8

Exercice 9

Exercice 10

En exprimant autrement ce produit scalaire, calculer, en fonction de a et b, la distance HK.

On considère un carré ABCD et M un point de la diagonale [AC]. Le point H est le projeté orthogonal de M sur (AB) et le point K le projeté orthogonal de M sur (BC).

a. Faire un figure.

b. Justifier la nature des triangles AHM et CKM.

c. Montrer que AH BK= et que HB KC.=

Exprimer, uniquement par des longueurs, le produit scalaire : DM HB.⋅ En déduire que les droites (DM) et (HK) sont perpendiculaires.

Exercice 11

3 Synthèse de la partie 1 de la séquence

1. Produit scalaire de deux vecteurs

Définition

Étant donnés deux vecteurs u et v

, on appelle produit scalaire des vecteurs u et v

le nombre réel noté u v⋅⋅ et défini par : u v u v u v

⋅ =  + − −







1 2

2 2 2

. On le lit « u scalaire v ».

Propriété 1

a. Retenons tout d’abord que le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel.

b. Si l’un des vecteurs u ou v

est nul, on a : u v⋅ =0.

c. Quand on calcule un produit scalaire, l’ordre des vecteurs n’a pas d’importance et on a : u v v u

⋅ = ⋅ .

d. Si v =u, autrement dit si l’on calcule le produit scalaire de u

par lui-même, on a : u u u

⋅ = ². On a l’habitude de dire que c’est le carré scalaire de u

et on le note : u₂

. On a donc : u₂ u u u 2

= ⋅ = .

Théorème 1 Deux vecteurs u

et v

sont orthogonaux si et seulement si u v⋅⋅ ==0.

2. Expression analytique du produit scalaire

Dans tout ce paragraphe, on suppose que le plan est rapporté à un repère ortho- normé O

(

; ,i j

)

.

Théorème 2

Si les coordonnées des vecteurs u et v

dans un repère orthonormé O

(

; ,i j

)

, ^{sont u x y}

⁽

^;

⁾

et v x y

(

'; '

)

^{, on a : u v⋅⋅ ==xx'++yy'.}

Propriété 2

a. Quels que soient les vecteurs u , v

et w

on a : u v w u v u w

⋅⋅

((

++

))

== ⋅⋅ ++ ⋅⋅ . b. Quels que soient les vecteurs u

et v

et le nombre réel λ on a :

((

λλu

))

^{⋅⋅ == ××}v λλ

((

u v^⋅⋅

))

^.

Propriété 3

Quels que soient les vecteurs u et v

on a :

a. u v u v u u v v

+ ²= +

( )

^{2= 2+2 ⋅ + 2.}

b. u v u v u u v v

− ²= −

( )

^{2= 2−2 ⋅ + 2.}

c. u v u v u v

(

+

)

^{⋅ −}

( )

^{= 2− 2.}

3. Autres expressions du produit scalaire

Théorème 3 Si u

est un vecteur non nul, et v

un vecteur quelconque, on a : u v u v

⋅⋅ == ⋅⋅ ' où v ' est le projeté orthogonal de v

sur u .

Théorème 4 Si u

et v

sont deux vecteurs non nuls, on a : u v⋅⋅ == u v ^cos

((

u v^,

))

^.

4 ^Exercices d’approfondissement

On considère un triangle ABC et un point M quelconque.

Démontrer que l’on a : MA BC MB CA MC AB .

⋅ + ⋅ + ⋅ =0

On choisit le point M tel que (MA) soit perpendiculaire à (BC) et (MB) perpen- diculaire à (CA).

a) Que sont alors les droites (MA) et (MB) pour le triangle ABC ?

b) Déduire de l’égalité initiale que (MC) est nécessairement perpendiculaire à (AB).

c) Quelle propriété bien connue vient-on de démontrer ? On considère deux vecteurs u

et v . a) Montrer que u v

= si et seulement si u v+ et u v− sont orthogo- naux.

b) En déduire qu’un parallélogramme est un losange si et seulement si ses dia- gonales sont perpendiculaires.

(voir exercice 9).

a) Montrer que u v+ = u v− si et seulement si u

est orthogonal à v . b) En déduire qu’un parallélogramme est un rectangle si et seulement si ses

diagonales sont de même longueur.

Soient A et B deux points tels que AB=3 .

Déterminer l’ensemble des points M du plan tels que : AM AB .

⋅ =0 a) Déterminer le ou les points K de la droite (AB) tel(s) que : AK AB .

⋅ =6 b) En déduire l’ensemble des points N du plan tels que : AN AB .

⋅ =6 On considère le point C tel que : AB=3CA.

Déterminer l’ensemble des points P du plan tels que : AP AB .

⋅ = −3

Lorsque l’on cherche un ensemble de points vérifiant une certaine propriété, on dit souvent que l’on cherche le « lieu » des points tels que …

On considère un carré ABCD de centre I et tel que AB=3 . Quel est le lieu des points M tels que : AM²−CM²=0? On veut trouver le lieu des points M tels que : AM²−CM²=18. a) Montrer que : AM²−CM²=2AC IM.⋅

b) En déduire le lieu recherché.

Exercice I

Exercice II

Exercice III

Remarque

Exercice IV

Les triangles ABC et AEF sont rectangles isocèles en A et de sens direct. I est le milieu de [CE].

Montrer que : AI AC AE .

=2¹

(

+

)

a) Montrer que : AC AF AB AE.

⋅ = ⋅

b) En déduire que les droites (AI) et (BF) sont perpendiculaires.

On considère un triangle ABC rectangle en A. On construit, à l’extérieur de ce triangle, les carrés ABDE et AGFC et le rectangle AEKG.

Faire une figure.

Démontrer que les segments [AK] et [BC] sont perpendiculaires et de même longueur.

Démontrer que les segments [CD] et [KB] sont perpendiculaires et de même longueur.

Démontrer que les droites (AK), (CD) et (BF) sont concourantes.

On considère un triangle quelconque ABC et I le milieu de [BC].

Démontrer que : AB AC AI BC .

⋅ = ²− ² 4 Démontrer que : AB²−AC²=2IA BC.⋅ Démontrer que : AB AC AI BC

2 2 2 2.

2 2

+ = +

Ces résultats sont connus sous l’appellation « théorème de la médiane ».

Exercice V

Exercice VI

Exercice VII

Remarque

Suites numériques (1)

2 ^e partie

Sommaire

1. Pré-requis

2. Suites numériques : définitions, modes de génération 3. Variations des suites

4. Exemples de suites : suites arithmétiques et suites géométriques 5. Synthèse de la séquence

6. Exercices d’approfondissement

1 ^Pré-requis

Utilisation du tableur

Ecritures de formules, fonctions préprogrammées.

Recopie de formules, références relatives et absolues.

Fonctions logiques : SI, ALORS, ET, OU, …

Algorithmique

1. Les listes

Considérons un algorithme où intervient une variable A. Lorsque l’on affecte à A une nouvelle valeur, l’ancienne valeur est effacée.

Pour pouvoir conserver différentes valeurs prises par une variable, on peut consi- dérer une variable de type Liste.

(1) Attention, l’ordre est important. Les listes (a ; b) et (b ; a) sont différentes.

(2) Au lieu de noter ( ) la liste vide, on peut la noter ‰ (symbole qui désigne aussi l’événement impossible en probabilité).

(3) Nous noterons, comme pour les calculatrices, L[n] le n^ième élément de la liste L. Par exemple, pour la liste L = (1 ; -3 ; 2), nous avons : L[1] = 1, L[2] = -3 et L[3] = 2.

2. Les boucles

a) Boucles «POUR»

La fonction f est prédéfinie. On veut créer une liste contenant les nombres f (1), f (2), …, f (100).

On peut utiliser l’algorithme suivant (syntaxe Algobox).

POUR I allant de 1 à 100

DANS L[I] METTRE F(I) Fin de la boucle pour

On peut programmer cet algorithme sur calculatrice de la façon suivante.

Sur Ti-82, la fonction f étant entré dans Y1.

A

B

Remarque

PROGRAM:LISTE : FOR(I,1,100) : Y1(I)→ L₁[I]

: END

La Casio Graph 25 permet de programmer directement cet algorithme en utili- sant la séquence :

Seq(Y1(I),I,1,100,1) (le dernier 1 représente le pas, on obtient Seq par : OPTN, LIST, ▶).

Le END du précédent programme pour Ti82 représente la fin de la boucle et non la fin du programme.

– La variable I qui prend ici les valeurs de 1 à 100 s’appelle parfois l’incrément. La valeur finale de I est, ici, le nombre de boucles effectuées (on peut remarquer dans ce cas que c’est un «compteur»).

Syntaxe

Ti-82 Casio Graph 25

For(Variable,début,fin,pas) ou

For(Variable,début,fin) si pas = 1 For début→ ^{variable To fin Step pas}

END Next

b) Boucles Tant que

On cherche à écrire un algorithme, nous donnant la liste des chiffres composant l’écriture décimale d’un entier naturel p (entrée).

On admet que le chiffre des unités d’un entier naturel N est N – 10 ent (N/10) où ent est la fonction partie entière (si x est un réel positif, sa partie entière ent(x) est le plus grand entier inférieur ou égal à x).

Par exemple, si N = 567, on a : ent(567/10) = ent(56,7) = 56 et 567 – 10 ent(567/10) = 567 – 560 = 7.

L’algorithme correspondant est le suivant.

Entrée ENTRER P

Initialisation L liste vide DANS N METTRE P

DANS A METTRE N

Traitement TANT QUE A ≠ 0 FAIRE

DANS A METTRE ent(N/10)

DANS C METTRE N-10*A

DANS L AJOUTER en début de liste C

DANS N METTRE A

Fin de la boucle «TANT QUE»

Sortie AFFICHER L

– La condition « A =  0» est la condition d’arrêt de la boucle « TANT QUE ».

– Pour les calculatrices, on utilise l’instruction suivante.

Algorithme Ti-82 Casio Graph 25

TANT QUE WHILE Whle

Remarque

Remarque

2 Suites numériques : définitions, modes de génération

Activités

1. Exemples de suites

« Suites logiques ». Pour chacune des listes suivantes, découvrir une « lo- gique » dans l’enchaînement des nombres et continuer. On suppose que chacune de ces suites peut être prolongées aussi loin que l’on veut.

a) 1 ; 4 ; 7 ; ... ; 22 ; 25 ; ...

b) 2 ; -4 ; 8 ; -16 ; ...

c) 1 ; 4 ; 9 ; ... ; 25 ; ... ; 49 ; ... ; 100 d) 24 ; 6 ; 3

2 ; ...

e) Un petit casse-tête (question facultative) pour terminer cette question.

1 ; 11 ; 21 ; 1211 ; 111221 ; 312211 ; ...

Il faut bien faire la différence entre liste (l’ordre compte) et ensemble (l’ordre ne compte pas). On utilisera des parenthèses pour une liste et des accolades pour un ensemble.

On appelle encore liste de n éléments un n-uplet.

Un couple (a ; b) est une liste de 2 éléments.

Une paire {a ; b} est un ensemble à 2 éléments.

Chacune des listes précédentes peut être prolongée indéfiniment. On appelle

« suites » de telles listes.

Pour chacune des suites précédentes, on numérote les éléments de la façon suivante.

u₁ est le premier élément de la suite (par exemple, pour la suite du 1d), on a : u₁=24), u₂ est le 2^ème terme de la suite. Plus généralement, dans cet exercice, u_n est le n^ième terme de la liste. Quelques exemples si l’on choisit la suite du 1c) : u₃=9 et u₇=49.

Considérons une des suites précédentes. Si n est un entier quelconque. Le terme qui suit u_n est u_n+1 et celui qui le précède est u_n−1.

A

Remarque

Pour définir une suite, on peut :

tEÏGJOJSVOUFSNFFOGPODUJPOEFTBQPTJUJPOEBOTMBTVJUF1BSFYFNQMFu_n est le n^ième nombre pair non nul nous donne la suite 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; … (soit

u_n =2 ) (forme 1) ;n

tEÏGJOJSVOUFSNFFOGPODUJPOEVQSÏDÏEFOU1BSFYFNQMFVOUFSNFFTUÏHBMBV triple du précédent (soit u_n =3u_n−1 ). Pour énumérer tous les termes de la suite, il nous faut alors son 1^er terme ! Si u₁ =2, on obtient la suite : 2 ; 6 ; 18 ; 54 ; 162 ; … (forme 2).

On dit que l’égalité u_n =3u_n−1 (où n ≥ 1) est une relation de récurrence.

Pour chacune des suites a, b, c et d, proposer une description de la forme (1) ou de la forme (2).

Donner les 10 premiers termes des suites définies ci-dessous.

Forme (1)

a) u_n = −2n 1 b) u

n =n1 c) u_n est le n-ième chiffre après la virgule de 2 . Forme (2)

d) u_n =2u_n−1−1 (où n ≥ 1) et u₁=2 e) u u n u n

n

= ₋⁻+

1

1 1 (où n ≥ 1) et u₁=1 f) u_n est le double du chiffre des unités de u_n−1 et u₁=1.

Cours

1. Définition

La suite se note u n n n

( )

_{≥ 0} si le premier terme est u_n

0 . On note parfois simple- ment

( )

u_n ^.

B

Définition 1

Une suite numérique est une fonction définie sur N (ou sur une partie de N contenant tous les entiers naturels à partir d’un certain rang n₀) :  N→R



 nu_n . Le nombre u_n est appelé le terme général de la suite.

Remarque

u_n désigne donc le n-ième de la suite u

( )

n n_≥1 mais le (n+1)^ième de la suite u_{n n}

( )

_≥0.

On considère les suites

( )

u_{n n≥}0 et

( )

v_{n n≥}1. Le nombre u₀ est donc le 1^er terme de la suite

( )

u_{n n≥}0 et v₁ le 1^er terme de la suite

( )

v_{n n≥}1.

Quel est le 100^ème terme de la suite

( )

u_{n n≥}0? Le 200^ème terme de la suite v_{n n}

( )

_≥1?

A quelle position dans la suite u

( )

n n_≥0, se trouve u₁₁₇? A quelle position dans la suite

( )

v_{n n≥}0, se trouve v₁₁₇?

On écrit, dans l’ordre, tous les termes de la suite u

( )

n n_≥0, en commençant par u₁₇ et en terminant par u₁₀₀. Combien a-t-on écrit de termes ?

Solution

Le 100^ème terme de la suite

( )

u_{n n≥}0 est u₉₉ et le 200^ème terme de la suite v_{n n}

( )

_≥1 est v₂₀₀.

Le nombre u₁₁₇ est le 118^ème terme de la suite

( )

u_{n n≥}0 et le nombre v₁₁₇ le 117^ème terme de la suite

( )

v_{n n≥}0.

Il y a 100 17 1− + = 84 termes entre u₁₇ et u₁₀₀ (u₁₇ et u₁₀₀ inclus).

Plus généralement, on pourra retenir qu’entre u_p et u_q (p ≤ q), il y a (u_p et u_q inclus) q p− +1 termes.

Par exemple si l’on considère la suite n n 2

( )

≥0. Le terme général de cette suite est n², son premier terme est u₀=0 et son dixième 9²=81. Le terme de rang 1, c’est-à-dire u₁ (=1), est le 2^ème terme de la suite.

Petites manipulations avec les suites.

La suite

( )

u_n est définie pour tout n de N par : u n n = n

+

2

1 ( ). Exprimer en fonction de n :

a) u_n+1 b) u_n+1−u_n c) u_2n+3 Solution

a) u n

n

n n

n₊ =

( )

+ n

 + + = + +

1 +

2 2

1 1 1

2 1

( ) 2 .

b)

u u n n

n

n n

n n n n n

n₊ − n = + +

+ −

+ =

(

+ +

)

^{+ − +}

1

2 2 2 2

2 1

2 1

2 1( 1) ( 2) ((n+ )(n+ ) =

1 2

= + + + + + − −

+ + = + +

+

n n n n n n n

n n

n n

n

3 2 2 2 2 1 3 2 2 2

1 2

3 1

1

( )( ) ( )((n+2)

(remarque : pourquoi ne pas développer le dénominateur ? l’expérience nous prouve qu’en général, on a plus souvent besoin d’une forme factorisée que d’une forme développée).

Exemple 1

Exemple 2