Le but de cet exercice est de bien préciser certaines méthodes de raisonnement.

Devoir n˚1 page 1 de 1

Devoir n˚1

I) Vrai ou faux ?

Le but de cet exercice est de bien préciser certaines méthodes de raisonnement.

Pour chacune des affirmations suivantes, dites si elle est vrair ou fausse et démontrez votre réponse.

1. « Dire que √

3x

+ 1 + 2x = 0 équivaut à dire que x

= 1 »

2. « Dire que −3 6 x 6 3 équivaut à dire que −1 6 x

− 12x + 8 6 17 »

3. « Dire qu’une fonction définie sur R ne s’annule jamais équivaut à dire qu’elle garde un signe constant »

II) Rédaction

Le but principal de cet exercice est de formuler correctement et très précisément les réponses, en faisant référence à des connaissances du cours.

1. Traduisez le plus précisément possible les propriétés suivantes, en revenant aux définitions et sans utiliser de dérivées.

Dans chaque cas, donnez ensuite un exemple d’une fonction qui vérifie la propriété et démontrez qu’elle vérifie bien cette propriété en utilisant les critères que vous avez donnés.

a) « La fonction f n’est pas croissante sur R »

b) « La fonction f n’est pas strictement croissante sur R »

c) « La fonction f n’est pas constante sur R »

2. Soit f la fonction définie par f (x) = x

√ 2 − 4 √

2x Voici son tableau de variation :

x −∞ 0 1 +∞

f

(x) − 0 +

f(x)

0

−3 √ 2

+∞

Enoncez précisément à l’aide de phrases chaque propriété indiquée dans ce tableau, et démontrez chacune de ces propriétés. Par exemple : f est croissante sur ....

III) Recherche

Le but de cet exercice est de bien rédiger les démarches de recherche utilisées, même si elles n’aboutissent pas totalement. Indiquez les pistes que vous avez suivies, les difficultés que vous avez rencontrées.

Démontrez que toute fonction définie sur R se décompose comme somme d’une fonction paire et d’une fonction impaire, et cela de manière unique.

Donnez cette décomposition pour la fonction f définie par f (x) = 1

x

+ x + 1