TTHTHHEEEOOORRREEMEMMEEE DDDEEE TTTHHHAAALLLEEESSS
Un peu d’histoire.
Thalès de Milet est un mathématicien, philosophe et scientifique grec il est né à Milet vers -625 et mort vers -547.
Son célébre thèorème est du à un défi lancé par le pharaon : le défi consistait à définir la hauteur de la pyramide de Guizeh.
I. Le théorème de Thalès.
1. Enoncé de la propriété.
On considère deux droites (d) et (d’) sécantes en un point A.
On considère deux points B et M de la droite (d) distincts du point A.
On considère deux points C et N de la droite (d’) distincts du point A.
Si les droites (BC) et (MN) sont parallèles Alors il y a égalité entre les rapports A A
A A
M N MN
B C BC
2. But de la propriété.
La propriété de Thalès permet de CALCULER UNE LONGUEUR MANQUANTE dans une des deux configurations de la propriété.
3. Configurations de la propriété. :
Configuration1 configuration 2
Démonstration type :
les points A , M , B et les points A , N , C sont alignés sur deux droites sécantes en A.
les droites (BC) et (MN) sont parallèles
d’après le théorème de Thalès on a l’égalité :
A A
A A
M N MN B C BC Calcul de AC :
On remplace les distances par leur valeur
3, 61 3,17 5, 29
3, 61 3,17 5, 29 3,17 5, 29
3, 61 4, 64
AC AC AC
AC cm
Calcul de MN :
On remplace les distances par leur valeur
3, 61
5, 29 5,59
3, 61 5,59 5, 29 3, 61 5,59
5, 29 3,81
MN
MN MN
MN cm
II. Conséquence du théorème de Thalès.
1. Enoncé de la propriété.
On considère deux droites (d) et (d’) sécantes en un point A.
On considère deux points B et M de la droite (d) distincts du point A.
On considère deux points C et N de la droite (d’) distincts du point A.
Si deux des rapports
AB AM,
AC AN,
BC
MN sont différents Alors
les droites (BC) et (MN) ne sont pas parallèles
2. But de la propriété
Le but de cette propriété est de démontrer que deux droites NE SONT PAS PARALLELES.
3. Exemple.
sur la figure ci contre, TR=11cm , TS=8cm, TM=15cm et
TE =10cm.
Montrer que les droites (EM) et (SR) ne sont pas parallèles.
Les droites (ES) et (RM) sont sécantes en T.
D’une part :
11 15 TR TM
D’autre part :
8 10 TS TE
11 10 110 et 8 15 120
D’après la propriété du produit en croix : TR TS
TM TE
D’après le théorème de Thalès
Les droites (EM) et (RS) ne sont pas parallèles.
III. Réciproque de Thalès 1. Enoncé de la propriété.
On considère deux droites (d) et (d’) sécantes en un point A.
On considère deux points B et M de la droite (d) distincts du point A.
On considère deux points C et N de la droite (d’) distincts du point A.
Si AC
AN AB
AM et si les points A,B,M et les points A,C,N sont
alignés dans le même ordre Alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles .
2. But de la propriété
Le but de cette propriété est de démontrer que deux droites SONT PARALLELES.
