On commence à construire le tableau :

EXPLICATIONS PAS A PAS POUR REMPLIR LES TABLEAUX DE SIGNES

En vert, ce qui est rajouté dans le tableau par rapport à l étape précédente.

Résoudre (x 2)( 3 x 4) 0 :

On vérifie qu on a 0 dans un membre et que l autre membre est factorisé. Ici c est bien le cas.

On commence à construire le tableau :

Dans la première colonne, on met x ; x 2 ; 3 x 4 et, sur la dernière ligne, le produit ( x 2)( 3 x 4) x

x 2 3x 4 (x 2)( 3 x 4)

On cherche les nombres que l on va mettre sur la première ligne :

x 2 0  x 2

3 x 4 0  3x 4  x 4

3 4 3 Sur la première ligne du tableau, on met 2 et 4

3 dans l ordre croissant : 4

3 est plus petit que 2 donc on le mettra en premier.

On continue à construire le tableau : Sur la première ligne, on met ; 4

3 ; 2 et puis on trace des traits verticaux sous 7

3 et sous 2.

x − 4/3 2 x 2

3x 4 (x 2)( 3 x 4)

On complète la ligne de x 2 :

En résolvant x 2 0, on a trouvé 2 donc le zéro sur la ligne de x 2 sera en dessous du 2 : x − 4/3 2

x 2 3x 4 (x 2)( 3 x 4)

On cherche les signes pour cette ligne :

le coefficient directeur de x 2 est le nombre qui "mutliplie le x". Ici c est m 1.

1 est positif donc les signes seront d abord puis (à apprendre par cœur) et on change lorsqu on arrive au zéro :

x − 4/3 2 x 2

3x 4 (x 2)( 3 x 4)

On complète la ligne de 3 x 4 :

En résolvant 3 x 4 0, on a trouvé 4/3 donc le zéro sur la ligne de 3x 4 sera en dessous du 4/3 : x − 4/3 2

x 2

3x 4

(x 2)( 3 x 4)

On cherche les signes pour cette ligne : le coefficient directeur de 3 x 4 est m 3.

3 est négatif donc les signes seront d abord puis (à apprendre par cœur) et on change lorsqu on arrive au zéro :

x − 4/3 2 x 2

3x 4 (x 2)( 3 x 4)

On complète la dernière ligne : On utilise la règle des signes Lorsque x 4

3 (à gauche du tableau), x 2 0 et 3 x 4 0 donc ( x 2)( 3 x 4) 0 ( fois ) On met donc un dans la première case vide

x − 4/3 2 x 2

3x 4 (x 2)( 3 x 4)

On complète de la même façon les deux dernières cases vides ( ) puis ( ) x − 4/3 2

x 2 3x 4 (x 2)( 3 x 4)

On complète avec les zéros sur les traits, car "quelque chose 0 0 quelque chose 0" : x − 4/3 2

x 2 3x 4 (x 2)( 3 x 4)

On revient à l énoncé pour donner l ensemble des solutions de l inéquation : On résout (x 2)( 3 x 4) 0.

0 signifie négatif donc "de signe moins"

On cherche donc les dans la dernière ligne (celle du produit) du tableau (cases repassées en rose ci- dessous) :

x − 4/3 2 x 2

3x 4 (x 2)( 3 x 4)

On lit ensuite les solutions sur la ligne des x (la première ligne du tableau), au dessus des cases roses : x − aaaaaaaa a4/3 2aaaaaaaaaa

x 2 3x 4 (x 2)( 3 x 4)

Les solutions sont donc les nombres avant 4/3 et après 2 : donc ] ;4/3 et 2;+ [ Il reste à savoir dans quel sens on met les crochets à 4/3 et à 2.

Dans l énoncé, on a 0 donc on veut que le produit soit strictement plus petit que 0, et pas égal. Or sous 4/3 et sous 2, on a 0. Il ne faut donc pas prendre 4/3 et 2. On les prendrait si on avait dans l énoncé.

On met "union" ( ) entre les deux intervalles.

L ensemble des solutions de l inéquation (x 2)( 3 x 4) 0 est donc S

 

  4

3 ]2 [.