ETUDE POUR LA MISE EN PLACE DE STRUCTURES NON LINEAIRES

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Preprint submitted on 24 Jul 2020

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ETUDE POUR LA MISE EN PLACE DE STRUCTURES NON LINEAIRES

Stéphane Le Corre

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Stéphane Le Corre. ETUDE POUR LA MISE EN PLACE DE STRUCTURES NON LINEAIRES.

2020. �hal-02906205�

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ETUDE POUR LA MISE EN PLACE DE STRUCTURES NON LINEAIRES

Stéphane Le Corre

Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne, Route Cantonale, 1015 Lausanne

Keywords : Mathématiques générales, Théorie des groupes, Géométrie algébrique

L’objectif de cet article est de définir un nouvel espace géométrique qui étend la notion de vecteur à des objets géométriques que nous nommerons secteur (portion de surface sous forme de

parallélogramme). Nous en extrairons 3 propositions de structures algébriques qui étendent les notions de groupe, corps et espace vectoriel. Ces structures seront associées à des propriétés d’invariance par translation, rotation et zoom. Elles permettront de lever les limitations binaires des structures linéaires, raison pour laquelle nous les qualifierons de non linéaires. Il en ressortira des notions d’élément non réductible à un point (objet étendu), de structure ternaire (extension de la notion binaire du groupe linéaire) et d’association complémentaire qui seront la clé de voûte de cet édifice. Cet espace aura les mêmes liens avec les espaces projectifs que l’espace vectoriel avec les espaces affines. Différents domaines mathématiques (espaces projectifs, groupe modulaire, arithmétique) ou physiques (système dynamique, renormalisation) apparaîtrons à travers ces structures. Mais des caractéristiques partagées par bien d’autres disciplines y transparaissent aussi, laissant l’espoir que cette étude ne sera pas vaine et que ces structures seront pertinentes.

Concrètement, nous allons :

- Définir des objets géométriques et des classes d’équivalence que nous nommerons « secteurs » (à l’instar des vecteurs)

- Définir 2 lois de composition internes sur ces objets (addition et multiplication) - Définir des objets algébriques équivalents à nos secteurs

- Définir 2 lois de composition externes sur ces objets (multiplication et mise en puissance) - Etudier quelques propriétés de cet espace et de ces lois de composition

- Extraire 3 propositions de structures algébriques (Groupe Non Linéaire (GNL), Corps Non Linéaire (CNL), Espace Non Linéaire (ENL))

Espace géométrique sectoriel :

Objets géométriques de base, les secteurs :

On se limite à un espace « minimale » à 2 dimensions (plan). On considère l’ensemble des parallélogrammes que l’on peut définir sur cet espace. Ces portions de plan se définissent par 2 segments (segment bleu et orange sur la figure qui suit) qui orientent le parallélogramme. Le côté orange se nommera la base/référence du secteur :

Fig.1 On appellera ces objets des secteurs libres.

2

On exclura tout élément de côté orange de longueur nulle. Ces éléments ne seront donc pas considérés comme des secteurs. Les secteurs « plats » pour lesquels les côté orange et bleu seront colinéaires seront des éléments de notre espace et le côté bleu pourra être nul.

Classes d’équivalence sur les secteurs :

On va définir des classes d’objets selon la relation d’équivalence suivante.

2 secteurs libres seront considérés comme 2 représentants d’une même classe s’ils peuvent se superposer exactement (avec la même référence) par la combinaison des opérations de :

Translation (pour ne pas dépendre d’une position absolue) Rotation (pour ne pas dépendre d’une direction absolue)

Zoom, i.e. homothétie de centre quelconque et de facteur non nul (pour ne pas dépendre d’une taille absolue)

Fig.2

Dans la figure précédente, tous ces secteurs libres représentent un même secteur : (0) et (1) se déduise l’un l’autre par une translation.

(0) et (2) se déduise l’un l’autre par une rotation (puis une translation).

(2) et (3) se déduise l’un l’autre par une homothétie (zoom) (puis une translation).

Fig.3

Dans la figure précédente, les 2 secteurs libres (4) et (5) sont différents (ils représentent 2 classes d’équivalence différentes) car ils ne peuvent être superposés par les 3 transformations de la classe d’équivalence (translation, rotation, zoom). On voit le résultat de ces tentatives lorsqu’on cherche soit à superposer les côtés orange (6) soit les côtés bleu (7).

Remarque : Les classes d’équivalence se doivent d’être disjointes entre elles (i.e. ne pas avoir d’éléments communs), raison pour laquelle l’homothétie de facteur nul n’est pas autorisée,

(1) (2) (3)

(0)

=> ou

(4) (5) (6) (7)

3

autrement l’application d’une telle transformation donnerait à chaque classe un élément commun, le parallélogramme réduit à un point. On rappelle au passage qu’un tel parallélogramme n’est pas un secteur car son côté orange est nul.

Définition des lois de composition internes sur l’espace sectoriel :

On va définir 2 lois de composition internes (l’addition et la multiplication) sur les classes des objets géométriques précédentes.

Addition des secteurs :

L’addition de 2 secteurs consiste à faire coïncider l’extrémité orange (la référence) du 2^nd secteur avec l’extrémité parallèle au côté orange du 1^er secteur à l’aide des transformations laissant invariant les classes (zoom, translation et rotation).

Par exemple, on peut faire coïncider leur côté orange par zoom, translation et rotation puis

translater le long du côté bleu le 2^nd secteur de manière à faire coïncider le côté orange du 2^nd, sur le côté parallèle au côté orange du 1^er. Le résultat, le secteur résultant, revient ensuite à redéfinir le côté bleu en reliant les extrémités bleu (à la manière de l’addition des vecteurs) :

Fig.4

Dans la figure précédente, (11) s’obtient en positionnant (9) sur (8) et (12) s’obtient en positionnant (8) sur (9). Par la relation d’équivalence vue précédemment, (11) et (12) sont équivalents. On démontre plus loin que l’addition est effectivement commutative.

=

(8) (9) (10) (11)

+ =

= =

(12) (12)(11)

(9) (8)

+

4 Multiplication des secteurs :

La multiplication de 2 secteurs consiste à faire coïncider le côté orange du 2^nd secteur sur le côté bleu du 1^er secteur :

Fig.5

Dans la figure précédente, (16) s’obtient en positionnant (14) sur le côté bleu de (13) et (17) s’obtient en positionnant (13) sur le côté bleu de (14). Par la relation d’équivalence vue précédemment, (16) et (17) sont équivalents. On démontre plus loin que la multiplication est effectivement commutative.

Ensemble algébrique de couples de vecteurs complexes équivalents aux secteurs :

Eléments algébriques de base, les couples de vecteurs complexes :

L’ensemble de ces secteurs peuvent se noter très simplement à partir de la représentation vectorielle des nombres complexes. Comme la représentation précédente le laisse penser, ces secteurs se caractérisent à partir de leurs 2 côtés orange et bleu. On peut représenter ces 2 segments par des vecteurs de l’espace complexe (autrement dit par 2 nombres complexes).

Ainsi si l’on note 𝑧𝑧₁ et 𝑧𝑧₂, 2 nombre complexes, tout secteur se définit comme un couple (𝑧𝑧₁,𝑧𝑧₂). On peut par convention dire que le 1^er membre du couple représente le côté orange et le 2^nd le côté bleu :

=

(13) (14) (15) (16)

.

= =

(17) (17)(16)

=

(13) (14)

.

5 Fig.6

Dans la représentation géométrique, nous avons posé précédemment que le côté orange ne devait pas être nul. Nous ferons la même hypothèse en posant 𝑧𝑧₁≠0.

Classes d’équivalence sur les couples de vecteurs complexes :

La classe d’équivalence que l’on a précédemment définie sur les secteurs correspond à la relation d’équivalence suivante sur les couples de complexes :

(𝑧𝑧₁,𝑧𝑧₂)~(𝑧𝑧3,𝑧𝑧₄) ⟺ 𝑧𝑧₂.𝑧𝑧₃ =𝑧𝑧₁.𝑧𝑧₄ 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑧𝑧₁≠0

Vérifions l’équivalence des classes des secteurs avec les classes de ces couples de complexes. Pour les secteurs, les transformations géométriques d’une même classe d’équivalence permettent de faire correspondre les 2 côtés orange et les 2 côtés bleu de 2 secteurs. Dans cette nouvelle

représentation, il nous faut en conséquence trouver les transformations algébriques pour pouvoir transformer un des 2 couples de manière à obtenir à la fois 𝑧𝑧₁=𝑧𝑧₃ et 𝑧𝑧₂=𝑧𝑧₄.

En raison des caractéristiques de l’espace vectoriel des nombres complexes, les transformations qui s’appliquent aux secteurs (rotation et zoom) trouvent leur équivalence, pour les couples de

complexes, dans la seule multiplication par un même nombre complexe de chacune des composantes du couple (pour que l’ensemble de ce dernier subisse les transformations sans

déformation). Le module du nombre complexe fait office de zoom et la phase fait office de rotation.

La translation est naturellement assurée par le fait que les complexes sont des vecteurs. On définit ainsi toutes ces transformations (rotation et zoom) par l’unique relation (multiplication par z3 non nul de chaque composante du couple) :

(𝑧𝑧₁,𝑧𝑧2)~(𝑧𝑧1𝑧𝑧3,𝑧𝑧2𝑧𝑧3) 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑧𝑧3≠0

On vérifie que cette transformation est cohérente avec la relation d’équivalence : (𝑧𝑧₁,𝑧𝑧₂)~(𝑧𝑧1𝑧𝑧₃,𝑧𝑧₂𝑧𝑧₃) ⟺ 𝑧𝑧₂𝑧𝑧₁𝑧𝑧₃=𝑧𝑧₁𝑧𝑧₂𝑧𝑧₃

Cette transformation ne modifiant pas la classe d’équivalence, elle traduit l’invariance de cet espace par translation, rotation et zoom.

Remarque : Pour les mêmes raisons que pour les secteurs géométriques, le facteur multiplicatif 𝑧𝑧₃ne doit pas être nul autrement les classes d’équivalence ne seraient plus disjointes (et auraient le couple (0,0) comme représentant commun, couple qui n’est pas un élément de notre espace).

On remarque que si l’on fait correspondre tous les secteurs libres sur une même origine (l’origine du plan complexe dans lequel on définit les couples complexes), on a alors une bijection entre ces



(𝑧𝑧₁,𝑧𝑧2) Secteur (parallélogramme orienté)

6

couples (𝑧𝑧₁,𝑧𝑧₂) et les secteurs liés à cette origine. Etant donné que, dans les 2 représentations algébrique et géométrique, les classes d’équivalence identifient de la même manière des éléments c’est-à-dire à une rotation et un zoom près, la bijection est conservée entre les classes des secteurs et les classes de couples complexes.

Définition des lois de composition internes sur l’ensemble des couples de complexes :

On va définir 2 lois de composition internes (l’addition et la multiplication) sur les classes de couples de vecteurs complexes équivalentes aux lois de composition internes des secteurs.

Addition des couples complexes :

On peut traduire l’addition de secteurs sous forme algébrique comme suit (Fig.7) : (𝑧𝑧₁,𝑧𝑧₂) + (𝑧𝑧₃,𝑧𝑧₄) = (𝑧𝑧₁𝑧𝑧₃,𝑧𝑧₂𝑧𝑧₃+𝑧𝑧₁𝑧𝑧₄)

Fig.7 Multiplication des couples complexes :

On peut traduire la multiplication de secteurs sous forme algébrique comme suit (Fig.8) : (𝑧𝑧₁,𝑧𝑧₂). (𝑧𝑧3,𝑧𝑧₄) = (𝑧𝑧1𝑧𝑧₃,𝑧𝑧₄𝑧𝑧₂)

z2

z1

z4

z3

(z³, z⁴) (z¹, z²)

+ =

z1

z2

(z1/z3) z4

(z1/z3) z3

=

z1

z2 + (z1/z3) z4

(z¹ z³, z² z³ + z¹ z⁴)

=

7 Fig.8

Remarque : Les définitions précédentes des classes et des 2 lois internes de ces couples permettent de voir (via la représentation algébrique) les secteurs sous forme d’une fraction de nombres

complexes et ainsi de fournir une notation possible pour ces secteurs : « (𝑧𝑧₁,𝑧𝑧₂)~𝑧𝑧₂⁄𝑧𝑧₁ ». Ce point de vue permet de retrouver les résultats précédents :

𝑧𝑧₂ 𝑧𝑧₁+𝑧𝑧₄

𝑧𝑧₃=𝑧𝑧₂𝑧𝑧₃+𝑧𝑧₁𝑧𝑧₄

𝑧𝑧₁𝑧𝑧₃ ; 𝑧𝑧₂ 𝑧𝑧₁.𝑧𝑧₄

𝑧𝑧₃=𝑧𝑧₂𝑧𝑧₄ 𝑧𝑧₁𝑧𝑧₃

Définition des lois de composition externes sur ces objets géométriques et algébriques :

Cette représentation algébrique par couple de nombres complexes va nous permettre de définir 2 lois de composition externes (la multiplication et la mise en puissance par un nombre) sur ces classes d’objets. On introduira d’abord géométriquement ces lois externes à partir des lois internes (addition et multiplication). On étendra ensuite « naturellement » ces lois grâce à la représentation algébrique des couples complexes. Dans notre étude, l’ensemble des nombres, associé à notre espace, pour ces lois de composition externes sera l’ensemble des nombres complexes.

Multiplication des secteurs par un nombre :

Pour la représentation géométrique :

A partir de la loi de composition interne (l’addition), on remarque que le fait d’ajouter N fois un même secteur consiste à empiler les secteurs les uns sur les autres ce qui correspond finalement à multiplier par N le côté bleu seulement.

z1

z2

z3

z4

(z3, z4) (z1, z2)

.

z1

(z2/z3) z4 z2

=

z1

(z2/z3) z4 = (z3 z1, z2 z4 )

8 Fig.9 Pour la représentation algébrique :

En reprenant l’addition « interne » de couples, on a :

(𝑧𝑧₁,𝑧𝑧2) + (𝑧𝑧3,𝑧𝑧4) = (𝑧𝑧1𝑧𝑧3,𝑧𝑧2𝑧𝑧3+𝑧𝑧1𝑧𝑧4) Soit avec 𝑧𝑧₁=𝑧𝑧₃ et 𝑧𝑧₂=𝑧𝑧₄

(𝑧𝑧₁,𝑧𝑧₂) + (𝑧𝑧1,𝑧𝑧₂) = 2(𝑧𝑧1,𝑧𝑧₂) = (𝑧𝑧1𝑧𝑧₁,𝑧𝑧₂𝑧𝑧₁+𝑧𝑧₁𝑧𝑧₂) = (𝑧𝑧1, 2𝑧𝑧₂) On retrouve le même résultat que pour la représentation géométrique.

En conséquence :

Pour la représentation géométrique, la multiplication par un nombre complexe 𝑧𝑧3 consistera à multiplier le vecteur « côté bleu » par 𝑧𝑧₃.

Pour la représentation algébrique, la multiplication par un nombre complexe 𝑧𝑧₃ consistera à multiplier le 2^ème membre du couple :

𝑧𝑧3(𝑧𝑧₁,𝑧𝑧2) = (𝑧𝑧1,𝑧𝑧3𝑧𝑧2)

Remarque : On notera la cohérence avec l’écriture « 𝑧𝑧₂⁄𝑧𝑧₁ » pour laquelle « 𝑧𝑧₂⁄𝑧𝑧₁+𝑧𝑧₂⁄𝑧𝑧₁= (2𝑧𝑧2)⁄𝑧𝑧₁ » ou encore « 𝑘𝑘(𝑧𝑧₂⁄𝑧𝑧₁) = (𝑘𝑘𝑧𝑧2)⁄𝑧𝑧₁ ».

Mise en puissance des secteurs par un nombre :

Pour la représentation géométrique :

A partir de la loi de composition interne (la multiplication), on remarque que le fait de multiplier N fois un même objet consiste à accoler les secteurs les uns à côté des autres (en appliquant la référence orange sur le côté bleu dans une construction en spirale) ce qui correspond finalement à mettre à la puissance N à la fois le côté orange et le côté bleu (en utilisant l’invariance par zoom), comme cela est montré sur la figure qui suit.

+ =

9 Fig.10 Pour la représentation algébrique :

En reprenant la multiplication de couples, on a :

(𝑧𝑧₁,𝑧𝑧₂). (𝑧𝑧3,𝑧𝑧₄) = (𝑧𝑧1𝑧𝑧₃,𝑧𝑧₄𝑧𝑧₂) Soit avec 𝑧𝑧₁=𝑧𝑧₃ et 𝑧𝑧₂=𝑧𝑧₄

(𝑧𝑧₁,𝑧𝑧₂). (𝑧𝑧1,𝑧𝑧₂) = (𝑧𝑧1,𝑧𝑧₂)²= (𝑧𝑧₁𝑧𝑧₁,𝑧𝑧₂𝑧𝑧₂) = (𝑧𝑧12,𝑧𝑧₂²) On retrouve le même résultat que pour la représentation géométrique.

En conséquence :

Pour la représentation géométrique, la mise en puissance par un nombre complexe 𝑧𝑧₃ consistera à mettre à la puissance 𝑧𝑧₃ à la fois le nombre complexe représentant le « côté bleu » et le nombre complexe représentant le « côté orange ».

Pour la représentation algébrique, la mise en puissance par un nombre complexe 𝑧𝑧3 consistera à mettre à la puissance 𝑧𝑧₃ à la fois les 2 membres du couple :

(𝑧𝑧₁,𝑧𝑧₂)^𝑧𝑧3= (𝑧𝑧₁^𝑧𝑧3,𝑧𝑧₂^𝑧𝑧3)

Remarque : On notera la cohérence avec l’écriture « 𝑧𝑧₂⁄𝑧𝑧₁ » pour laquelle « (𝑧𝑧₂⁄𝑧𝑧₁)(𝑧𝑧₂⁄𝑧𝑧₁) = 𝑧𝑧₂²/𝑧𝑧₁² » ou encore « (𝑧𝑧₂⁄𝑧𝑧₁)^𝑘𝑘 =𝑧𝑧₂^𝑘𝑘/𝑧𝑧₁^𝑘𝑘 ».

Propriétés d’une structure sectorielle :

A ce stade, nous avons donc mis au point un espace sectoriel dans lequel nous avons défini chaque élément constituant, les secteurs libres, d’une manière géométrique (parallélogramme vu comme des bivecteurs du plan complexe) et d’une manière algébrique (couple de nombre complexe du type

. . =

L1=2 L1=2 L1=2 L1=2

L1=2³ [/4]

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« 𝑥𝑥 𝑦𝑦⁄ »). Dans ces 2 représentations nous avons défini 2 lois de composition internes (l’addition et la multiplication) et 2 lois de composition externes (la multiplication et la mise en puissance).

Nous allons maintenant étudier les propriétés structurantes de ces lois de composition. Afin de nous simplifier cette étude pour la représentation géométrique, nous allons introduire la notion de secteur lié.

Structure sectorielle :

Secteurs liés (sur une même origine et un même côté de référence) :

Pour comparer efficacement 2 secteurs, il est intéressant de leur faire partager des éléments communs (origine, orientation et taille). Et de manière encore plus générale, il est intéressant que tous les secteurs soient comparables par rapport à ces mêmes éléments communs. Concrètement, il faut trouver une procédure pour trouver les représentants uniques de chaque classe qui partagent ces éléments communs (origine, orientation et taille).

A l’instar du passage des vecteurs libres aux vecteurs liés à une même origine de référence (fixant une position de base commune à tous), nous allons passer des secteurs libres aux secteurs liés à une même origine de référence (fixant une position de base commune à tous) et à un même côté de référence (fixant une orientation et une taille de base communes à tous).

D’après la relation d’équivalence des secteurs, deux secteurs qui ne se différencient que par une translation représentent la même classe. Choisissons alors de prendre le point à l’intersection du côté orange et du côté bleu comme référence et translatons tous les secteurs sur un même point arbitraire. Les secteurs qui étaient équivalents à une translation prêt ne forment plus qu’un unique secteur (chacun se superposant sur ce représentant).

Agissons de la sorte pour les 2 autres transformations laissant invariants les secteurs d’une même classe (rotation et zoom). D’après la relation d’équivalence des secteurs, deux secteurs qui ne se différencient que par une rotation représentent la même classe. Choisissons alors de prendre en plus le côté orange comme direction de référence et faisons tourner tous les secteurs pour que leur côté orange s’oriente tous de la même manière. Les secteurs qui étaient équivalents à une rotation prêt ne forment plus qu’un unique secteur (chacun se superposant sur ce représentant).

Enfin d’après la relation d’équivalence des secteurs, deux secteurs qui ne se différencient que par une homothétie (de facteur non nul) représentent la même classe. Choisissons alors de prendre en plus un côté orange de longueur unité comme référence et appliquons une homothétie à tous les secteurs pour que leur côté orange se superpose exactement. Les secteurs qui étaient équivalents à une homothétie prêt ne forment plus qu’un unique secteur (chacun se superposant sur ce

représentant).

Ainsi, par cette procédure (choix d’une origine et d’un côté de référence) nous définissons des représentants uniques de chaque classe d’équivalence. Nous nous placerons dorénavant dans cet espace de « secteurs liés » à une origine et à un côté unité (qui sera le côté orange).

Cette étape va nous simplifier l’étude des opérations géométriques de l’espace sectoriel car maintenant nous pouvons nous placer dans un espace vectoriel à 2 dimensions dans lequel nous choisissons une base orthonormée. Nous placerons tous les représentants uniques précédents sur l’origine avec le côté orange sur le vecteur de la 1^ère composante de la base. Tous les secteurs se différencieront par leur côté bleu uniquement (qui sera d’ailleurs un vecteur de cet espace vectoriel).

Inversement à tout vecteur V de l’espace vectoriel correspondra un unique secteur, de côté bleu le vecteur V et de côté orange le 1^er vecteur de la base de l’espace vectoriel. On a ainsi une bijection

11

entre l’espace vectoriel des nombres complexes et les éléments de l’espace sectoriel. C’est cet espace qui sera dorénavant appelé espace sectoriel.

En représentation couple, cela reviendrait à définir le couple (1,𝑧𝑧) comme représentant de chaque classe avec 𝑧𝑧 un nombre complexe. Mais la manipulation algébrique des couples étant aussi aisée avec le représentant unique qu’avec un représentant générique (𝑧𝑧₁,𝑧𝑧₂), nous continuerons d’utiliser le couple générique dans la représentation algébrique des secteurs.

Propriétés des lois de composition internes des secteurs :

Nous allons maintenant établir les propriétés des différentes lois de composition définies auparavant. Nous les démontrerons dans les 2 représentations, secteurs de l’espace sectoriel et couples de nombres complexes. Nous noterons « 𝑆𝑆1 », « 𝑆𝑆2 »… les secteurs et « (𝑧𝑧₁,𝑧𝑧₂) » les couples de complexes.

Addition sectorielle : Commutativité :

Pour l’espace sectoriel :

L’addition consiste à translater l’un des secteurs depuis l’origine pour faire correspondre le côté orange sur l’extrémité de l’autre. Avec la définition des secteurs liés précédents (même origine et même côte orange de référence), cette opération se réduit à l’addition vectoriel sur les côtés bleu des secteurs. L’addition vectoriel étant commutative, l’addition sectorielle l’est aussi :

𝑆𝑆1 +𝑆𝑆2 =𝑆𝑆2 +𝑆𝑆1

Fig.11

=

𝑆𝑆1 𝑆𝑆2 𝑆𝑆1 +𝑆𝑆2

+

=

𝑆𝑆2 +𝑆𝑆1 𝑆𝑆1

𝑆𝑆2

+

12

Pour la représentation algébrique des couples de nombres complexes : (𝑧𝑧₁,𝑧𝑧₂) + (𝑧𝑧3,𝑧𝑧₄) = (𝑧𝑧1𝑧𝑧₃,𝑧𝑧₂𝑧𝑧₃+𝑧𝑧₁𝑧𝑧₄) (𝑧𝑧₃,𝑧𝑧₄) + (𝑧𝑧₁,𝑧𝑧₂) = (𝑧𝑧₃𝑧𝑧₁,𝑧𝑧₄𝑧𝑧₁+𝑧𝑧₃𝑧𝑧₂)

L’addition et la multiplication des nombres complexes (qui compose chaque composante du couple) étant commutatives, nous avons :

(𝑧𝑧₁,𝑧𝑧₂) + (𝑧𝑧3,𝑧𝑧₄) = (𝑧𝑧3,𝑧𝑧₄) + (𝑧𝑧1,𝑧𝑧₂) Associativité :

Pour l’espace sectoriel :

Puisque l’addition des secteurs liés se réduit à l’addition vectoriel sur les côtés bleu des secteurs, l’addition vectoriel étant associative, l’addition sectorielle l’est aussi :

(𝑆𝑆1 +𝑆𝑆2) +𝑆𝑆3 =𝑆𝑆1 + (𝑆𝑆2 +𝑆𝑆3) Pour la représentation algébrique des couples de nombres complexes :

�(𝑧𝑧₁,𝑧𝑧₂) + (𝑧𝑧₃,𝑧𝑧₄)�+ (𝑧𝑧₅,𝑧𝑧₆) = (𝑧𝑧₁𝑧𝑧₃,𝑧𝑧₂𝑧𝑧₃+𝑧𝑧₁𝑧𝑧₄) + (𝑧𝑧₅,𝑧𝑧₆)

=�(𝑧𝑧₁𝑧𝑧₃)𝑧𝑧₅, (𝑧𝑧₂𝑧𝑧₃+𝑧𝑧₁𝑧𝑧₄)𝑧𝑧₅+ (𝑧𝑧₁𝑧𝑧₃)𝑧𝑧₆� (𝑧𝑧₁,𝑧𝑧2) +�(𝑧𝑧₃,𝑧𝑧4) + (𝑧𝑧5,𝑧𝑧6)�= (𝑧𝑧1,𝑧𝑧2) + (𝑧𝑧3𝑧𝑧5,𝑧𝑧4𝑧𝑧5+𝑧𝑧3𝑧𝑧6)

=�𝑧𝑧1(𝑧𝑧₃𝑧𝑧5),𝑧𝑧2(𝑧𝑧₃𝑧𝑧5) +𝑧𝑧1(𝑧𝑧₄𝑧𝑧5+𝑧𝑧3𝑧𝑧6)�

L’associativité et la distributivité des nombres complexes (qui compose chaque composante du couple) nous donne :

�(𝑧𝑧₁,𝑧𝑧₂) + (𝑧𝑧3,𝑧𝑧₄)�+ (𝑧𝑧₅,𝑧𝑧₆) = (𝑧𝑧1,𝑧𝑧₂) +�(𝑧𝑧₃,𝑧𝑧₄) + (𝑧𝑧5,𝑧𝑧₆)�

Elément neutre : Pour l’espace sectoriel :

Soit le secteur de côté bleu nul que nous nommerons le secteur nul :

Fig.12

Remarque sur la représentation : Théoriquement seul le côté orange devrait se voir, mais pour rendre les opérations plus explicites, nous décalons légèrement le côté opposé (noir) dans cette représentation visuelle (les traits sur les côtés verticaux sont réduits à des points mais nous n’avons représenté que le côté bleu nécessaire aux opérations).

Il représente l’élément neutre de l’addition sectorielle car cette opération se réduit à l’addition vectorielle sur le côté bleu et ce dernier est nul dans le cas du secteur nul.

(19) Secteur nul = « 0 »

13 Fig.13 Comme il est d’usage, on le notera 0 :

0 +𝑆𝑆1 =𝑆𝑆1 + 0 =𝑆𝑆1

Pour la représentation algébrique des couples de nombres complexes, cet élément se note (𝑧𝑧, 0)~(1,0) et l’on vérifie :

(𝑧𝑧₁,𝑧𝑧2) + (𝑧𝑧, 0) = (𝑧𝑧1𝑧𝑧,𝑧𝑧2𝑧𝑧+𝑧𝑧10) = (𝑧𝑧1𝑧𝑧,𝑧𝑧2𝑧𝑧)~(𝑧𝑧1,𝑧𝑧2) (𝑧𝑧, 0) + (𝑧𝑧₁,𝑧𝑧₂) = (𝑧𝑧𝑧𝑧1, 0𝑧𝑧₁+𝑧𝑧𝑧𝑧₂) = (𝑧𝑧𝑧𝑧1,𝑧𝑧𝑧𝑧₂)~(𝑧𝑧1,𝑧𝑧₂) Opposé :

Pour l’espace sectoriel :

L’addition sectorielle se réduisant à une addition vectorielle sur les côtés bleu, on en déduit que l’élément opposé est le secteur défini par le vecteur opposé du côté bleu (avec toujours le côté orange sur le 1^er vecteur unité de base). Comme il est d’usage, on le notera « −𝑆𝑆1 » :

Fig.14

Pour la représentation algébrique des couples de nombres complexes, l’opposé de (𝑧𝑧₁,𝑧𝑧2) est l’élément (𝑧𝑧₁,−𝑧𝑧2) et l’on vérifie :

(𝑧𝑧₁,𝑧𝑧₂) + (𝑧𝑧1,−𝑧𝑧₂) = (𝑧𝑧1𝑧𝑧₁,𝑧𝑧₂𝑧𝑧₁− 𝑧𝑧₁𝑧𝑧₂)~(𝑧𝑧1,𝑧𝑧₂− 𝑧𝑧₂) = (𝑧𝑧1, 0)~(1,0) Et inversement.

D’après la multiplication par un nombre, cet élément peut s’écrire aussi :

+ = =

+

𝑆𝑆1

−𝑆𝑆1

𝑆𝑆1 + (−𝑆𝑆1) = (−𝑆𝑆1) +𝑆𝑆1 = 0

14

(𝑧𝑧₁,−𝑧𝑧₂) =−(𝑧𝑧₁,𝑧𝑧₂) Multiplication sectorielle :

Commutativité :

Pour l’espace sectoriel :

La multiplication consiste à accoler le côté orange d’un secteur sur le côté bleu de l’autre secteur.

Cela se réalise en le tournant puis en lui faisant subir une homothétie pour que son côté orange corresponde exactement au côté bleu de l’autre. Le secteur résultat (S3 sur la figure qui suit) est alors formé du côté orange unité initial du secteur qui n’a pas été transformé et du nouveau côté bleu (tourné et zoomé) de l’autre secteur transformé.

Fig.15

On remarque que le secteur s’identifie de manière générale par 2 composantes : l’angle (entre le côté orange et le côté bleu) et la longueur du côté bleu. Dans notre espace 2D, ces 2 composantes sont des réels. La multiplication se décompose alors en 2 « sous-opérations » sur les composantes du secteur, une addition de l’angle (côté orange-côté bleu) de chaque secteur et une multiplication de la longueur du côté bleu de chaque secteur (car le côté orange étant de longueur unité, son report sur le côté bleu implique un zoom d’un facteur égal à la longueur du côté bleu de l’autre secteur).

Ces remarques nous permettent de montrer la commutativité de la multiplication sectorielle. En effet, l’addition des angles (des réels) étant commutative, elle sera donc identique en interchangeant les 2 secteurs. Cela signifie aussi que dans les 2 cas (𝑆𝑆1.𝑆𝑆2 ou 𝑆𝑆2.𝑆𝑆1) le côté bleu aura la même direction et le même sens. Il reste alors plus qu’à vérifier que, dans les 2 cas, leur longueur reste la même. Cette longueur sera L1.L2 dans un cas et L2.L1 dans l’autre. Or la multiplication de ces 2 longueurs (réelles) est commutative, L1.L2=L2.L1, ce qui démontre l’égalité des longueurs des côtés bleu dans les 2 cas de multiplication. On en conclut que la multiplication des secteurs est

commutative.

𝑆𝑆1.𝑆𝑆2 =𝑆𝑆2.𝑆𝑆1

Pour la représentation algébrique des couples de nombres complexes : (𝑧𝑧₁,𝑧𝑧₂). (𝑧𝑧₃,𝑧𝑧₄) = (𝑧𝑧₁𝑧𝑧₃,𝑧𝑧₄𝑧𝑧₂) (𝑧𝑧₃,𝑧𝑧₄). (𝑧𝑧₁,𝑧𝑧₂) = (𝑧𝑧₃𝑧𝑧₁,𝑧𝑧₂𝑧𝑧₄)

La multiplication des nombres complexes (qui compose chaque composante du couple) étant commutative, nous avons :

(𝑧𝑧₁,𝑧𝑧₂). (𝑧𝑧3,𝑧𝑧₄) = (𝑧𝑧3,𝑧𝑧₄). (𝑧𝑧1,𝑧𝑧₂)

L1 α1 α2

α2 α1

L1 L2

.

𝑆𝑆1 𝑆𝑆2

𝑆𝑆2 𝑆𝑆1

𝑆𝑆3

15 Associativité :

Pour l’espace sectoriel :

Comme pour la commutativité, la multiplication se traduisant par l’addition des angles et la

multiplication des longueurs, l’associativité est assurée par l’associativité de l’addition (des angles) et l’associativité de la multiplication (des longueurs).

(𝑆𝑆1.𝑆𝑆2).𝑆𝑆3 =𝑆𝑆1. (𝑆𝑆2.𝑆𝑆3) Pour la représentation algébrique des couples de nombres complexes :

�(𝑧𝑧₁,𝑧𝑧₂). (𝑧𝑧₃,𝑧𝑧₄)�. (𝑧𝑧₅,𝑧𝑧₆) = (𝑧𝑧₁𝑧𝑧₃,𝑧𝑧₄𝑧𝑧₂). (𝑧𝑧₅,𝑧𝑧₆) =�(𝑧𝑧₁𝑧𝑧₃)𝑧𝑧₅,𝑧𝑧₆(𝑧𝑧₄𝑧𝑧₂)�

(𝑧𝑧₁,𝑧𝑧₂).�(𝑧𝑧₃,𝑧𝑧₄). (𝑧𝑧₅,𝑧𝑧₆)�= (𝑧𝑧₁,𝑧𝑧₂). (𝑧𝑧₃𝑧𝑧₅,𝑧𝑧₆𝑧𝑧₄) = (𝑧𝑧₁(𝑧𝑧₃𝑧𝑧₅), (𝑧𝑧₆𝑧𝑧₄)𝑧𝑧₂)

L’associativité des nombres complexes (qui compose chaque composante du couple) nous donne :

�(𝑧𝑧₁,𝑧𝑧₂). (𝑧𝑧3,𝑧𝑧₄)�. (𝑧𝑧₅,𝑧𝑧₆) = (𝑧𝑧1,𝑧𝑧₂).�(𝑧𝑧₃,𝑧𝑧₄). (𝑧𝑧5,𝑧𝑧₆)�

Elément neutre : Pour l’espace sectoriel :

Soit le secteur de côté bleu égal au côté orange que nous nommerons le secteur unité plat ou plus simplement secteur unité :

Fig.16

Remarque sur la représentation : Théoriquement, les côtés orange et bleu se superposent mais pour des raisons de clarté, nous décalons légèrement les 2 côtés dans cette représentation visuelle (nous n’avons pas mis de trait sur les côtés verticaux car ils n’existent pas).

Il représente l’élément neutre de la multiplication sectorielle car cette opération aboutit alors à superposer identiquement l’un ou l’autre des côtés (selon le sens de la multiplication).

(20)

Secteur unité plat = « 1 »

.

16 Fig.17 Comme il est d’usage, on le notera 1 :

1.𝑆𝑆1 =𝑆𝑆1.1 =𝑆𝑆1

Pour la représentation algébrique des couples de nombres complexes, cet élément se note (𝑧𝑧,𝑧𝑧)~(1,1) et l’on vérifie :

(𝑧𝑧₁,𝑧𝑧2). (𝑧𝑧,𝑧𝑧) = (𝑧𝑧1𝑧𝑧,𝑧𝑧𝑧𝑧2)~(𝑧𝑧1,𝑧𝑧2) (𝑧𝑧,𝑧𝑧). (𝑧𝑧1,𝑧𝑧₂) = (𝑧𝑧𝑧𝑧1,𝑧𝑧₂𝑧𝑧)~(𝑧𝑧1,𝑧𝑧₂) Inverse :

Pour l’espace sectoriel :

La multiplication se traduisant par l’addition des angles et la multiplication des longueurs, le secteur inverse est défini par l’opposé de l’angle et l’inverse de la longueur. Comme il est d’usage, on le notera « S1^-1 » :

Fig.18

Pour la représentation algébrique des couples de nombres complexes, l’inverse de (𝑧𝑧₁,𝑧𝑧₂) est le couple (𝑧𝑧₁⁻¹,𝑧𝑧₂⁻¹) et l’on vérifie :

(𝑧𝑧₁,𝑧𝑧₂). (𝑧𝑧1−1,𝑧𝑧₂⁻¹) = (𝑧𝑧1𝑧𝑧₁⁻¹,𝑧𝑧₂⁻¹𝑧𝑧₂) = (1,1) Et inversement.

D’après la mise en puissance par un nombre, cet élément peut s’écrire aussi : (𝑧𝑧₁⁻¹,𝑧𝑧₂⁻¹) = (𝑧𝑧1,𝑧𝑧₂)⁻¹

Remarques :

Comme d’habitude pour les groupes multiplicatif, l’élément inverse de l’élément nul (𝑧𝑧₁, 0) n’existe pas. Rappelons que par définition, on a toujours 𝑧𝑧₁≠0 dans notre ensemble. Mais regardons justement, le cas spécial de la multiplication par cet élément nul. Dans le cas des couples algébriques nous n’avons pas de problème, il en est même un élément absorbant :

(𝑧𝑧₁, 0). (𝑧𝑧3,𝑧𝑧4) = (𝑧𝑧1𝑧𝑧3, 0) = 0

= =

.

𝑆𝑆1

𝑆𝑆1⁻¹

𝑆𝑆1.𝑆𝑆1⁻¹=𝑆𝑆1⁻¹.𝑆𝑆1 = 1 α

L^-1 -α L

17

(𝑧𝑧₃,𝑧𝑧₄). (𝑧𝑧1, 0) = (𝑧𝑧₃𝑧𝑧₁, 0) = 0

Dans le cas géométrique, la multiplication à droite par le secteur nul ne pose pas non plus de problème, il en est aussi un élément absorbant :

Fig.19

Par contre la multiplication à gauche par le secteur nul, dans le cas géométrique, ne peut s’exprimer explicitement car on devrait transitoirement réduire le second membre par une homothétie de facteur nul ce que l’on a exclu dans la définition des classes d’équivalence. Mais nous pouvons donner au moins 5 moyens pour justifier/étendre le résultat de cette opération :

1) Comme cas limite (en donnant pour le secteur nul une longueur ε<1 au côté bleu et une longueur L/(1-ε) au côté orange, L étant la longueur de la référence lorsque le côté bleu est nul, puis en faisant tendre ε vers 0), cette opération reste cohérente :

Fig.20

2) Extension de la commutativité : Afin de maintenir la commutativité de la multiplication sectorielle, on peut poser sans contradiction que la multiplication à gauche par le secteur nul donne le secteur nul

3) La bijection des secteurs avec les couples algébriques permet aussi de justifier le résultat de la multiplication à gauche par le secteur nul sans contradiction

4) Extension de l’élément absorbant : Le fait aussi que ce secteur soit élément absorbant pour tous les autres cas de multiplication permet d’étendre ce résultat à la multiplication à gauche par le secteur nul sans contradiction.

5) A partir de la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition (que nous justifions tout de suite après), on a d’une part 𝑆𝑆1.𝑆𝑆2− 𝑆𝑆1.𝑆𝑆2 = (𝑆𝑆1− 𝑆𝑆1).𝑆𝑆2 et d’autre part 𝑆𝑆1.𝑆𝑆2− 𝑆𝑆1.𝑆𝑆2 = 0 d’où l’on déduit que (𝑆𝑆1− 𝑆𝑆1).𝑆𝑆2 = 0 ce qui nous donne 0.𝑆𝑆2 = 0. Attention, « 0 » représente ici le secteur nul et non le nombre complexe nul (relation concernant alors la multiplication externe qui sera démontrée un peu plus bas).

.

L/(1-ε)

= ε

.

lim →

𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆→0( )

=

𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆→0lim ( )

.