En route vers une succession de structures algébriques associées à l’espace sectoriel Faisons une 1ère synthèse des propriétés de notre espace sectoriel et de son ensemble associé en vue d’en extraire des structures abstraites qui iront au-delà des structures « linéaires » d’espace
vectoriel/module et de corps/anneau, raison pour laquelle nous les qualifierons de non-linéaires. A ce stade, 2 structures (au-delà de l’espace vectoriel et de corps que l’on nommera donc espace non linéaire et corps non linéaire) émergent de ce qui précède mais cette 1ère synthèse va nous conduire à envisager une nouvelle structure de groupe.
Espace sectoriel ou espace non linéaire (ENL) :
L’espace sectoriel forme un ensemble A muni de deux lois de composition internes l’addition sectorielle notée « + » et la multiplication sectorielle notée « . » :
Les lois de composition internes « + » et « . » forment un corps commutatif sur A.
L’espace sectoriel est associé à un ensemble B muni de trois lois de composition internes « + », « . » et « ^ » (élévation à la puissance) :
Les lois de composition internes « + » et « . » forment un corps commutatif sur B. La loi de composition interne « ^ » (élévation à la puissance) vérifie :
𝑧𝑧10= 1
𝑧𝑧11=𝑧𝑧1 𝑧𝑧𝑧𝑧1+𝑧𝑧2 =𝑧𝑧𝑧𝑧1𝑧𝑧𝑧𝑧2
𝑧𝑧1𝑧𝑧2𝑧𝑧3 = (𝑧𝑧1𝑧𝑧2)𝑧𝑧3
(𝑧𝑧1𝑧𝑧2)𝑧𝑧 =𝑧𝑧1𝑧𝑧𝑧𝑧2𝑧𝑧
On a muni cet espace de deux lois de composition externes « . » et « ^ » (élévation à la puissance) qui vérifient : 0.𝑆𝑆1 = 0 1.𝑆𝑆1 =𝑆𝑆1 (𝑧𝑧1𝑧𝑧2)𝑆𝑆1 =𝑧𝑧1(𝑧𝑧2𝑆𝑆1) (𝑧𝑧1+𝑧𝑧2)𝑆𝑆1 =𝑧𝑧1𝑆𝑆1 +𝑧𝑧2𝑆𝑆1 𝑆𝑆11=𝑆𝑆1 𝑆𝑆10= 1 𝑆𝑆1𝑧𝑧1𝑧𝑧2 = (𝑆𝑆1𝑧𝑧1)𝑧𝑧2 𝑆𝑆1𝑧𝑧1+𝑧𝑧2 =𝑆𝑆1𝑧𝑧1.𝑆𝑆1𝑧𝑧2 (𝑧𝑧1𝑆𝑆1)𝑧𝑧2=𝑧𝑧1𝑧𝑧2𝑆𝑆1𝑧𝑧2 𝑧𝑧1(𝑆𝑆1 +𝑆𝑆2) =𝑧𝑧1𝑆𝑆1 +𝑧𝑧1𝑆𝑆2 𝑧𝑧1(𝑆𝑆1.𝑆𝑆2) = (𝑧𝑧1𝑆𝑆1).𝑆𝑆2 =𝑆𝑆1. (𝑧𝑧1𝑆𝑆2) (𝑆𝑆1.𝑆𝑆2)𝑧𝑧1=𝑆𝑆1𝑧𝑧1.𝑆𝑆2𝑧𝑧1
28 Corps non linéaire (CNL) :
De ce qui précède, on peut définir une nouvelle structure (l’équivalent non linéaire de la notion de corps) :
Soit un ensemble B muni de trois lois de composition internes « + », « . » et « ^ » (élévation à la puissance) :
Les lois de composition internes « + » et « . » forment un corps commutatif sur B. La loi de composition interne « ^ » (élévation à la puissance) vérifie :
𝑧𝑧10= 1
𝑧𝑧11=𝑧𝑧1 𝑧𝑧𝑧𝑧1+𝑧𝑧2 =𝑧𝑧𝑧𝑧1𝑧𝑧𝑧𝑧2 𝑧𝑧1𝑧𝑧2𝑧𝑧3 = (𝑧𝑧1𝑧𝑧2)𝑧𝑧3
(𝑧𝑧1𝑧𝑧2)𝑧𝑧 =𝑧𝑧1𝑧𝑧𝑧𝑧2𝑧𝑧
Groupe non linéaire (GNL) :
Différentes considérations nous font envisager l’existence d’une structure de type groupe. La raison la plus fondamentale est liée à ce que l’on verra un peu plus loin, l’espace sectoriel est à l’espace projectif ce qu’est l’espace vectoriel à l’espace affine. La liaison entre espace affine et espace vectoriel s’effectue à travers les applications affines dont l’expression générique est « x’=ax+b » or la notion de groupe assure l’existence de telles expressions. La liaison entre espace projectif et espace sectoriel va s’effectuer à travers les applications projectives ou homographies (nous verrons que les secteurs en sont une représentation) dont l’expression générique est
« x’=(ax+b)/(cx+d) ». Afin d’assurer l’existence de ces expressions, on peut s’attendre à la nécessité d’une nouvelle notion de groupe. De plus, cette expression est associée à la forme suivante
« x’(cx+d) =(ax+b) » ou encore « Axx’+Bx’+C=0 ». On peut donc même prévoir que ce nouveau groupe devra permettre d’assurer un sens aux équations de 2nd degré.
Une 2ème raison est qu’il est assez étonnant que la relation (𝑆𝑆1 +𝑆𝑆2)𝑧𝑧1 n’est pas de règles de réécriture explicite. Or, à partir des règles déjà établies, on peut modifier cette expression, ce qui a pour conséquence de réduire cette problématique à (1 +𝑆𝑆1)𝑧𝑧1 avec ‖𝑧𝑧1‖ ∈]0; 1[ qui ne fait plus qu’intervenir un seul secteur variable. En conséquence, une manière d’expliquer cette absence de réécriture pourrait être que l’élément de la forme « 1 +𝑆𝑆1 » pourrait être un élément spécifique structurant (par son irréductibilité). La définition de nouveaux éléments spécifiques implique nécessairement une structure de type groupe.
Une 3ème considération provient du fait que, même si cela ne transparait peut-être pas dans cette étude, nous avons mis en place ces structures en reprenant le schéma « Espace vectoriel-Corps-Groupe » en les faisant évoluer de manière systématique (N loi de composition en linéaire -> (N+1) loi de composition en non linéaire, dimension minimale 1D en linéaire -> dimension minimale 2D en non linéaire, segment/vecteur en linéaire -> parallélogramme/secteur en non linéaire, 1 centre et 2 éléments diamétralement opposés sur cercle en linéaire -> 2 foyers et 4 éléments sur une conique, …). Ainsi, sous cet angle, on peut définir l’espace vectoriel de la sorte :
Soit un ensemble A muni d’une loi de composition interne « + ». La loi de composition interne sur A forme un groupe.
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Soit un ensemble B muni de deux lois de composition internes « + » et « . ». Les deux lois de composition internes sur B forment un corps.
Soit une loi de composition externe « . ». A sur B forme un espace vectoriel (linéaire). Ce qui pour notre espace sectoriel donnerait :
Soit un ensemble A muni de deux lois de composition internes « + » et « . ». Les deux lois de composition internes sur A forment un groupe non linéaire.
Soit un ensemble B muni de trois lois de composition internes « + » et « . » et « ^ » (élévation à la puissance).
Les trois lois de composition internes sur B forment un corps non linéaire. Soit deux lois de composition externes « . » et « ^ » (élévation à la puissance). A sur B forme un espace sectoriel (non linéaire).
Or il ressort de l’étude précédente que nous avons effectivement défini un espace sectoriel et un corps non linéaire. Par cette procédure d’extension du linéaire, il resterait à formaliser le groupe non linéaire.
Enfin une 4ème considération provient du fait que comme on va le voir un peu plus loin, ces structures ont à voir avec des domaines qui n’entre pas dans le giron du domaine linéaire. Ainsi nous verrons que l’espace sectoriel est lié aux espaces projectifs, que dans le secteur on retrouve des éléments du groupe modulaire. Des caractéristiques des systèmes dynamiques et de l’arithmétique apparaitront aussi dans cette structure d’espace sectoriel. Or tous ces domaines montrent la nécessité d’aller au-delà des notions linéaires issues du groupe (éléments ponctuels, relations binaires, … sont des notions incapables d’accéder à des comportements non linéaires tels que transformation du
boulanger, autosimilarité, …). L’obtention de tel éléments fondamentaux nécessitent la mise au point d’une structure de type groupe qui, contrairement aux autres structures, révèle explicitement des éléments caractéristiques du domaine considéré (linéaire ou non). C’est ainsi que la notion de groupe est à la base de tous les outils linéaires. A notre avis, une notion de groupe spécifique au non linéaire qui étend le groupe linéaire est nécessaire.
Proposition de groupe non linéaire
Comme indiqué précédemment, une voie envisageable pour proposer une notion de groupe non linéaire serait de partir de la notion de groupe pour l’étendre. Cette dernière a pour caractéristique d’être associée :
- « Géométriquement » à la notion de cercle/droite avec 1 centre (l’élément neutre) et 2
éléments diamétralement opposé (un élément et son opposée) sur ce cercle.
- « Algébriquement » à la capacité à donner un sens à l’écriture « z+a=0 » puis à « bz+a=0 » Cherchons une structure associée :
- « Géométriquement » à la notion de conique (ellipse, parabole et hyperbole) avec 2 foyers et
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- « Algébriquement » à la capacité à donner un sens à l’écriture « z2+a=0 », « z2+bz+a=0 » puis à « cz2+bz+a=0 »
Ces équations du 2nd degré peuvent s’écrire plus généralement, sur un corps commutatif, sous la forme (𝑍𝑍 − 𝑧𝑧1)(𝑍𝑍 − 𝑧𝑧2) =𝑍𝑍2−(𝑧𝑧1+𝑧𝑧2)𝑍𝑍+ (𝑧𝑧1𝑧𝑧2) = 0 avec 𝑧𝑧1 et 𝑧𝑧2 les éléments dont on doit assurer l’existence pour donner un sens à cette écriture. Il faut donc nous assurer que :
∀(𝑎𝑎,𝑏𝑏) ∃(𝑧𝑧1,𝑧𝑧2) 𝑒𝑒𝑎𝑎𝑡𝑡𝑞𝑞𝑞𝑞𝑎𝑎 �−𝑏𝑏𝑎𝑎==𝑧𝑧𝑧𝑧1+𝑧𝑧2 1𝑧𝑧2
Nous avons précédemment vu que notre espace formait un groupe pour l’addition, du coup nous simplifierons l’écriture en remplaçant « −𝑏𝑏 » par « 𝑏𝑏 ». L’idée est maintenant de restreindre cette expression aux seuls éléments structurants, c’est-à-dire de ne pas prendre en compte tous les couples (𝑎𝑎,𝑏𝑏). Structurellement, nous avons seulement 2 éléments connus l’élément neutre de l’addition « 0 » et celui de la multiplication « 1 ». Nous avons alors 4 expressions possibles (nous avons noté l’élément 𝑎𝑎 ou 𝑏𝑏 par 𝑧𝑧) :
∀𝑧𝑧∃(𝑧𝑧1,𝑧𝑧2) 𝑒𝑒𝑎𝑎𝑡𝑡𝑞𝑞𝑞𝑞𝑎𝑎 �1 =𝑧𝑧=𝑧𝑧1𝑧𝑧+𝑧𝑧2 1𝑧𝑧2 ∀𝑧𝑧∃(𝑧𝑧1,𝑧𝑧2) 𝑒𝑒𝑎𝑎𝑡𝑡𝑞𝑞𝑞𝑞𝑎𝑎 �0 =𝑧𝑧=𝑧𝑧1𝑧𝑧+𝑧𝑧2 1𝑧𝑧2 ∀𝑧𝑧∃(𝑧𝑧1,𝑧𝑧2) 𝑒𝑒𝑎𝑎𝑡𝑡𝑞𝑞𝑞𝑞𝑎𝑎 �𝑧𝑧1 ==𝑧𝑧1𝑧𝑧+𝑧𝑧2 1𝑧𝑧2 ∀𝑧𝑧∃(𝑧𝑧1,𝑧𝑧2) 𝑒𝑒𝑎𝑎𝑡𝑡𝑞𝑞𝑞𝑞𝑎𝑎 �𝑧𝑧0 ==𝑧𝑧1𝑧𝑧+𝑧𝑧2 1𝑧𝑧2
Les 2 premières formulations permettent de donner du sens à l’ensemble des équations de degré 2. La 1ère formulation est centrée sur le foyer « 1 » alors que la 2nde formulation est centrée sur le foyer « 0 ». Et nous remarquerons que les éléments caractéristiques qu’elles mettent en exergue (i.e. complémentaire et racine carrée) sont liés.
1ère formulation de groupe non linéaire
Démontrons que la 1ère formulation permet d’assurer un sens à toutes les équations du 2nd degré : 1) Cette relation implique directement que les équations suivantes ont toujours un sens et plus précisément qu’elles ont 2 solutions 𝑍𝑍=𝑧𝑧1 et 𝑍𝑍=𝑧𝑧2 :
∀𝑎𝑎∃(𝑧𝑧1,𝑧𝑧2) 𝑒𝑒𝑎𝑎𝑡𝑡𝑞𝑞𝑞𝑞𝑎𝑎 �1 =𝑎𝑎=𝑧𝑧1𝑧𝑧+𝑧𝑧2
1𝑧𝑧2 ⟺ 𝑍𝑍2− 𝑍𝑍+𝑎𝑎= 0 Pour obtenir les solutions de
𝑍𝑍2+𝑏𝑏𝑍𝑍+𝑎𝑎= 0 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑏𝑏 ≠0 Il suffit de connaître les solutions de
𝑍𝑍2− 𝑍𝑍+𝑏𝑏𝑎𝑎2= 0 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑏𝑏 ≠0 Ce qui est assuré par l’expression du groupe non linéaire :
∀𝐴𝐴∃(𝑧𝑧1,𝑧𝑧2) 𝑒𝑒𝑎𝑎𝑡𝑡𝑞𝑞𝑞𝑞𝑎𝑎 �𝐴𝐴1 == 𝑎𝑎𝑧𝑧1+𝑧𝑧2 𝑏𝑏2=𝑧𝑧1𝑧𝑧2
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Et puisque le groupe non linéaire est un groupe pour l’addition et la multiplication on peut écrire tout élément 𝐴𝐴 sous la forme 𝐴𝐴=−𝑏𝑏𝑎𝑎2.
On peut alors écrire (en multipliant 1 fois par « −𝑏𝑏 » la 1ère relation et 2 fois par « −𝑏𝑏 » la 2nde) :
∀(𝑎𝑎,𝑏𝑏) ∃(𝑧𝑧1,𝑧𝑧2) 𝑒𝑒𝑎𝑎𝑡𝑡𝑞𝑞𝑞𝑞𝑎𝑎 �−𝑏𝑏= (−𝑏𝑏𝑧𝑧1) + (−𝑏𝑏𝑧𝑧2) 𝑎𝑎 = (−𝑏𝑏𝑧𝑧1)(−𝑏𝑏𝑧𝑧2) Soit : 𝑍𝑍2+𝑏𝑏𝑍𝑍+𝑎𝑎= (𝑍𝑍+𝑏𝑏𝑧𝑧1)(𝑍𝑍+𝑏𝑏𝑧𝑧2) = 0 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑏𝑏 ≠0 2) Pour le cas : 𝑎𝑎𝑍𝑍2+𝑏𝑏𝑍𝑍+𝑎𝑎= 0 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 ≠0 Ces solutions s’obtiennent simplement en divisant par 𝑎𝑎 :
𝑍𝑍2+𝑏𝑏𝑎𝑎 𝑍𝑍+𝑎𝑎𝑎𝑎= 0 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 ≠0 Avec ce qui précède, on sait que cette relation a un sens (pour 𝑏𝑏 ≠0). 3) Pour le cas :
𝑍𝑍2+𝑎𝑎= 0 On sait que :
∀𝑎𝑎∃𝑧𝑧1𝑎𝑎𝑒𝑒𝑧𝑧2𝑒𝑒𝑎𝑎𝑡𝑡𝑞𝑞𝑞𝑞𝑎𝑎𝑍𝑍′2− 𝑍𝑍′+𝑎𝑎= 0 Si on pose 𝑍𝑍′=𝑍𝑍+𝑑𝑑, on peut alors écrire
∀𝑎𝑎∃(𝑧𝑧1− 𝑑𝑑)𝑎𝑎𝑒𝑒 (𝑧𝑧2− 𝑑𝑑) 𝑒𝑒𝑎𝑎𝑡𝑡𝑞𝑞𝑞𝑞𝑎𝑎 (𝑍𝑍+𝑑𝑑)2−(𝑍𝑍+𝑑𝑑) +𝑎𝑎= 0 Que l’on peut réécrire :
𝑍𝑍2+𝑍𝑍(2𝑑𝑑 −1) +𝑑𝑑(𝑑𝑑 −1) +𝑎𝑎= 0
Il suffit alors de prendre 𝑑𝑑=12 pour annuler le terme en 𝑍𝑍 et de choisir 𝑎𝑎=𝑎𝑎 − 𝑑𝑑(𝑑𝑑 −1) =𝑎𝑎+ 1/4 La valeur de 𝑎𝑎 permet de définir l’équation en 𝑍𝑍′ et ses solutions 𝑧𝑧1 et 𝑧𝑧2. Les solutions de 𝑍𝑍2+𝑎𝑎= 0 sont alors 𝑧𝑧1− 𝑑𝑑 et 𝑧𝑧2− 𝑑𝑑.
2ème formulation de groupe non linéaire
Démontrons que la 2ème formulation permet aussi d’assurer un sens à toutes les équations du 2nd degré :
1) Cette relation implique directement que les équations suivantes ont toujours un sens et plus précisément qu’elles ont 2 solutions 𝑍𝑍=𝑧𝑧1 et 𝑍𝑍=𝑧𝑧2 :
∀𝑎𝑎∃(𝑧𝑧1,𝑧𝑧2) 𝑒𝑒𝑎𝑎𝑡𝑡𝑞𝑞𝑞𝑞𝑎𝑎 �0 =𝑎𝑎=𝑧𝑧1𝑧𝑧+𝑧𝑧2
1𝑧𝑧2 ⇔ 𝑍𝑍2+𝑎𝑎= 0 On peut appliquer une démarche similaire à la précédente
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∀𝑎𝑎∃𝑧𝑧1𝑎𝑎𝑒𝑒𝑧𝑧2𝑒𝑒𝑎𝑎𝑡𝑡𝑞𝑞𝑞𝑞𝑎𝑎𝑍𝑍′2+𝑎𝑎= 0 Si on pose 𝑍𝑍′=𝑍𝑍+𝑑𝑑, on peut alors écrire
∀𝑎𝑎∃(𝑧𝑧1− 𝑑𝑑)𝑎𝑎𝑒𝑒 (𝑧𝑧2− 𝑑𝑑) 𝑒𝑒𝑎𝑎𝑡𝑡𝑞𝑞𝑞𝑞𝑎𝑎 (𝑍𝑍+𝑑𝑑)2+𝑎𝑎= 0 Que l’on peut réécrire :
𝑍𝑍2+ 2𝑑𝑑𝑍𝑍+𝑑𝑑2+𝑎𝑎= 0
Il suffit alors de prendre 𝑑𝑑=−12 pour obtenir l’équation de la 1ère formulation du groupe non linéaire avec le terme en 𝑍𝑍 égal à « -1 » et de choisir 𝑎𝑎=𝑎𝑎 − 𝑑𝑑2=𝑎𝑎 −1/4
La valeur de 𝑎𝑎 permet de définir l’équation en 𝑍𝑍′ et ses solutions 𝑧𝑧1 et 𝑧𝑧2. Les solutions de 𝑍𝑍2− 𝑍𝑍+
𝑎𝑎= 0 sont alors 𝑧𝑧1− 𝑑𝑑 et 𝑧𝑧2− 𝑑𝑑.
Les autres cas s’obtiennent alors de la même manière que pour ceux étudiés dans la 1ère formulation du groupe non linéaire.
Ainsi, ces 2 expressions sont suffisamment structurantes pour fournir un sens à toutes les équations du 2nd degré. Ce qui n’est pas le cas des 2 autres formulations.
La 3ème expression assure un sens à l’équation « 𝑍𝑍2− 𝑏𝑏𝑍𝑍+ 1 = 0 » avec 𝑏𝑏 différent de 0 mais elle ne permet pas de garantir à partir de l’addition et de la multiplication un sens à toutes les équations du 2nd degré (sans l’ajout d’autres caractéristiques). En effet, la multiplication par 𝑏𝑏 comme nous l’avons fait pour le 1er cas intervient dans « 1 =𝑧𝑧1𝑧𝑧2 » ce qui nécessite au préalable de poser l’existence de
𝑏𝑏1/2 pour pouvoir écrire « 1 =�𝑏𝑏1/2𝑧𝑧1��𝑏𝑏1/2𝑧𝑧2� ». Il en est de même à partir de l’addition lorsqu’on essaye de passer par l’intermédiaire de « 𝑍𝑍′=𝑍𝑍+𝑑𝑑 ».
La 4ème expression utilisant l’élément absorbant de la multiplication ne permet pas d’assurer un sens à la plupart des équations souhaitées.
On déduit de ces dernières remarques que les 2 premières expressions apparaissent comme fortement structurantes. On notera que ces expressions peuvent s’exprimer de manière plus compacte ainsi :
Pour la 1ère formulation : ∀𝑧𝑧∃𝑧𝑧1𝑒𝑒𝑎𝑎𝑡𝑡𝑞𝑞𝑞𝑞𝑎𝑎𝑧𝑧=𝑧𝑧1(1− 𝑧𝑧1)
Pour la 2nde formulation : ∀𝑧𝑧∃𝑧𝑧1𝑒𝑒𝑎𝑎𝑡𝑡𝑞𝑞𝑞𝑞𝑎𝑎𝑧𝑧=𝑧𝑧1(0− 𝑧𝑧1) =−𝑧𝑧12
On note au passage la similarité des deux expressions « 𝑧𝑧=𝑧𝑧1(𝑎𝑎 − 𝑧𝑧1) » avec 𝑎𝑎 l’élément neutre de l’une ou l’autre des lois de composition.
Remarque :
D’après la 1ère formulation, l’existence d’un tel groupe corrobore ce que l’on imaginait pour expliquer l’absence de la relation pour (𝑆𝑆1 +𝑆𝑆2)𝑧𝑧1 qui est associé à l’écriture « (1 +𝑆𝑆1)𝑧𝑧1 ». Et la 2nde
formulation pourrait aussi corroborer ce que l’on imaginait pour expliquer l’absence de la relation pour (𝑧𝑧1)𝑧𝑧2𝑧𝑧3. Dans cette 2nde formulation, c’est l’élément du type (𝑧𝑧1)𝑧𝑧2−1 qui serait associé à l’écriture « (𝑧𝑧1)𝑧𝑧2𝑧𝑧3 ».
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Unicité de la décomposition en un élément et son complémentaire :
Montrons l’unicité de la décomposition en « 𝑧𝑧(1− 𝑧𝑧) ». On a :
∀𝑧𝑧∃𝑧𝑧1𝑒𝑒𝑎𝑎𝑡𝑡𝑞𝑞𝑞𝑞𝑎𝑎𝑧𝑧=𝑧𝑧1(1− 𝑧𝑧1)
Faisons l’hypothèse qu’il existe un autre élément qui vérifie la même relation :
∀𝑧𝑧∃𝑧𝑧3≠ 𝑧𝑧1𝑒𝑒𝑎𝑎𝑡𝑡𝑞𝑞𝑞𝑞𝑎𝑎𝑧𝑧=𝑧𝑧3(1− 𝑧𝑧3) On en déduit alors que l’on a :
𝑧𝑧3(1− 𝑧𝑧3) =𝑧𝑧1(1− 𝑧𝑧1) (𝑧𝑧3− 𝑧𝑧32) = (𝑧𝑧1− 𝑧𝑧12) (𝑧𝑧3− 𝑧𝑧1) = (𝑧𝑧32− 𝑧𝑧12) Et finalement : (𝑧𝑧3− 𝑧𝑧1) = (𝑧𝑧3− 𝑧𝑧1)(𝑧𝑧3+𝑧𝑧1) On a alors 2 cas : 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑧𝑧3≠ 𝑧𝑧1𝑎𝑎𝑡𝑡𝑎𝑎𝑟𝑟𝑠𝑠 (𝑧𝑧3+𝑧𝑧1) = 1 𝑠𝑠𝑎𝑎𝑠𝑠𝑒𝑒𝑧𝑧3= 1− 𝑧𝑧1 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑎𝑎𝑠𝑠𝑧𝑧3 =𝑧𝑧1
Dans les 2 cas on retrouve donc les 2 éléments 𝑧𝑧1 et 1− 𝑧𝑧1 ce qui prouve l’unicité de notre expression.
Montrons de même l’unicité de la décomposition en « −𝑧𝑧2 » pour la 2nde formulation. On a :
∀𝑧𝑧∃𝑧𝑧1𝑒𝑒𝑎𝑎𝑡𝑡𝑞𝑞𝑞𝑞𝑎𝑎𝑧𝑧=−𝑧𝑧12
Faisons l’hypothèse qu’il existe un autre élément qui vérifie la même relation :
∀𝑧𝑧∃𝑧𝑧3≠ 𝑧𝑧1𝑒𝑒𝑎𝑎𝑡𝑡𝑞𝑞𝑞𝑞𝑎𝑎𝑧𝑧=−𝑧𝑧32
On en déduit alors que l’on a :
𝑧𝑧32=𝑧𝑧12 (𝑧𝑧32− 𝑧𝑧12) = 0 Et finalement : (𝑧𝑧3− 𝑧𝑧1)(𝑧𝑧3+𝑧𝑧1) = 0 On a alors 2 cas : 𝑧𝑧3=𝑧𝑧1𝑎𝑎𝑞𝑞𝑧𝑧3=−𝑧𝑧1
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Eléments remarquables :
Nous attendions du groupe non linéaire qu’il donne du sens aux équations du 2nd degré. C’est ce qui nous a conduit aux définitions précédentes. Mais nous espérions aussi qu’apparaissent 2 foyers et 4 éléments de la conique. Nous pouvons voir de ce point de vue que la 1ère formulation semble plus proche de ce que l’on attendait. Les 2 foyers apparaissent effectivement, à la fois comme les éléments neutres des 2 lois de composition internes (en l’occurrence 0 pour l’addition et 1 pour la multiplication) mais aussi avec leur liaison explicite dans l’expression « 𝑧𝑧1(1− 𝑧𝑧1) » pour laquelle ces 2 foyers sont 2 « pôles » de cette expression. C’est une des raisons pour laquelle nous privilégierions cette formulation.
Nous espérions aussi obtenir 4 éléments qui caractériserait la conique. Si l’on regarde la notion de groupe linéaire associée à l’élément vecteur qui s’apparente à un segment, on remarque que ce segment fondamental peut-être vu dans un sens ou dans l’autre selon que l’on prenne l’origine d’un côté ou l’autre du segment. Cette liberté de choix a pour conséquence de fournir les 2 types
possibles d’élément fondamentaux du groupe, « 𝑧𝑧 » et « −𝑧𝑧 ». Utilisons le même principe sur notre parallélogramme « secteur » et regardons tous les secteurs qu’il est possible de déterminer selon que l’on prenne comme origine une des quatre extrémités et selon que l’on prenne un côté ou l’autre de cette origine pour définir le côté de référence :
Fig.21
Nous obtenons donc les éléments de type « Z », « -Z » et « Z-1 » et leur combinaison. Mais ce secteur peut aussi définir des secteurs dont le côté bleu ou le côté orange sont sur les diagonales :
A D C B A D C B A D C B A D C B « -Z » « -Z » « Z » « Z » A D C B A D C B A D C B A D C B « -Z-1 » « -Z-1 » « Z-1 » « Z-1 »
35 Fig.22
Ce qui nous donne le 4ème nouvel élément « 1-Z », les autres variantes produisant des secteurs qui s’expriment par combinaison de ces 4 éléments.
Par cette procédure nous retrouvons bien les 4 éléments attendus qui sont ceux que nous avons défini dans notre groupe non linéaire :
L’élément « Z »
Son opposé « -Z » par le groupe pour l’addition, Son inverse « Z-1 » par le groupe pour la multiplication, Son complémentaire « 1-Z » par le groupe non linéaire Remarques :
Avec ce principe, on pourrait même retrouver les éléments spécifiques (neutres et/ou foyers). Pour le secteur (A,B,C,D) qu’on peut noter en bivecteurs ((A,B),(A,D)), il s’agirait des cas
suivants ((A,B),(A,B)) = 1 et ((A,B),(A,A)) = 0.
On peut aussi remarquer que pour les secteurs de côté bleu de longueur unité, l’inverse correspond à une forme de conjugué (en ce sens qu’en association avec l’ensemble des complexes, cet inverse est le complexe conjugué). La multiplication externe permet d’obtenir alors l’ensemble des conjugués (en l’occurrence en multipliant par les nombres réels) à partir des secteurs dont l’extrémité du côté bleu se trouve sur le cercle unité.
A D C B A D C B A D C B A D C B A D C B « 1+Z » « 1-Z » « (1+Z)-1 » « (1-Z)-1 »
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A l’aide de cette représentation géométrique on remarque en quoi les notions de complémentaire et de racine carrée sont liées. En effet, « 1− 𝑧𝑧 » est un élément qui passe par la diagonale du
parallélogramme, son existence est alors intimement liée à l’hypoténuse des triangles qui composent ce secteur et donc à l’existence des racines carrés. On le remarque mieux si l’on prend des secteurs rectangulaires. Et l’application successive de ce terme en fournit une infinité.
Synthèse des définitions des structures non linéaires :
Nous arrivons presque au terme de notre étude par laquelle nous sommes arrivés à définir 3 structures non linéaires. En voici les définitions que nous proposons :
Groupe Non Linéaire (GNL) :
Le groupe non linéaire forme un ensemble A muni de deux lois de composition internes l’addition notée « + » et la multiplication « . » (le point pourra ne pas être représenté) :
Les lois de composition internes « + » et « . » forment un corps commutatif sur A. Tout élément possède un élément complémentaire :
∀𝑧𝑧∃(𝑧𝑧1,𝑧𝑧2) 𝑒𝑒𝑎𝑎𝑡𝑡𝑞𝑞𝑞𝑞𝑎𝑎 �1 =𝑧𝑧=𝑧𝑧1𝑧𝑧+𝑧𝑧2 1𝑧𝑧2
et de manière plus compacte :
∀𝑧𝑧∃𝑧𝑧1𝑒𝑒𝑎𝑎𝑡𝑡𝑞𝑞𝑞𝑞𝑎𝑎𝑧𝑧=𝑧𝑧1(1− 𝑧𝑧1) Ou de façon duale :
∀𝑧𝑧∃(𝑧𝑧1,𝑧𝑧2) 𝑒𝑒𝑎𝑎𝑡𝑡𝑞𝑞𝑞𝑞𝑎𝑎 �0 =𝑧𝑧1+𝑧𝑧2 𝑧𝑧=𝑧𝑧1𝑧𝑧2
et de manière plus compacte :
∀𝑧𝑧∃𝑧𝑧1𝑒𝑒𝑎𝑎𝑡𝑡𝑞𝑞𝑞𝑞𝑎𝑎𝑧𝑧=𝑧𝑧1(0− 𝑧𝑧1) =−𝑧𝑧12
Remarque : Malgré ces 2 facettes possibles du GNL, notre préférence va sur la 1ère expression car elle met en exergue ce nouvel élément « 1− 𝑧𝑧 » et surtout ce mélange, cette composition « 𝑧𝑧(1− 𝑧𝑧) » qui nous apparait comme l’élément crucial de ces nouvelles structures. C’est à notre avis l’entrée principale vers le non-linéaire (comme nous l’expliquons plus loin avec les notions d’objet étendu et de structuration ternaire).
Corps Non Linéaire (CNL) :
Le corps non linéaire forme un ensemble B muni de trois lois de composition internes « + », « . » et « ^ » (élévation à la puissance noté sous forme d’exposant 𝑎𝑎𝑏𝑏) :
Les lois de composition internes « + » et « . » forment un groupe non linéaire sur B. La loi de composition interne « ^ » (élévation à la puissance) vérifie :
𝑧𝑧10= 1
𝑧𝑧11=𝑧𝑧1 𝑧𝑧𝑧𝑧1+𝑧𝑧2 =𝑧𝑧𝑧𝑧1𝑧𝑧𝑧𝑧2 𝑧𝑧1𝑧𝑧2𝑧𝑧3 = (𝑧𝑧1𝑧𝑧2)𝑧𝑧3
37 Espace sectoriel (ENL) :
L’espace sectoriel forme un ensemble A muni de deux lois de composition internes l’addition sectorielle notée « + » et la multiplication sectorielle notée « . » :
Les lois de composition internes « + » et « . » forment un groupe non linéaire sur A.
L’espace sectoriel est associé à un ensemble B muni de trois lois de composition internes « + », « . » et « ^ » (élévation à la puissance) :
Les lois de composition internes « + », « . » et « ^ » (élévation à la puissance) forment un corps non linéaire sur B.
L’espace sectoriel est muni de deux lois de composition externes « . » et « ^ » (élévation à la puissance) qui vérifient :
0.𝑆𝑆1 = 0 1.𝑆𝑆1 =𝑆𝑆1 (𝑧𝑧1𝑧𝑧2)𝑆𝑆1 =𝑧𝑧1(𝑧𝑧2𝑆𝑆1) (𝑧𝑧1+𝑧𝑧2)𝑆𝑆1 =𝑧𝑧1𝑆𝑆1 +𝑧𝑧2𝑆𝑆1 𝑆𝑆11=𝑆𝑆1 𝑆𝑆10= 1 𝑆𝑆1𝑧𝑧1𝑧𝑧2 = (𝑆𝑆1𝑧𝑧1)𝑧𝑧2 𝑆𝑆1𝑧𝑧1+𝑧𝑧2 =𝑆𝑆1𝑧𝑧1.𝑆𝑆1𝑧𝑧2 (𝑧𝑧1𝑆𝑆1)𝑧𝑧2=𝑧𝑧1𝑧𝑧2𝑆𝑆1𝑧𝑧2 𝑧𝑧1(𝑆𝑆1 +𝑆𝑆2) =𝑧𝑧1𝑆𝑆1 +𝑧𝑧1𝑆𝑆2 𝑧𝑧1(𝑆𝑆1.𝑆𝑆2) = (𝑧𝑧1𝑆𝑆1).𝑆𝑆2 =𝑆𝑆1. (𝑧𝑧1𝑆𝑆2) (𝑆𝑆1.𝑆𝑆2)𝑧𝑧1=𝑆𝑆1𝑧𝑧1.𝑆𝑆2𝑧𝑧1 Base et dimension
Une des forces de la notion d’espace vectoriel est sa capacité à s’étendre à des espaces de dimension supérieur à 1 (sa dimension minimale). On peut donc s’interroger sur cette caractéristique pour notre espace sectoriel.
Un 1er élément de réponse est que l’on peut aussi faire évoluer nos secteurs dans des espaces de dimension supérieure. Par exemple en 3D, il suffit de fixer l’origine et un axe qui va correspondre au côté de référence orange. Ensuite le côté bleu peut se mouvoir dans l’espace 3D, pour former des secteurs (qui restent toujours des parallélogrammes 2D).
38 Fig.23
Un 2nd élément de réponse est de regarder du côté de la définition d’une base en linéaire pour laquelle il s’agit de définir l’indépendance linéaire de la manière suivante :
𝑎𝑎𝑋𝑋+𝑏𝑏𝑏𝑏= 0 ⟺ 𝑎𝑎=𝑏𝑏= 0
Dans notre espace sectoriel, on peut étendre cette définition à la notion arithmétique de primalité sous la forme :
𝑋𝑋𝑎𝑎.𝑏𝑏𝑏𝑏= 1 ⟺ 𝑎𝑎=𝑏𝑏= 0
Ainsi dans cet espace sectoriel, nous avons a priori 2 notations possibles, sous forme d’une combinaison linéaire ou bien sous forme d’une décomposition en facteur premier. On retrouve d’ailleurs cette spécificité dans l’espace des nombres complexes, avec « 𝑧𝑧= 1.𝑥𝑥+𝑠𝑠.𝑦𝑦=𝑟𝑟𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 ». Remarque : Cette nouvelle définition de la base génère ainsi un lien entre nos structures non linéaires et l’arithmétique (notion de facteur premier et d’irréductibilité).
Ces 2 bases peuvent se composer des mêmes secteurs comme on le voit juste après (ne formant ainsi qu’une seule base). La formulation avec coefficients multiplicatifs est à associer à l’addition sectorielle. La formulation avec les exposants est à associer à la multiplication sectorielle. Le coefficient multiplicatif « allonge » le secteur de base dans la direction du côté « bleu ». L’exposant « fait tourner » le secteur de base autour de l’origine et dans le plan du secteur de base (excepté pour le secteur plat qui porte le seul coefficient multiplicatif de cette formulation et dont l’exposant n’a pas d’effet lorsqu’il est normé car il représente l’unité).
Base selon la décomposition linéaire (décomposition additive) :
Regardons de plus près, comment l’on peut définir une base dans laquelle tout secteur aurait une détermination unique. A l’image d’une base orthonormée vectorielle à 2 dimensions, pour laquelle 2 droites perpendiculaires passant par l’origine et portées par des vecteurs normés permettent de fournir une décomposition unique de vecteur, on peut définir (pour une base sectorielle en 3 dimensions) 2 plans perpendiculaires passant par le côté orange (tel que les plans XZ et XY de la figure 24) portés par des secteurs carrés (aux côtés normés), 𝑆𝑆𝑏𝑏𝑋𝑋𝑋𝑋 et 𝑆𝑆𝑏𝑏𝑋𝑋𝑋𝑋 comme sur la figure 24. Ces 2 secteurs de base permettent d’obtenir un secteur quelconque dont le côté bleu se trouve n’importe où dans le plan YZ. Il faut donc encore ajouter un dernier secteur qui permette de déplacer (si besoin) ce côté bleu en dehors du plan YZ. Il s’agit du secteur plat 𝑆𝑆𝑏𝑏𝑋𝑋𝑋𝑋 colinéaire au côté orange :
Z
Y
X
39 Fig.24
Dans la Fig.25, on montre comment ces 3 secteurs de base permettent de définir une base orthonormée de notre espace sectoriel dans laquelle tout secteur se décompose de manière unique (avec (𝑥𝑥,𝑦𝑦,𝑧𝑧)∈ ℝ3). Chaque coefficient multiplicatif (𝑥𝑥,𝑦𝑦,𝑧𝑧) allonge le secteur carré de base en 1 secteur rectangulaire :
𝑆𝑆1 =𝑥𝑥𝑆𝑆𝑏𝑏𝑋𝑋𝑋𝑋+𝑦𝑦𝑆𝑆𝑏𝑏𝑋𝑋𝑋𝑋+𝑧𝑧𝑆𝑆𝑏𝑏𝑋𝑋𝑋𝑋
Fig.25
Remarque : Dans un espace 2D, on retrouve la décomposition en partie réelle et imaginaire pure,
𝑆𝑆1 =𝑥𝑥𝑆𝑆𝑏𝑏𝑋𝑋𝑋𝑋+𝑦𝑦𝑆𝑆𝑏𝑏𝑋𝑋𝑋𝑋 (avec (𝑥𝑥,𝑦𝑦)∈ ℝ2) pour laquelle 𝑆𝑆𝑏𝑏𝑋𝑋𝑋𝑋= 1 est le vecteur unitaire réel (qui devient le secteur plat dans l’espace sectoriel) et 𝑆𝑆𝑏𝑏𝑋𝑋𝑋𝑋 =𝑠𝑠 le vecteur unitaire imaginaire pure (qui devient le secteur carré du plan XY).
SbXZ SbXX SbXY Z Y X S1
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Base selon la décomposition non linéaire de primalité (décomposition multiplicative) :
La décomposition précédente s’appuie sur la définition de l’addition sectorielle, par laquelle on fait coïncider les côtés orange. Mais nous pouvons obtenir une décomposition de primalité avec les mêmes secteurs de base en suivant la définition de la multiplication sectorielle, par laquelle on fait coïncider les côtés orange et bleu.