Programmation par contraintes pour la vendange sélective

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Programmation par contraintes pour la vendange sélective

Nicolas Briot, Christian Bessière, Philippe Vismara

To cite this version:

Nicolas Briot, Christian Bessière, Philippe Vismara. Programmation par contraintes pour la vendange

sélective. 11èmes Journées Francophones de Programmation par Contraintes (JFPC 2015), Jun 2015,

Bordeaux, France. pp.51-56. �hal-02738913�

Actes JFPC 2015

Programmation par contraintes pour la vendange s´ elective

Nicolas Briot

Christian Bessiere

Philippe Vismara

1

LIRMM, Universit´ e de Montpellier, 161 rue Ada, 34095 Montpellier, France

2

MISTEA, Montpellier SupAgro, INRA, 2 place Viala, 34060 Montpellier, France {briot,bessiere,vismara}@lirmm.fr

R´ esum´ e

En viticulture de pr´ ecision, la vendange s´ elective consiste ` a r´ ecolter s´ epar´ ement deux qualit´ es de rai- sin dans une mˆ eme vigne. On dispose pour cela d’une machine ` a vendanger comportant deux tr´ emies et on connait la localisation des zones de qualit´ es ainsi qu’une estimation des quantit´ es ` a r´ ecolter. Le probl` eme consiste

`

a optimiser le trajet de la machine ` a vendanger tout en respectant de nombreuses contraintes comme la prise en compte du sens de traitement des rangs, la capa- cit´ e de stockage de la machine, son rayon de braquage, le nombre de vidanges, etc. Apr` es une formalisation du probl` eme de la vendange s´ elective, cet article pr´ esente une mod´ elisation sous la forme d’un probl` eme de sa- tisfaction de contraintes. La derni` ere section donne des r´ esultats pr´ eliminaires fournis par le solveur AbsCon.

Abstract

In precision viticulture, the problem of differen- tial harvesting occurs on vineyard with two qualities of grapes. Given estimated areas of different quality and quantity, the objective is to optimize the routing of the grape harvester under several constraints. This constraints are : harvest a certain amount of first quality grapes, capacity of the machine, turning radius, num- ber of emptying, etc. After describing the problem of differential harvest, the paper models it as a constraint satisfaction problem. The last section is devoted to pre- liminary results with AbsCon solver.

1 Introduction

En viticulture de pr´ ecision, de nombreuses ´ etudes ont propos´ e de d´ efinir des zones de qualit´ e intra- parcellaire [11]. Ces zones peuvent ˆ etre d´ etermin´ ees

`

a partir de photos a´ eriennes, de capteurs en champ, de pr´ el` evements ou des r´ ecoltes ant´ erieures. Prendre

en compte ces zones de qualit´ e intra-parcellaire per- met d’optimiser le coˆ ut et la qualit´ e des vendanges.

Cette approche a justifi´ e le r´ ecent d´ eveloppement de prototypes de machine ` a vendanger capables de g´ erer deux qualit´ es diff´ erentes de grappes, comme le proto- type EnoControlTM system (NewHolland Agriculture, PA, USA). Ce type de machine poss` ede deux r´ eservoirs appel´ es tr´ emies qui permet de stocker deux qualit´ es diff´ erentes lors d’une mˆ eme r´ ecolte.

Optimiser la r´ ecolte consiste ` a minimiser le temps de travail de la vendangeuse, ce qui correspond aux temps de trajets et aux temps de vidanges de la machine.

Id´ ealement, le but ` a atteindre est de remplir les deux tr´ emies de mani` ere ´ equilibr´ ee afin de vidanger le moins possible la machine ` a vendanger. En effet, suivant la r´ epartition des zones de qualit´ e dans le vignoble et le rendement des vignes, la tr´ emie qui contiendra une certaine qualit´ e peut se remplir plus vite que l’autre.

En plus des contraintes de capacit´ e, il faut prendre en compte le rayon de braquage de la machine : plus le saut de rangs est petit, plus la machine doit manoeu- vrer et perd du temps. Toutes ces contraintes rendent le probl` eme combinatoire et complexe ` a r´ esoudre. Des probl` emes semblables, comme le probl` eme du voyageur de commerce [1, 7] ou les probl` emes de tourn´ ees de v´ e- hicules ont d´ eja pu ˆ etre trait´ es. En programmation par contraintes, une ´ etude de probl` emes de tourn´ ees de v´ e- hicules a ainsi ´ et´ e ´ etudi´ ee en [8]. D’autres approches moins g´ en´ eriques, comme la recherche op´ erationnelle, ont ´ et´ e test´ ees notamment en agriculture [2, 3]. Tou- tefois, le probl` eme de la vendange s´ elective ne rentre dans aucun des probl` emes d´ ej` a ´ etudi´ es et reste in´ edit.

Devant la multitude des contraintes et les diff´ erentes

variantes possibles du mod` ele, l’utilisation de la pro-

grammation par contraintes semble pertinente afin de

mod´ eliser et de r´ esoudre le probl` eme.

Apr` es une formalisation du probl` eme de la ven- dange s´ elective, ce papier pr´ esente une mod´ elisation de celui-ci sous la forme d’un probl` eme d’optimisation de contraintes. Enfin, des r´ esultats pr´ eliminaires four- nis par le solveur AbsCon sont pr´ esent´ es en derni` ere partie.

2 Le probl` eme de la vendange s´ elective

Le probl` eme de la vendange s´ elective (ou Differen- tial Harvest Problem) se pose sur un vignoble com- pos´ e de plusieurs zones class´ ees en deux cat´ egories : les A-zones qui contiennent les A-grappes, c’est-` a-dire les raisins de qualit´ e sup´ erieure et les B-zones, qui pro- duisent le reste.

On consid` ere une machine ` a vendanger (ou vendan- geuse) qui poss` ede deux r´ eservoirs identiques appel´ es tr´ emies, qui ont chacune une capacit´ e maximale not´ ee Cmax. Grˆ ace ` a ce type de machine, les deux cat´ ego- ries de grappes peuvent ˆ etre s´ epar´ ees et donc la qua- lit´ e sup´ erieure pr´ eserv´ ee. D` es le d´ ebut de la r´ ecolte, une des tr´ emies est d´ edi´ ee ` a recevoir seulement les A- grappes (tr´ emie a) et l’autre le reste. Une fois que la machine a rempli une de ses tr´ emies, elle doit vidanger ses deux r´ eservoirs dans des bennes situ´ ees autour de la parcelle. G´ en´ eralement, les bennes sont emmen´ ees en cave imm´ ediatement apr` es chaque vidange afin de pr´ eserver la qualit´ e des grappes. Elles sont imm´ edia- tement remplac´ ees par d’autres bennes en attentes sur la parcelle.

De par sa conception, la vendangeuse met un cer- tain temps (≈ 10 sec) pour acheminer le fruit pris de la vigne jusqu’` a une de ses tr´ emies. Ce temps est ap- pel´ e latence. Ainsi, au moment o` u la machine ` a ven- danger passe d’une zone ` a l’autre, la qualit´ e du raisin r´ ecolt´ e ne peut pas ˆ etre garantie, car la latence im- pose un mixage des raisins r´ ecolt´ es ` a ce moment-l` a.

Deux sc´ enarios sont alors possibles : soit la machine passe d’une A-zone ` a une B-zone, alors les raisins ra- mass´ es d` es l’entr´ ee de la nouvelle zone sont consid´ e- r´ es comme B-grappes et vont dans la tr´ emie b ; soit la machine passe d’une B-zone ` a une A-zone et dans ce cas, les grappes (situ´ ees sur la A-zone) sont consi- d´ er´ ees comme B-grappes durant le temps de latence et iront dans la tr´ emie correspondante. Ainsi pour un mˆ eme rang, le type et le nombre de transitions peuvent ˆ etre diff´ erents suivant le sens de r´ ecolte. La quantit´ e de raisin de chaque cat´ egorie peut dont varier. Par exemple, soit un rang ayant pour s´ equence les zones : A − B − A − B (voir figure 1) : si la machine r´ ecolte le rang de gauche ` a droite, il y a seulement une transition B − A ; inversement, si la machine passe de droite ` a gauche, il y a cette fois deux transitions B − A et donc deux fois plus de A-grappes dans la tr´ emie b.

A-grappes B-grappes A-grappes B-grappes

trémie a : trémie b :

A-grappes B-grappes A-grappes B-grappes

Latence

trémie a : trémie b :

Latence Latence

Figure 1 – Les quantit´ es de grappes d´ ependent du sens de r´ ecolte du rang.

Notons Rmin, le volume de raisin de qualit´ e A ` a at- teindre. Rmin correspond ` a un volume minimal d´ esir´ e par la cave pour compl´ eter un manque de raisin de premi` ere cat´ egorie. La vendange se d´ eroule en deux phases. La premi` ere phase impose une vendange s´ elec- tive jusqu’` a ce que le seuil Rmin soit atteint. Pendant cette phase, la tr´ emie a doit contenir uniquement du raisin A. La deuxi` eme phase d´ ebute apr` es la derni` ere vidange des tr´ emies qui a permis d’atteindre le volume Rmin de raisin de qualit´ e A. ` A partir de l` a, les deux tr´ emies peuvent contenir les deux cat´ egories de rai- sin sans aucune distinction. Suivant Rmin, il y a trois possibilit´ es pour remplir les deux tr´ emies : dans un premier temps, les deux tr´ emies servent ` a s´ eparer les deux cat´ egories de raisins (voir figure 2.a). Dans le cas o` u la tr´ emie a serait pleine, il est possible de continuer la r´ ecolte en dirigeant les raisins A dans l’autre tr´ emie (voir figure 2.b). Ces raisins doivent ˆ etre consid´ er´ es par la suite comme du raisin d´ eclass´ e. Enfin, lorsque Rmin est atteint, les deux tr´ emies servent ` a r´ ecolter les grappes sans distinction (voir figure 2.c).

trémie a trémie b

(a) pleine (b) (c)

A-grappes B-grappes A-grappes B-grappes A-grappes B-grappes

trémie a trémie b trémie a trémie b

Figure 2 – 3 cas possibles pour remplir les tr´ emies.

(a) A-grappes et B -grappes sont s´ epar´ ees. (b) quand la tr´ emie a est pleine, les A-grappes et B-grappes sont mix´ ees dans la tr´ emie b. (c) Une fois que Rmin est atteint, A-grappes et B-grappes sont m´ elang´ ees dans les deux tr´ emies.

La vigne, compos´ ee de n rangs, est mod´ elis´ ee en consi-

d´ erant les deux extr´ emit´ es de chaque rang. Un rang

i ∈ {0, . . . , n − 1} est repr´ esent´ e par ses extr´ emit´ es 2i et 2i + 1. Pour chaque rang, notons Q

et Q

(resp. Q

et Q

) les quantit´ es de grappes contenues dans le rang i lorsque la machine r´ ecolte dans le sens 2i → 2i + 1 (resp. 2i + 1 → 2i).

Ces quantit´ es tiennent compte de la latence ´ evoqu´ ee plus haut. Une autre donn´ ee importante est le temps de trajet de la machine entre chaque rang et la benne.

Notons d(p, q) = d(q, p) ∀p, q ∈ {0, 1, . . . , 2n−1}∪{2n}

le temps de passage d’une extr´ emit´ e p ` a une extr´ emit´ e q (avec l’extr´ emit´ e 2n qui repr´ esente l’emplacement de la benne). Ce coˆ ut d´ epend du rayon de braquage de la machine ` a vendanger.

D´ efinition 1. Probl` eme de la Vendange S´ elective : Soit un vignoble repr´ esent´ e par une matrice de coˆ ut entre extr´ emit´ es de rangs (ou benne), une estimation de la quantit´ e de raisin A et B dans chaque rang sui- vant l’orientation, un seuil Rmin de A-grappes ` a at- teindre et une machine ` a vendanger ` a deux tr´ emies de capacit´ e maximale 2 × Cmax. Le probl` eme de la vendange s´ elective consiste ` a trouver une s´ equence de rangs qui minimise le d´ eplacement total de la vendan- geuse et qui permet de r´ ecolter tout le raisin dont au moins Rmin A-grappes.

3 Mod´ elisation CSP

Nous pouvons mod´ eliser le probl` eme de la ven- dange s´ elective comme un probl` eme de satisfaction de contraintes ou COP d´ ecrit par : un ensemble de variables, un domaine repr´ esentant les valeurs pos- sibles de chaque variable et un ensemble de contraintes sur ces variables. Le probl` eme d’optimisation de contraintes consiste ` a rechercher une instanciation des variables avec une valeur de leurs domaines qui v´ erifie toutes les contraintes du probl` eme tout en optimisant une fonction objectif.

Soit n le nombre de rangs du vignoble, λ le nombre passages ` a la benne avec γ le nombre de vidanges o` u le raisin est tri´ e (γ ≤ λ ≤ n). Nous appelons site un rang ou une benne. Notons R = {0, . . . , n − 1}, l’ensemble des rangs et S = R ∪ {n, . . . , n+ λ−1} l’ensemble des sites du vignoble. Le probl` eme de la vendange s´ elective peut-ˆ etre d´ efini comme suit :

3.1 Variables

Nous cr´ eons, pour chaque site i ∈ S :

P

et S

les variables qui repr´ esentent respective- ment le site pr´ ec´ edant, et le site suivant le site i.

Le domaine est D(P

) = D(S

) = S \ {i} ; M ix

, la variable bool´ eenne qui repr´ esente le mode

de r´ ecolte. Si M ix

= 0, les A-grappes sont pr´ e- serv´ ees (premi` ere phase) sinon, ces grappes sont

m´ elang´ ees avec les B-grappes (deuxi` eme phase).

Le domaine de cette variable est : D(M ix

) = {0, 1} ;

U

et U

, repr´ esentent les quantit´ es totales de A- grappes et de B-grappes r´ ecolt´ ees depuis la der- ni` ere vidange jusqu’au site i inclus. On a : D(U

) = D(U

) = {0, . . . , 2 × Cmax}. La va- riable U

peut d´ epasser Cmax uniquement en mode non-tri´ e ;

T

, la variable repr´ esentant le temps de trajet entre le site i et le site pr´ ec´ edent. D(T

) = N ;

Nous cr´ eons, pour chaque rang r ∈ R :

Ori

, la variable bool´ eenne repr´ esentant l’orienta- tion du rang r (0 repr´ esente la direction 2r → 2r + 1 et 1 l’inverse). D(Ori

) = {0, 1} ;

u

(resp. u

), la variable repr´ esentant la quantit´ e de raisin de qualit´ e A (resp. B) contenue dans le rang r suivant son orientation. D(u

) = D(u

) = N ;

3.2 Contraintes

La premi` ere contrainte est la contrainte globale all- different (1) qui contraint de passer une et une seule fois dans chaque rang. Elle porte sur l’ensemble des variables pr´ ec´ edant :

AllDif f erent(P

, . . . , P

) (1) La contrainte (2) est une contrainte de channeling entre les variables pr´ ec´ edant et suivant :

P

= i S

= i ∀i ∈ S (2) Les contraintes (3) et (4) imposent le mode de ven- dange (s´ elective ou pas) suivant l’indice correspondant

`

a une benne de la phase 1 (n ` a n+γ −1) ou de la phase 2 (n+γ ` a n+λ−1). La contrainte (5) est une containte

« element » qui transmet le mode de vendange entre successeurs.

M ix

= 0 ∀i ∈ {n, . . . , n + γ − 1} (3) M ix

= 1 ∀i ∈ {n + γ, . . . , n + λ − 1} (4)

M ix

= M ix

∀r ∈ R (5)

La contrainte de table suivante permet d’attribuer les quantit´ es de raisin suivant le sens de traitement du rang. ∀i ∈ R, on a :

Ori

u

u

0 Q

Q

1 Q

Q

Les quantit´ es de raisin r´ ecolt´ ees (contenues dans les

tr´ emies) depuis une vidange sont calcul´ ees en fonction

du volume contenu dans le rang et de la quantit´ e pr´ e- c´ edente. Les quantit´ es associ´ ees ` a une benne valent 0 : U

= 0 ∀α ∈ {A, B} ∀i ∈ S \ R (6) U

= U

i

+ u

∀α ∈ {A, B} ∀i ∈ R (7) Les quantit´ es calcul´ ees en (7) sont limit´ ees par la ca- pacit´ e des tr´ emies (8). La quantit´ e maximale de B- grappes diff` ere suivant le mode de r´ ecolte (9).

U

+ U

≤ 2 × Cmax ∀i ∈ R (8) U

≤ (1 + M ix

) × Cmax ∀i ∈ R (9) La contrainte (10) permet de remplir le contrat de r´ e- colte Rmin. Elle concerne uniquement le mode de r´ e- colte s´ epar´ e, c’est-` a-dire les vidanges de n ` a n + γ − 1.

Il faut prendre en compte que les A-grappes qui sont dans la tr´ emie a. Cette quantit´ e correspond ` a la partie de U

qui ne d´ epasse pas la capacit´ e de la tr´ emie a.

n+γ−1

X

i=n

min(U

, Cmax) ≥ Rmin (10)

Il est possible de reformuler la contrainte (10) sans la fonction minimum. Nous ajoutons une nouvelle va- riable nomm´ ee Ac

∀i ∈ {n, . . . , n + γ −1} de domaine D(Ac

) = {0, . . . , Cmax} avec :

Ac

≤Cmax (10’a)

Ac

≤U

i

∀i ∈ {n, . . . , n + γ − 1} (10’b)

n+γ−1

X

i=n

Ac

≥ Rmin (10’c)

Il est possible d’interdire les trajets entre deux ex- tr´ emit´ es qui ne sont pas du mˆ eme cˆ ot´ e du vignoble par la contrainte (11) :

Ori

= 1 − Ori

∀i ∈ R (11) Enfin, l’optimisation porte sur le temps de trajet de la machine. On pose la contrainte (12), que l’on codera par une contrainte de table entre le site pr´ ec´ edent, son orientation et le site i :

T

= d(2P

+ Ori

, 2i + (1 − Ori

)) ∀i ∈ S (12) Au final, on souhaite optimiser l’expression suivante :

M inimiser :

n+λ

X

i=0

T

(13)

4 Am´ eliorations du mod` ele

Nous avons pr´ esent´ e dans la section pr´ ec´ edente une mod´ elisation du probl` eme de la vendange s´ elective.

Nous avons opt´ e pour des variables repr´ esentant les rangs pr´ ec´ edents et suivants. Cette mod´ elisation pos- s` ede une sym´ etrie de valeurs. Elle est li´ ee aux bennes de mˆ eme type qui sont interchangeables. Ces per- mutations donnent des solutions de mˆ eme coˆ ut. Afin d’´ eliminer ces sym´ etries, nous ajoutons au mod` ele les contraintes suivantes :

P

< P

∀i ∈ {n, . . . , n + γ − 2} (14) P

< P

∀i ∈ {n + γ, . . . , n + λ − 1} (15) La contrainte (14) (respectivement (15)) impose un ordre croissant sur les valeurs des rangs pr´ ec´ edant une vidange s´ epar´ ee (resp. non-s´ epar´ ee).

Par ailleurs, comme il est dit dans [8] pour les pro- bl` emes de tourn´ ees de v´ ehicules, le mod` ele propos´ e dans la section 3 pr´ esente un autre d´ efaut. Lors de la recherche, des cycles ne passant par aucune benne risquent d’ˆ etre explor´ es inutilement. Il est possible d’interdire cette configuration par la contrainte globale cycle. Cette contrainte, introduite dans [5] et [10] per- met, en ayant un ensemble de variables repr´ esentant des successeurs (ou pr´ ed´ ecesseurs) d’avoir un certain nombre de cycles entre elles. Ici, nous imposons qu’il y ait un seul cycle sur les variables repr´ esentant les sites pr´ ec´ edents et un seul sur les variables repr´ esentant les sites suivants. La combinaison de la contrainte cycle avec la contrainte Alldif f erent permet d’avoir un seul et unique pr´ ed´ ecesseur et successeur. Dans notre cas, une mod´ elisation avec ou sans cette contrainte pos- s` ede le mˆ eme ensemble de solution mais l’efficacit´ e du filtrage est alors amoindrie.

1

2 3

4 5

6 7

1

2 3

4 5

6 7

(a) (b)

1

2 3

4 5

6 7

1

2 3

4 5

6 7

(c) (d)

Figure 3 – La contrainte de cycle sur les variables suc- cesseurs entre les rangs (cercles) et une benne (carr´ e).

Par exemple, dans la figure 3, ` a partir de la solution

partielle (a), les cycles pr´ esents dans la solution (b)

peuvent ˆ etre filtr´ es. Autrement dit, imposer un seul cycle permet de retirer les valeurs (figure 3.b) : 1 ∈ D(S

) et 4 ∈ D(P

), 5 ∈ D(S

) et 6 ∈ D(P

) ( 7 ∈ / D(S

) et D(P

)) et les seules solutions sont donn´ ees en (c) et (d). A notre mod´ elisation, nous ajoutons les contraintes (16) et (17) :

Cycle(1, (P

, . . . , P

)) (16) Cycle(1, (S

, . . . , S

)) (17)

5 Travaux connexes

Une premi` ere mod´ elisation de ce probl` eme a ´ et´ e pr´ e- sent´ ee dans [4] avec laquelle nous avons pu comparer les r´ esultats. Dans cette pr´ ec´ edente mod´ elisation, une variable est associ´ ee ` a chaque ´ etape pour d´ ecrire l’ex- tr´ emit´ e visit´ ee ` a cette ´ etape. Des variables bool´ eennes, associ´ ees ` a chaque ´ etape, indiquent si la machine doit faire une vidange ` a ce moment-l` a ou non. Le bascule- ment entre la r´ ecolte s´ elective et la r´ ecolte normale est impos´ e en fixant l’indice du rang apr` es lequel la r´ ecolte devient simple. Ainsi, la recherche consiste ` a lancer plusieurs r´ esolutions en parall` eles avec les diff´ erents indices possibles pour le basculement et ` a conserver le r´ esultat optimal. Dans cet article, nous avons montr´ e l’interˆ et de la d´ emarche qui permet jusqu’` a 40% de gain de temps par rapport ` a une trajectoire traditio- nelle de la machine ` a vendanger.

6 R´ esultats

Nous avons impl´ ement´ e les deux mod´ elisations avec le solveur AbsCon [9], ´ ecrit en Java, auquel nous avons adjoint une contrainte cycle garantissant une permu- tation circulaire entre les variables. Nos tests ont ´ et´ e effectu´ es sur un MacBook Pro avec 2,6 GHz Intel Core i5 et 8 Go de RAM. Les donn´ ees ont ´ et´ e fournies par Montpellier SupAgro et sont issues d’un vignoble pro- venant de l’INRA du Pech-Rouge (Gruissan, Aude, France) (figure 4). La table 1 repr´ esente le temps de calcul et le nombre de nœuds pour la r´ esolution du probl` eme avec les deux mod` eles. Le premier mod` ele correspond ` a celui pr´ esent´ e dans [4]. Les colonnes 2 et 3 correspondent ` a la mod´ elisation pr´ esent´ ee ici sans et avec les contraintes de cycle. Les nombres de rangs tes- t´ es (n=10 et n=16) correspondent ` a un sous-ensemble de rangs de la mˆ eme parcelle. Pour chaque mod` ele, nous avons utilis´ e l’heuristique de choix de valeurs Random, qui donne les meilleurs temps de calculs et nous avons impos´ e un cutoff de 10 ´ echecs au d´ epart, multipli´ e par 2 ` a chaque restart.

Ces r´ esultats montrent que sur de petites instances r´ eelles, le mod` ele propos´ e permet de trouver la solu- tion optimale dans un temps relativement raisonnable

Figure 4 – Un vignoble avec deux qualit´ es : B- grappes en rouge et A-grappes en vert.

et am´ eliore sensiblement les temps de calculs du mo- d` ele pr´ esent´ e dans [4]. L’ajout des contraintes de cycle permet de diminuer l’espace de recherche et le temps de r´ esolution par rapport ` a la mˆ eme approche sans ces contraintes. Ces r´ esultats restent pr´ eliminaires et doivent ˆ etre confront´ es au passage ` a l’´ echelle, mais sont encourageants pour la suite. De plus, il est important de noter que notre approche est exacte et calcule la solution optimale du probl` eme. Pour de plus grandes instances, nous pourrions recourir ` a des m´ ethodes lo- cales de type LNS (Large Neigborhood Search) qui ont donn´ e de bons r´ esultats sur un probl` eme similaire [6].

7 Conclusion

Dans cet article, nous avons pr´ esent´ e le probl` eme de la vendange s´ elective issu de l’agriculture de pr´ ecision.

Apr` es une formalisation de ce probl` eme, une mod´ elisa- tion sous la forme d’un probl` eme d’optimisation sous contraintes ` a ´ et´ e pr´ esent´ ee. Ce nouveau mod` ele per- met de r´ esoudre le probl` eme de mani` ere optimale en des temps raisonnables sur de petites instances r´ eelles.

Il reste ` a prouver la validit´ e de l’approche sur de plus

grandes instances.

Mod` ele de [4] Mod` ele sans (16) et (17) Mod` ele avec (16) et (17)

n tps # Noeuds tps # Noeuds tps # Noeuds

10 1 100s 6 624 876 413s 48 050 41s 8 038

16 326 143s 647 119 328 67 826s 8 688 417 11 841s 177 894

Table 1 – R´ esultats sur 10 et 16 rangs. Comparaison entre le mod` ele de [4] et celui propos´ e dans cet article.

R´ ef´ erences

[1] Pascal Benchimol, Willem Jan van Hoeve, Jean- Charles R´ egin, Louis-Martin Rousseau, and Mi- chel Rueher. Improved filtering for weighted cir- cuit constraints. Constraints, 17(3) :205–233, 2012.

[2] Dionysis Bochtis and Claus G. Sørensen. The ve- hicle routing problem in field logistics : part i.

Biosystems engineering, 104 :447–457, 2009.

[3] Dionysis Bochtis and Claus G. Sørensen. The ve- hicle routing problem in field logistics : part ii.

Biosystems engineering, 105 :180–188, 2010.

[4] Nicolas Briot, Christian Bessiere, Bruno Tisseyre, and Philippe Vismara. Integration of operational constraints to optimize differential harvest in vi- ticulture. In Proc. 10th European Conference on Precision Agriculture, July 2015, ` a paraitre.

[5] Yves Caseau and Fran¸ cois Laburthe. Solving small tsps with constraints. In Lee Naish, edi- tor, Logic Programming, Proceedings of the Four- teenth International Conference on Logic Pro- gramming, Leuven, Belgium, July 8-11, 1997, pages 316–330. MIT Press, 1997.

[6] Luca Di Gaspero, Andrea Rendl, and Tommaso Urli. Constraint-based approaches for balancing bike sharing systems. In Principles and Practice of Constraint Programming, volume 8124 of Lec- ture Notes in Computer Science, pages 758–773.

Springer, 2013.

[7] Jean-Guillaume Fages. Exploitation de structures de graphe en programmation par contraintes. PhD thesis, Ecole des Mines de Nantes, 2014.

[8] Philip Kilby and Paul Shaw. Vehicle routing.

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