Electrocinétique - TP n ◦ 2 Régimes transitoires

(1)

Electrocinétique - TP n◦2

Régimes transitoires A. MARTIN

Sommaire RC série

Régime libre Réponse au créneau

RLC série Différents régimes Rég. pseudo-pér.

Analyseiet^di(t) dt Portrait de phase

Electrocinétique - TP n ^◦ 2 Régimes transitoires

A. MARTIN

1 / 15

Sommaire RC série

Etude d’un dipôle RC série

Régime libre

Réponse à un signal créneau

Etude du dipôle RLC série

Différents régimes Régime pseudo-périodique Analyse de i(t) et

^di(t)_dt

Portrait de phase du condensateur

2 / 15

Sommaire RC série

Décharge d’un condensateur dans une résistance

1.

Le condensateur est initialement chargé (k fermé en 1) : u

c

(t < 0) = E. Par continuité, on aura u

C

(t = O

⁺

) = E .

1 2

uC

2.

Lorsque k est fermé en 2, on est en régime libre. La loi des mailles donne (avec τ = RC ) :

du

C

dt + 1 τ u

C

= 0

3.

Cette équation a pour solu- tion :

u

C

(t) = Ae

^−t/τ

= Ee

^−t/τ

3 / 15

Sommaire RC série

Estimation de l’incertitude ∆τ

MANIPULA TION 1

I

Mesure par la tangente à l’origine

I

La principale incertitude vient de la détermination de la tangente et de son tracé.

I

On trace 2 droites apparemment extrêmes et on en déduit les τ extrêmes pour avoir ∆τ.

I

Mesure par la valeur à t = τ

I

Il y alors deux incertitudes : celle sur la mesure de 37% de E et celle sur la mesure du temps pour lequel on atteint la valeur 37% de E. Les deux étant corrélées, on mesurera la seconde qui suffira à déterminer l’incertitude ∆τ.

I

Estimation de l’incertitude : c’est la somme d’une incertitude de lecture et d’une incertitude de construction (comme pour le multimètre). L’incertitude de lecture est de l’ordre de 1/10ème de division (multiplié par le calibre). L’incertitude

"constructeur" correspond à 3% de la plage totale de l’écran, qui dépend aussi du calibre (cf documentation oscillo). Au total, l’incertitude est donc de 4% de la plage totale de l’écran.

Exemple : Calibre 0,5ms·div⁻¹:∆τ=₁₀₀⁴ ×10×0,5ms·div⁻¹=0.2ms Remarque : on peut minimiser ces valeurs en choisissant des calibres où la

courbe occupe une grande partie de l’écran _{4 / 15}

(2)

Sommaire RC série

Mesure d’une résistance - Incertitude.

•

On suppose que C est connu avec une très grande précision.

Posons R =

^τ_C

= f (τ ). Pour savoir comment l’erreur δτ faite sur τ se transmet sur R (δR), on calcule la dérivée :

δR δτ

≈ dR

dτ

= f

⁰

(τ) = 1

C d’où δR = δτ C .

En terme d’incertitude et d’incertitude relative, cela se traduit par

∆R = ∆τ

C et ∆R

R = ∆τ τ .

On voit que comme R et τ sont proportionnels, les incertitudes le sont aussi. Mais la méthode se généralise pour des relations f (τ) plus complexes.

•

Si l’on souhaite prendre en compte l’incertitude sur C, on généralise la méthode à une fonction à plusieurs variables (cf cours sur ce thème). On obtient alors ici la formule suivante :

∆R R =

s

∆τ

τ

2

+ ∆C

C

2

L’incertitude relative de R est donc la somme des incertitudes relatives de τ et de C.

Remarque : Cette relation est valable pour un quotient (^τ_C) ou pour un produit

(τC). ^{5 / 15}

Sommaire RC série

Régime libre Réponse au créneau RLC série

Différents régimes Rég. pseudo-pér.

Temps caractéristique

MANIPULA TION 3

I

Charges et décharges successives du condensateur.

Même temps caractéristique τ = RC pour la charge et la décharge.

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6#.78% 68

τ = RC = 4.10

³×0,

1.10

⁻⁶

= 0, 4ms T On observe des charges et décharges com- plètes.

I

Temps de montée à 90%

u

C

(t

90%

) = 90

100 E =

⇒

t

90%

= τ ln(10) =

⇒

τ = t

90%

ln(10)

≈

t

90%

2, 3 La mesure de t

90%

permet une mesure du temps de relaxation τ

6 / 15

Sommaire RC série

Effet de la charge

MANIPULA TION 4

Déformation du signal pour les faibles valeurs de R (avec RC inchangé) : La résistance interne du G.B.F. (R

S

= 50Ω) n’est plus négligeable devant la résistance R = 400Ω.

⇒

modification du temps caractéristique τ et donc de u

C

(t) u

C

(t) = E (1

−

e

^−t/τ

) avec τ = (R + R

S

)C

6=

RC

⇒

chute de tension u

e

du signal délivré par le GBF u

e

(t) = E (1

−

1 1 +

_R^R

S

e

^−t/τ

) avec τ = (R + R

S

)C

6=

RC

7 / 15

Sommaire RC série

Etude de l’intensité

MANIPULA TION 5

I

ATTENTION aux masses quand on mesure l’intensité

I

Discontinuité de I(t)

Contrairement à la tension aux bornes du condensateur, l’intensité i(t) qui le traverse est discontinue :

i(t = 0

⁻

) = 0 i(t = 0

⁺

) = E

R

8 / 15

(3)

Sommaire RC série

Différents régimes

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6#.78%

68

d

²

u

C

dt

²

+ ω

0

Q du

C

dt + ω

²0

u

C

= ω

0²

u

e

Equation caractéristique : r

²

+

^ω_Q⁰

r + ω

²0

et ∆ =

^ω_Q²⁰2

(1

−

4Q

²

)

MANIPULA TION 6

I

Q < 1/2; ∆ > 0

⇒

régime apériodique.

I

Q = 1/2; ∆ = 0

⇒

régime critique.

Pour cette valeur, on est à la limite des oscillations.

R

C

= 2

r

L

C

I

Q > 1/2; ∆ < 0

⇒

régime amorti ou pseudo-périodique.

I

La réponse oscille en s’atténuant exponentiellement.

I

On obtient Q > 1/2 à L et C fixé en prenant R suffisamment faible.

9 / 15

Sommaire RC série

Régime pseudo-périodique - Pulsation propre

Régime pseudo-périodique : Q > Q

C

= 1/2

MANIPULA TION 7

⇒

R < R

C

(moins de dissipation d’énergie) car Q =

_R¹ qL

C ∝_R¹ I

L’équation caractéristique admet deux racines complexes

conjuguées

r

1,2

=

−

ω

0

2Q

±i

ω

0

r

1

−

1 4Q

²

=

−

1 τ

±iΩ

Ω = ω

0

r

1

−

1 4Q

² I

Le régime transitoire a alors la forme (quand u

e

(t) = E ) :

u

C

(t) = Ae

^−t/τ

cos(Ωt + φ) + E

pseudo-période T T = 2π

Ω

−−−−→

Q1/2

T

0

= 2π ω

0

10 / 15

Sommaire RC série

Régime pseudo-périodique - Décrément logarithmique

MANIPULA TION 8

I

Décrément logarithmique : δ = ln

u_CH(tm) u_CH(t_m+T)

Si Q est suffisamment grand, δ est indépendant du max t

m

:

δ = 1

n

−

1 ln

u

CH max

(1) u

CH max

(n)

⇒

(n

−

1)δ = ln(u

CH max

(1))

−

ln(u

CH max

(n))

⇒

ln(u

CH max

(n)) = ln(u

CH max

(1))

−

(n

−

1)δ

La courbe ln(u

CH max

(n)) = f (n) est alors une droite de pente

−

δ.

I

Facteur de qualité Q : obtenu grâce à la mesure de δ si Q est suffisamment grand :

δ = ln

u

CH

(t

m

) u

CH

(t

m

+ T )

⇒

δ

≈

ω

0

T 2Q

−−−−→

Q1/2

π Q

11 / 15

Sommaire RC série

Analyse de l’intensité et de sa dérivée.

MANIPULA TION 9

I

i(t) se visualise en mesurant la tension aux bornes de la résistance On mesure Ri(t) et non i(t) directement. Attention aux masses.

I ^di(t)_dt

se visualise en mesurant la tension aux bornes de la bobine On mesure L

^di(t)_dt

et non

^di(t)_dt

directement. Attention aux masses.

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(4)

Sommaire RC série

Tracé du portrait de phase à l’oscilloscope

MANIPULA TION 10

1.

A l’oscilloscope, on est confronté à un problème de masse. On isole donc la masse du générateur avec un transformateur d’isolement.

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Remarque : Un transformateur dissipe d’autant plus d’énergie que la fréquence est élevée. Il est donc préférable de ne l’utiliser que quand on n’a pas d’autre choix.

2.

Sur GENERIS (facultatif), il n’y a pas de problème de masse (bornes à masse flottante).

13 / 15

Sommaire RC série

Portrait de phase en régime apériodique

Tracé de i (t) l’intensité qui le traverse en fonction de u

C

(t).

r

1

et r

2

étant les solutions de l’équation caractéristique quand ∆ > 0, on montre que (exercice) :

u(t) = E (1 + r

2

r

1−

r

2

e

^r¹^t−

r

1

r

1−

r

2

e

^r²^t

) i (t) = CE r

2

r

1

r

1−

r

2

(e

^r¹^t−

e

^r²^t

)

Quand Q est très faible (R très grand, régime très amorti), on peut simplifier les formules ci-dessus pour t un peu supérieur à 0 : on a

|r2| |r1| ≈

0 : u(t) = E (1

−

e

^r¹^t

)

i (t) =

−CEr1

(e

^r¹^t

)

On observe donc qu’à fort amortissement, i (t) et u(t) varient de façon proportionnelle après un certain temps t

L

(sur la figure t

L

< 0.00001s).

i (t) = CEr

1−

Cr

1

u(t).

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Sommaire RC série

Portrait de phase en régime pseudo-périodique

Tracé de i(t) l’intensité qui le traverse en fonction de u

C

(t).

On montre que (exercice) : u(t) = E (1

−

1 cos φ cos(Ωt + φ)e

^−t/τ

) avec tan φ =

−

1 τ Ω i(t) = CEΩ(1 + 1

τ

²

Ω

²

) sin(Ωt)e

^−t/τ

donc

−

π

2 < φ < 0 On montre que la courbe i en fonction de u

C

est une spirale elliptique inclinée. En particulier, quand Q est très grand, on peut simplifier les formules ci-dessus car tan φ

≈_2Q¹

et donc tan φ

≈

0 :

u(t)

≈

E(1

−

cos(ω

0

t)e

^−t/τ

) et i (t)

≈

CEω

0

sin(ω

0

t)e

^−t/τ

ce qui mène à

(E

−

u(t))

²

+ i

²

(t)

C

²

ω

²₀ ≈

E

²

e

⁻^2t^τ

L’équation d’une spirale elliptique droite.

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