3. Régime sinusoïdal forcé.

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Elec5 1

Elec5 : R EGIMES SINUSOÏDAUX FORCES DE SYSTEMES ELECTRIQUES LINEAIRES

I. P OURQUOI ETUDIER LA REPONSE DE CIRCUITS LINEAIRES A UN SIGNAL SINUSOÏDAL ?

1. Notion d’analyse de Fourier.

2. Linéarité des systèmes étudiés.

3. Régime sinusoïdal forcé.

II. R EPRESENTATION COMPLEXE D ’ UNE GRANDEUR SINUSOÏDALE .

1. Complexe associé à une grandeur sinusoïdale réelle.

a. Définitions.

b. Dérivation et intégration par rapport au temps des grandeurs complexes.

2. Représentation de Fresnel.

a. Principe.

b. Additions de grandeurs sinusoïdales de même pulsation.

c. Dérivation et intégration par rapport au temps des grandeurs complexes.

III. R EPONSE DES DIPOLES USUELS EN REGIME SINUSOÏDAL FORCE .

1. Impédance complexe.

2. Impédances complexes des dipôles passifs usuels.

a. Résistance.

b. Bobine idéale.

c. Condensateur idéal.

3. Associations de dipôles.

a. Association série.

b. Association parallèle.

IV. M ETHODES ET THEOREMES UTILES POUR L ’ ETUDE DE RESEAUX LINEAIRES EN REGIME SINUSOÏDAL FORCE .

1. Lois de Kirchhoff.

2. Ponts diviseurs.

3. Loi des nœuds en termes de potentiels.

4. Equivalences Thévenin/Norton.

V. E TUDE DU CIRCUIT (R,L,C) SERIE EN REGIME SINUSOÏDAL FORCE . 1. Installation du régime sinusoïdal forcé.

2. Intensité dans le circuit.

a. Résonance d’intensité.

b. Déphasage de l’intensité par rapport à l’excitation.

c. Comportement asymptotique.

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Elec5 2

3. Réponse du circuit aux bornes du condensateur.

a. Résonance de tension (= de charge).

b. Déphasage de la tension par rapport à l’excitation.

c. Comportement asymptotique.

VI. B ILANS D ’ ENERGIE EN REGIME SINUSOÏDAL FORCE .

1. Puissance instantanée reçue par un dipôle.

2. Puissance moyenne reçue par un dipôle : puissance active.

a. Expression.

b. Cas des dipôles usuels.

3. Puissance complexe reçue par un dipôle.

a. Expression.

b. Puissance active, puissance réactive.

4. Applications.

Objectifs

Savoirs :

Savoir que l’on peut associer à une grandeur sinusoïdale : une grandeur complexe et un vecteur de Fresnel. Connaître les propriétés et avantages de chacune de ces représentations.

Connaître les impédances des dipôles usuels R,L et C, pouvoir en déduire leurs particularités et leurs comportements à très haute ou très basse fréquence.

Savoir énoncer les théorèmes et présenter les méthodes utiles dans leur version régime sinusoïdal forcé.

Savoir distinguer puissance instantanée, puissance moyenne (= puissance active) en régime sinusoïdal forcé et puissance en régime continu.

Savoirs faire :

Etant donné un réseau, composé de dipôles linéaires (R,L,C) alimenté par des sources de tension ou de courant délivrant des signaux de pulsation ω :

Savoir déterminer, en représentation complexe, les intensités dans les différentes branches et les tensions aux bornes des différents composants : utilisation des impédances complexes et/ou des théorèmes en complexes.

Pouvoir déduire d'une grandeur complexe l'amplitude et la phase à l'origine du signal sinusoïdal associé.

Pouvoir prévoir les intensités dans les différentes branches et les tensions aux bornes des différents composants à basse fréquence et à haute fréquence.

Savoir étudier en fonction de la pulsation ω, le comportement d'un paramètre (amplitude, phase à l'origine d'une intensité ou d'une tension). Pouvoir repérer d'éventuelles résonances et calculer les bandes passantes correspondantes.

Savoir faire un bilan de puissance en régime sinusoïdal forcé.

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Elec5 3

Questions de cours usuelles

1. Pourquoi s’intéresse-t-on à la réponse d’un circuit linéaire à une excitation sinusoïdale ?

2. Quelle est la grandeur complexe associée à une grandeur sinusoïdale réelle de type

( )

m^cos

( )

x t =X ω ϕt+ ? Quelle est son amplitude complexe ? son amplitude ? sa phase à l’origine ? 3. Donner la représentation de Fresnel de x t

( )

=Xm^cos

(

ω ϕt+

)

puis de y t

( )

=Ym^sin

( )

ωt sur le même

diagramme. Pourquoi parle-t-on parfois de vecteur tournant ?

4. Décrire les effets de la dérivation puis de l’intégration par rapport au temps de la grandeur complexe associée à x t

( )

=Xm^cos

(

ω ϕt+

)

.

5. j xω est-elle la dérivée ou une primitive par rapport au temps de x ? Tracer les représentations de Fresnel de j xω et de x . La grandeur réelle associée à j xω est-elle en avance ou en retard par rapport à celle associée à x ? Ecrire la grandeur réelle associée à j xω .

6. Définir l’impédance complexe d’un dipôle quelconque D.

Déterminer l’impédance complexe d’un conducteur ohmique ; quel est dans ce cas le retard de uR

( )

t par rapport à iR

( )

t ? Déterminer l’impédance complexe d’une bobine idéale ; quel est dans ce cas le retard de uL

( )

t par rapport à iL

( )

t Déterminer l’impédance complexe d’un condensateur idéal ; quel est dans ce cas le retard de uC

( )

t par rapport à iC

( )

t

7. Quel est l’équivalent de l’association série de dipôles D_i d’impédances complexes respectives Z_i ? Même question pour leur association en parallèle.

8. Présenter et démontrer les résultats relatifs aux ponts diviseurs en régime sinusoïdal forcé. A quelle condition est-on en droit d’appliquer un pont diviseur de tension ? de courant ?

9. Présenter (sur un exemple) la loi des nœuds en termes de potentiels en régime sinusoïdal forcé.

10. Exprimer la puissance instantanée puis la puissance moyenne reçue par un dipôle D, orienté en convention récepteur, parcouru par un courant d’intensité i t

( )

=Im^cos

( )

ωt , sachant qu’il introduit un déphasage de ^{u t}

( )

par rapport à ^{i t}

( )

^.

11. Déterminer la puissance moyenne (puis la puissance réactive) : reçue par un conducteur ohmique de résistance R , orienté en convention récepteur, parcouru par un courant d’intensité i t

( )

=Im^cos

( )

ωt . Mêmes questions pour une bobine idéale puis pour un condensateur idéal.

12. Etude de l’intensité qui parcourt un circuit

(

^{R L C, ,}

)

série soumis à la tension ^{e t}

( )

=^Ecos

( )

ω^t : a. Prévoir l’amplitude de l’intensité du courant aux très basses puis aux très hautes fréquences.

b. Déterminer l’amplitude complexe de la tension aux bornes de la résistance. En déduire le comportement dérivateur, suiveur ou intégrateur du montage aux très basses puis aux très hautes fréquences.

c. Déterminer l’amplitude et le déphasage de cette intensité par rapport à la tension ^{e t}

( )

=^Ecos

( )

ω^t . d. Déterminer la pulsation ω_r qui rend l’amplitude de l’intensité maximale.

e. Tracer l’allure des courbes Im

( )

ω et ϕ ωi

( )

.

13. Etude de la tension aux bornes du condensateur dans un circuit

(

^{R L C, ,}

)

série soumis à la tension

( )

^cos

( )

e t =E ωt :

a. Prévoir l’amplitude de la tension aux bornes du condensateur aux très basses puis aux très hautes fréquences.

b. Déterminer l’amplitude complexe de la tension aux bornes du condensateur. En déduire le comportement dérivateur, suiveur ou intégrateur du montage aux très basses puis aux très hautes fréquences.

c. Déterminer l’amplitude et le déphasage de cette tension par rapport à la tension ^{e t}

( )

=^Ecos

( )

ω^t . d. Montrer qu’on n’observe une résonance en tension (aux bornes du condensateur) que dans des

conditions particulières. Déterminer alors la pulsation ω_r qui rend l’amplitude de cette tension maximale.

e. Tracer l’allure des courbes UCm

( )

ω ^et ϕ ωC

( )

en distinguant deux cas.