EXTRAIT DU CATALOGUE DE LA COLLECTION
N 401 à 500
LES ÉTAPES DES MATHÉMATIQUES
PARMI LES PUBLICATIONS DU MÊME AUTEUR Qu'est-ce que le hasard ? l'énergie ? le vide ? la chaleur ? la lumière ? l'électricité ? le son ? l'affinité ? Paris, 41 mille, 1947.
Pour connaître la relativité, l'analogie, l'inertie, la gravitation, le choc, l'incandescence, la luminescence, la fréquence, Paris, 37 mille, 1950.
Idées nouvelles sur l'électron, les piles, les dynamos, l'alternatif, l'in- duction, la radio, la télévision, les ultrasons, Paris, 32 mille, 1946.
La chimie au laboratoire et à l'usine, dans la nature et dans la vie, Paris, 45 e mille, 1948.
L'électricité à la ville, à la campagne, en auto, Paris, 48 mille, 1947.
La chance et les jeux de hasard, Paris, 25 mille, 1948.
Les deux infinis (galaxies, étoiles, planètes, micelles, réseaux, noyaux, neutrons, photons), Paris, 44 mille, 1949.
Le mystère des nombres et des formes (nombres réels et complexes, formes naturelles et artificielles, diagrammes descriptifs du monde matériel et des faits humains), 32 mille, 1947.
La mécanique du visible et de l'invisible, 243 figures, Paris, 1949.
Radio, radar, télévision, Paris, 20 mille, 1954.
La science, ses progrès, ses applications, en collaboration avec GEORGES URBAIN (I. La science jusqu'à la fin du XIX siècle ; II. Les applications et les théories actuelles), Paris, 48 mille, 1948.
La science et la foi, Paris, 1934.
La logique et sa caricature dans les questions actuelles, Presses Uni- versitaires de France, Paris, 1935.
La science des caractères dans ses relations avec la méthode scientifique, Paris, 1936.
Quelques sciences captivantes (hypnotisme, psychanalyse, suggestion, métapsychie, astrologie, radiesthésie), Paris, 1941.
Les certitudes du hasard, coll. « Que sais-je ? », n° 3, P. U. F., Paris, 29 mille, 1951.
L'exploitation du hasard, coll. « Que sais-je ? », n° 57, P. U. F., Paris, 19 mille, 1955.
Les étapes de la mécanique, coll. « Que sais-je ? », n° 130, P. U. F., Paris, 19 mille, 1955.
L'occultisme devant la science, coll. « Que sais-je ? », n° 161, P. U F., 23 e mille, Paris, 1953.
Le secret des couleurs, en collaboration avec JEAN DOURGNON, coll.
« Que sais-je ? », n° 220, P. U. F., Paris, 19 mille, 1956.
Les étapes de la logique, en collaboration avec JACQUES REINHART, coll. « Que sais-je ? », n° 225, P. U. F., 19 mille, 1954.
Électricité-Magnétisme, coll. « Que sais-je ? », n° 243, P. U. F., Paris, 19 mille, 1953.
L'élite de demain, en collaboration avec ANDRÉ BOLL, Paris, 1947.
L'éducation du jugement (constater, expliquer, prévoir, s'adapter), P. U. F., Paris, 1954.
Les étapes de la connaissance, en collaboration avec JEAN-CLAUDE PAGÈS, Paris, 1953.
« QUE SAIS-JE ? »
LE POINT DES CONNAISSANCES ACTUELLES
LES ÉTAPES
DES
MATHÉMATIQUES
par
Marcel BOLL
47 figures ; 2 index
PRESSES UNIVERSITAIRES DE FRANCE 108, BOULEVARD SAINT-GERMAIN, PARIS
1956
TRENTE-DEUXIÈME MILLE
DÉPOT LÉGAL 1 édition 4e trimestre 1941 7 — . . . 2 — 1956
TOUS DROITS
de traduction, de reproduction et d'adaptation réservés pour tous pays COPYRIGHT
by Presses Universitaires de France, 1941
AVANT-PROPOS
Parler de mathématiques à un public assez étendu est une besogne hérissée d'embûches. Peu de savants s'y sont essayés, et rares sont les véritables réussites, depuis Clairaut et Condil- lac jusqu'à Pierre Boutroux et Tobias Dantzig. N'est-il pas survenu une incroyable mésaventure à l' Encyclopédie française, qui formait le louable projet de « renseigner la plus grande masse d'hommes » ? Sa partie mathématique, parue en 1937, compte trois cents grandes pages, dont les quatre cinquièmes passent par-dessus la tête... des professeurs de mathématiques des classes de lycées !
On ne peut guère faire moins que de supposer au lecteur une bonne instruction primaire, au risque — par une ironie des choses — d'éliminer un certain nombre de « secondaires », notamment ceux que des leçons anachroniques ont dégoûtés des mathématiques pour le reste de leur existence... Certains auteurs ont pensé se maintenir à un niveau élémentaire, en bannissant la plupart des formules. C'est le programme que nous adoptons, mais il ne nous suffit pas : les longues phrases, agrémentées de mots hermétiques, farcies d'érudition, sont encore plus indigestes, et il importe de les proscrire impi- toyablement.
Il n'y a pas de sujet plus actuel que le récit des étapes de la pensée mathématique, à la condition qu'on les examine avec des yeux neufs ; car, d'une part, les mathématiques sont devenues — de l'avis unanime — une théorie physique ; et, d'autre part, les bouleversements récents de la physique (même dans l'hypothèse peu probable où ils ne seraient pas entérinés) interdisent tout retour en arrière. La « victoire de l'esprit moderne », qu'exalte Maurice Caullery dans cette même collec- tion, date, en mathématiques, de moins d'un siècle ! elle y fut plus tardive qu'en biologie ! C'est là une constatation, qui surprendra sûrement le grand public cultivé, mais davantage encore, peut-être, ceux qui ont le périlleux devoir d'initier la jeunesse à l'arithmétique et à la géométrie.
Les erreurs, toujours virulentes, de la pédagogie mathéma- tique sont un triste exemple de routine et de déformation professionnelle. Et cependant, les reproches autorisés n'ont pas fait défaut : « abus de la déduction et poursuite périmée de vérités absolues » (P. Boutroux) ; « sèche et étroite technicité » (T. Dantzig) ; « méconnaissance de la nature expérimentale de cette science » (F. Gonseth) ; « ignorance parfaite de son rôle social à travers les âges » (L. Hogben). Trop souvent, on a fait
« coup double » : ceux qui enseignent les mathématiques ne sachant pas comment elles servent et ceux qui ont à s'en servir ne les connaissant pas...
Au cours de ces pages, le lecteur ne retrouvera donc à peu près rien de ce qu'on a tâché de lui apprendre. Mais, comme notre principal but est d'être accessible, intuitif et suggestif, nous avons renoncé sans regret à un palmarès complet et à une chronologie copieuse : qu'importe, après tout, que tel savant soit omis ou que la contribution de tel siècle ne soit pas explicitement résumée ?
Il convient, au contraire, de monter en épingle une dizaine d'idées maîtresses, qui ont pris corps, non sans faux pas, depuis les origines jusqu'à nos jours, chacune d'elles étant élucidée par des exemples familiers, par des tableaux de nombres, par des figures soignées, sans négliger leurs connexions mutuelles ; il est certes plus utile de comprendre les décou- vertes primordiales que d'aligner une foule de détails par ordre d'ancienneté.
Sans lasser l'attention, ces sondages sont destinés à fournir une vue d'ensemble sur l'édification de cette science vivante et profondément humaine, intimement liée aux techniques de l'Univers matériel et à celles des faits humains (1).
(1) On, trouvera des compléments d'ordre très général dans l'ou- vrage collectif : Les grands courants de la pensée mathématique, Les Cahiers du Sud, 1948.
CHAPITRE PREMIER NOS DIX DOIGTS ET LE ZÉRO Les animaux supérieurs, les hommes primitifs ou sauvages, les très jeunes enfants ne sont pas complè- tement étrangers au nombre et à l'espace ; ils pos- sèdent, tous, des notions rudimentaires d'arithmé- tique et de géométrie, c'est-à-dire de ces deux scien- ces — d'abord isolées — qui se sont ensuite enche- vêtrées, en constituant les mathématiques.
Bornons-nous, pour l'instant, au nombre, et contentons-nous de deux exemples. On dresse un chardonneret à choisir entre deux petits tas inégaux de graines. On constate alors qu'à la longue, il parvient à distinguer :
trois et un, trois et deux, quatre et deux, six et trois ; mais il confondra toujours :
cinq et quatre ; sept et cinq ; huit et six.
Un enfant de quatorze mois, qui s'amuse avec trois poids d'un pèse-bébé, cherche l'un des poids, si on le lui a caché, et, après l'avoir retrouvé, le replace auprès des autres.
On peut alors parler d'une perception de la plu- ralité : cela signifie que l'oiseau ou l'enfant se ren- dent vaguement compte d'une différence entre deux ensembles d'objets analogues ; de même, encore, ces intelligences peu développées reconnaissent qu'un ensemble (peu nombreux) a subi une modification, quand il est aperçu une deuxième fois, après qu'on lui a enlevé ou ajouté un constituant.
Nos contemporains de la brousse sud-africaine ne disposent que de trois noms de nombres, corres- pondant respectivement à « un », « deux », « beau- coup ». Et nous avons toutes les raisons de penser que nos lointains ancêtres n'étaient pas mieux doués à ce point de vue (1).
L'homme préhistorique n'était donc guère plus avancé que certains oiseaux, et c'est cependant de ce noyau qu'est sortie notre conception du nom- bre ! Il n'y a pas le moindre doute que, réduit à cette perception directe, l'homme n'aurait pas fait, en calcul, plus de progrès que les oiseaux [12]. Et il a fallu beaucoup de siècles, pour qu'on découvrît que le-jour-et-la-nuit et un couple de lièvres sont des exemples du nombre « deux» [38] (2).
Cette perception directe de la pluralité est extra- ordinairement bornée : elle se ramène, le plus sou- vent, à la vision globale de « l'espace occupé » par un ensemble d'objets ; aussi, ne porte-t-elle que sur un nombre très petit de constituants, quatre par exemple. En dépit des allégations inconsidérées d'un littérateur [28] aussi crédule que fameux, toutes les expériences qu'on a pu faire sur les chiens, les chevaux et autres animaux domestiques ont échoué [12].
A la suite d'une longue et pénible évolution, sur laquelle nous aurons l'occasion de revenir, l'homme
(1) Ainsi, les langues européennes ont conservé la trace de ces limitations : ter (en latin) et thrice (en anglais) signifient aussi bien
« trois fois » que « extrêmement » ; on constaterait d'autres parentés évidentes entre les mots latins très (trois) et trans (au delà), entre les mots français très et trois,...
(2) Pour les numéros en caractères gras entre crochets, se repor- ter à l'index des références (p. 124) ; on consultera également l'index historique (p. 126).
a fini par se rendre maître de deux techniques, qui font désormais partie de son« équipement mental» : l'appariement et le recensement.
La première de ces techniques mérite qu'on s'y arrête un instant, car nous signalerons plus tard (pp. 63 et 68) le rôle fondamental qu'elle joue dans les plus récents progrès de la science des nombres.
Entrons, par exemple [12], dans un salon. Nous avons devant nous deux ensembles, les sièges et l'assistance. Un coup d'œil attentif nous révélera que ces deux ensembles sont égaux, et, s'ils ne le sont pas, quel est celui des deux qui est le plus grand : 1° Si chaque siège est occupé et si personne n'est debout, nous savons pertinemment que les deux ensembles sont égaux ;
2° S'il n'y a pas de siège libre et s'il y a des gens debout, nous savons, en toute certitude, qu'il y a plus de personnes que de sièges. Et ainsi de suite.
Cette connaissance, nous l'obtenons grâce à un procédé, qui domine toutes les mathématiques [12] et que nous nommerons appariement (1) : il consiste à faire correspondre, à chaque constituant d'un des ensembles, un constituant de l'autre ensemble, en continuant ainsi jusqu'à ce qu'un des ensembles
— ou tous les deux — soit épuisé.
Que le lecteur se garde de sourire devant la sim- plicité d'un tel procédé ! Ou alors, il sourira à chaque page de cet exposé... Ce qui fait la difficulté des mathématiques, ce ne sont pas les points de départ, qui sont puisés dans l'expérience la plus familière ; c'est bien plutôt l'enchaînement des idées, auquel les hommes, dits cultivés, sont particulièrement mal
(1) On pourrait aussi bien dire : « accouplement ». Le terme technique est : « correspondance biunivoque », qui se conçoit aisé- ment, grâce aux explications qui suivent. Cette correspondance est popularisée par l'aphorisme : « une place pour chaque chose, et chaque chose à sa place »
entraînés : après avoir souri deux ou trois fois, on commence à froncer les sourcils...
L'appariement nous suggère deux remarques : D'une part, il repose exclusivement sur le nombre le plus simple (après l'unité), le nombre deux, pour lequel nous disposons de divers synonymes : paire, couple, duo, doublet, jumeaux, attelage.
D'autre part, nous avons là un cas très suggestif d'interdépendance, notion capitale du savoir humain.
En comparant deux ensembles par la méthode de l'appariement, on apprend quel est celui qui est
« le plus nombreux », quel est celui dont la « puis- sance » est la plus grande.
Au premier abord, on pourrait croire que l'appa- riement ne fournirait qu'un moyen de classement de deux ensembles, sans pouvoir donner naissance à la notion de nombre. La même difficulté se présente dans toutes les mesures relatives, par exemple, quand on dit qu'un melon est plus gros — ou plus lourd — qu'une cerise. Dans tous les cas, il convient de choisir une grandeur-type, un« étalon».
Des ensembles-types, l'homme primitif en trouva dans son entourage immédiat. Pour les anciens Hindous, la Lune ou la Terre représentèrent long- temps le nombre un. Les ailes d'un oiseau ont sym- bolisé le nombre deux ; les feuilles du trèfle, trois ; les pattes d'un chien, quatre ; les doigts d'une main, cinq. Ces mots (ou d'autres analogues) — par exem- ple : moi, jambes, trèfle, pattes, main,... — ont précédé nos désignations actuelles. De tous ces ensembles, l'un d'eux devint bientôt prédominant, du fait même que chacun l'avait, pour ainsi dire, « sous la main » : c'est l'ensemble de nos
dix doigts, auquel diverses peuplades sauvages adjoignirent les dix orteils. Il ne fait aucun doute que ce sont ses doigts qui ont enseigné à l'homme à compter et à étendre la suite des nombres. Le
« calcul digital » était fort en honneur au moyen âge ; et, même à l'heure actuelle, il sert d'auxiliaire à beaucoup plus de personnes qu'on ne pourrait le supposer. C'est ainsi qu'est apparu le recensement (appelé encore « dénombrement» ou « comptage»), dont les derniers prolongements forment une science importante, décriée à la légère, la « statistique ma- thématique» [13].
De par les recensements, la notion de nombre revêt deux aspects complémentaires, que nous fixe- rons par un exemple intuitif. L'année 1936 est un ensemble de 366 jours ; on dit que 366 est son nom- bre cardinal. Mais, quand on considère le 7 mars de cette année-là, le nombre sept — en dépit de la terminologie — n'est pas un nombre cardinal. Il désigne le septième jour du troisième mois, c'est- à-dire le soixante-septième jour de l'année 1936.
« Soixante-septième » est un nombre ordinal (ou
« numéro »), qui spécifie le rang d'un constituant par- ticulier dans un ensemble, dont le nombre cardinal (la « puissance ») est 366.
Le recensement est une opération compliquée, qui met à profit, non seulement le procédé — beau- coup plus simple — de l'appariement, mais aussi le choix d'un étalon. Tout le monde connaît cet étalon, cette échelle « naturelle » de comparaison : c'est la suite des nombres entiers, que l'on appelle, plus volontiers, la suite des nombres naturels.
L'arithmétique part de ce fait expérimental qu'il est toujours possible de passer d'un nombre quel- conque à son suivant. L'appariement, à lui seul, est incapable de fonder l'arithmétique : si l'on ne savait
pas « ordonner » les objets, c'est-à-dire les disposer suivant la succession naturelle, notre mentalité serait celle des tribus sauvages. Toutes les mathé- matiques, toutes les sciences sont profondément im- prégnées des deux principes, d'appariement et de succession [12]. En science, il s'agit, par-dessus tout, de comprendre à fond la signification et la portée des deux locutions : AVEC et ET PUIS. Et ce n'est pas chose facile...
Tel est — rapidement esquissé en langage mo- derne — l'aspect logique du nombre. L'essentiel en était déjà connu d'Archimède (1), qui, cependant, ne disposait d'aucun système de numération !
Les premiers recensements effectués en Egypte (2) remontent à soixante siècles, soit certainement à plusieurs millénaires avant l'invention de l'écri- ture [12]. C'est dire que le nombre apparut et se développa d'abord dans des sociétés inférieures, dont l'activité mentale se caractérisait, avant tout, par le mysticisme, qui est la croyance à des forces, des influences, des actions imperceptibles aux sens, et cependant considérées comme réelles [25]. En plus de son aspect logique, le nombre présenta donc un aspect mystique, qui se perpétue chez bon nombre de nos contemporains.
(1) Le plus grand savant de l'antiquité (mesure de la circonfé- rence, idée du calcul intégral, statique et hydrostatique, optique).
Né à Syracuse ; tué, dans sa ville natale, par un soldat romain.
On a fait plaisamment remarquer qu'aucun Romain ne perdit jamais la vie, pour s'être trop absorbé dans un travail intellectuel. Dans la Vie de (l'obscur soldat) Marcellus, Plutarque a glissé l'assassi- nat d'Archimède comme une mince tranche de jambon dans un énorme sandwich... [2]. (2) Le papyrus de Rhind (beaucoup plus récent : XVIII siècle avant notre ère) traite de problèmes de répartitions de vivres et autres fournitures.
Collection dirigée par Paul Angoulvent
ÉDIT
24.273
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