Échangeur thermique

TF06_convection_09.xmcd

TF06

- Convection - Exercice 9

Échangeur thermique

_T1E:= 85×°C T2E:= 5×°C ep:=2×mm Le:=36×m

D1:=2.5×cm D4:=4.2×cm D2:=D1+2×ep D3:=D4-2×ep D2= 2.9×cm D3= 3.8×cm V1 60 L

×min

:= V2 30 L

×min V₁ et V₂ sont les débits volumiques : :=

Définition des paramètres (eau à 45°C):

ρ 990 kg m³

×

:= μ:=0.65 10× ^-3×Pa×s cP 4.18 kJ kg °C×

×

:= λ 0.602 W

m °C×

×

:= λP 45.2 W

m °C×

× :=

conductivité thermique du tube Différentes définitions du débit d'énergie échangée entre les 2 fuides :

Φ⁼ρ×V1×cP^×

(

T1E T1S-

)

^Φ=ρ×V2×cP^×

(

T2S T2E-

)

^{Φ=U S× ×Δθ} _Δθ ^ΔT0-ΔTL

ln ΔT0 ΔTL

æ ç è

ö ÷ ø

=

U 1

1 h2

D2 h1 D1×

+ D2

2×λP ln D2 D1

æ ç è

ö ÷

×

ø

+

= 1

U S× 1 h1 S1×

1

2×πLe×λP ln S2 S1

æ ç è

ö ÷

×

ø

+ 1

h2 S2× +

= avec S = S₂

Prandtl : S1:= π×D1×Le S2:=π×D2×Le

Calcul du coefficient de transfert h₁ : Reynolds : Re1 4×ρ×V1

π μ× ×D1 =77570

:= turbulent Pr cP×μ

λ =4.513 :=

Nusselt Nu1

Re1-1000

( )

^×Pr

8 0.79^×

(

^×ln Re1

( )

^-1.64

)

²

1 12.7×

(

Pr^{2 3¸} -1

)

0.79^×ln Re1

( )

^-1.64

( )

^{× 8}

+

396.3

= :=

h1 Nu1×λ

D1 9.542 kW

m²×°C

×

= :=

Définition des critères adimensionnels dans l'espace annulaire (entre D₂ et D₃)

Calcul du coefficient de transfert h_{2 :} Re ρ×u2×DH

= μ Définition du diamètre hydraulique D_H : DH 4×Ω

Pmouillé

=

DH:=D3 D2- DH =0.900×cm DH

4 π×D3² 4

π×D2² - 4

æç çè ö÷

×

÷ø

π×D3+π×D2

= =D3 D2-

u2 [debit] section

[ ]

= V2

π×D3² 4

π×D2² - 4

=

Re ρ 4×V2 π

æ

D3²-D2²

è ö

×

ø

× D3 D2-

× μ

= Re2 4×ρ×V2

π μ× ^×

(

D3 D2+

)

⁼¹⁴⁴⁷²

:=

turbulent

Nusselt Nu h De×

= λ De 4×Ω

Ptransfert

= Nu2

Re2-1000

( )

^×Pr

8 0.79^×

(

^×ln Re2

( )

^-1.64

)

²

1 12.7×

(

Pr^{2 3¸} -1

)

0.79^×ln Re2

( )

^-1.64

( )

^{× 8}

+

= 93.6 :=

De : diamètre équivalent ou diamètre thermique De

4 π×D3² 4

π×D2² - 4

æç çè ö÷

×

÷ø

π×D2 = 2.1×cm

:= h2 Nu2×λ

De 2.709 kW

m²×°C

×

= :=

U 1

1 h2

D2 h1 D1×

+ D2

2×λP ln D2 D1

æ ç è

ö ÷

×

ø

+

1.858 kW m²×°C

×

=

:= S:=S2 = 3.28m²

U S× = 6.093 10´ ³×W K× ^-1

MH 1/3 ^10/06/2013

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Étude à co-courant :

_ΔT0:=_{T1E T2E}- ΔTL T1S T2S= - C1:=ρ×V1×cP C2:=ρ×V2×cP Φ⁼C1 T1E T1S^×

(

-

)

⁼C2 T2S T2E^×

(

-

)

C1= 4.138 10´ ³×W K× ^-1 C2= 2.069 10´ ³×W K× ^-1

Φ

(

T1E T1S-

)

⁺

(

T2S T2E-

)

1 C1

1 + C2

= Φ ΔT0-ΔTL

1 C1

1 +C2

= Φ ΔT0-ΔTL

1

U S× ln ΔT0 ΔTL

æ ç è

ö ÷

×

ø

= 1

C1 1

+ C2 1

U S× ln ΔT0 ΔTL

æ ç è

ö ÷

×

ø

=

ΔTL ΔT0 exp 1 C1

1 +C2

æ ç è

ö ÷

-

ø

×U×S

é ê ë

ù ú

×

û

:= Φ ΔT0-ΔTL

1 C1

1 + C2

109.0×kW

= ΔTL =1.0×°C :=

T1S T1E Φ - C1

:= T2S T2E Φ

+ C2 :=

T1E= 85×°C T1S= 58.7×°C co-courant : T2E= 5×°C T2S= 57.7×°C Φ=109.0×kW

DTML=17.9×°C

Étude à contre-courant :

_{ΔT0 T1E T2S}= - ΔTL T1S T2E= -

Φ⁼C1 T1E T1S^×

(

-

)

⁼C2 T2S T2E^×

(

-

)

^(A)

(B) Φ

(

T1E T1S-

)

^-

(

T2S T2E-

)

1 C1

1 - C2

=

(

T1E T2S-

)

^-

(

T1S T2E-

)

1 C1

1 -C2

= Φ U S×

(

T1E T2S-

)

^-

(

T1S T2E-

)

ln T1E T2S- T1S T2E-

æ ç è

ö ÷ ø

×

=

(B) T1E T2S-

T1S T2E- exp U S× 1 C1

1 - C2

æ ç è

ö ÷

×

ø é ê ë

ù ú

=

û

Posons : Ke exp U S× 1

C1 1 -C2

æ ç è

ö ÷

×

ø é ê ë

ù ú

:=

û

Ke= 0.229379

(A) T2S T2E- T1E T1S-

C1

= C2 Posons : Kv C1

:= C2 Kv= 2

(B) Ke T1S× +T2S =T1E Ke T2E+ × en soustrayant (B) de (A) :

(A) Kv T1S× +T2S =Kv T1E× +T2E (Kv Ke- ) T1S× = (Kv-1) T1E× +(1-Ke) T2E×

T1S (Kv-1) T1E× +(1-Ke) T2E× Kv Ke-

:= T2S:=Kv T1E× +T2E-Kv T1S×

2 1-

( )´85+(1 0.229379- )´5

2 0.229379- =50.2 2 85´ +5-2 50.2´ =74.6

Φ^:=C1 T1E T1S^×

(

-

)

^=144.1×kW

T1E= 85×°C T1S= 50.2×°C contre-courant : T2S= 74.6×°C T2E= 5×°C Φ=144.1×kW

DTML=23.6×°C

MH 2/3 ^10/06/2013

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On peut également utiliser la méthode du NUT (Nombre dUnités de Transfert) On dit NTU en anglais

Les calculs sont considérablement simplifiés.

On commence par définir les débits de capacité thermique (appelés aussi débits calorifiques) : débit massique × capacité thermique massique

C = m·c_P = ρ·V·c_P

C1:=ρ×V1×cP C1= 4.138 10´ ³×W K× ^-1 C2:=ρ×V2×cP C2= 2.069 10´ ³×W K× ^-1 La puissance échangée s'écrit alors : Φ⁼C1 T1E T1S^×

(

-

)

⁼C2 T2S T2E^×

(

-

)

On détermine le plus petit et le plus grand

de ces paramètres Cmin^:=min C1 C2

(

,

)

Cmax max C1 C2^:=

(

,

)

On en déduit le débit énergétique maximal

échangé Φmax^:=Cmin T1E T2E^×

(

-

)

^Φmax= 165.5×kW Ainsi que le rapport des débits de capacité

thermique CR Cmin

:= Cmax CR =0.5

On en déduit le nombre d'unités de transfert (NUT NUT U S×

:= Cmin NUT=2.945

Toutes ces valeurs ci-dessus sont les mêmes en co-courant et à contre-courant.

Rappelons par ailleurs la définition de l'efficacité, dont les valeurs sont différentes selon la disposition de l'échangeur..

ε Φ

Φmax

=

Étude à co-courant :

_εcoc ^{1-exp NUT}

_éë

^{- ×}

(

^1+CR

) _ùû

1+CR

:= εcoc= 0.659

εcoc= 65.9×% Φ:=εcoc×Φmax Φ=109.0×kW

T1S T1E Φ - C1

:= T2S T2E Φ

+ C2 :=

T1S= 58.7×°C T2S= 57.7×°C DTML=17.9×°C

Étude à contre-courant :

_εctc ^{1-exp NUT}

_éë

^{- ×}

(

^1-CR

) _ùû

1^-CR exp NUT^×

_éë

- ^×

(

1-CR

) _ùû

:= εctc= 0.87

εctc= 87.0×% Φ:=εctc×Φmax Φ=144.1×kW

T1S T1E Φ - C1

:= T2S T2E Φ

+ C2 :=

T1S= 50.2×°C T2S= 74.6×°C DTML=23.6×°C

On retrouve bien les valeurs calculées avec la méthode DTML !

MH 3/3 ^10/06/2013