PSI* 2020/2021
Préparation des oraux — analyse
1. (Centrale) Donner un équivalent simple de
n−1
k=0
√ 1
4n2−k2.
2. (Mines) Étudier la suite(xn) vérifiant x0 ∈]0,1[ et xn+1 =xn−x2n. À l’aide de 1 xn+1 − 1
xn, trouver un équivalent de xn.
3. (Centrale) Montrer que :∀n ∈N∗ ∃!xn ∈ R exn+xn = n ; étudier la suite (xn) et la nature de la
série 1
nαxn
. Montrer que : xn =
n→∞lnn− lnn
n +o lnn n . 4. (Centrale) Nature de un, oùun=
∞
k=n
(−1)k
k ?
5. (CCP)Étudier, suivant les valeurs deα, la nature de la série de terme généralun= 1 nα
+∞
n
dt (t7+ 1)1/6. 6. (Mines)Soitθ∈R\πZ; étudier la convergence et calculer la somme de la série
n≥2
1
n2+ 2ncosθ−sin2θ. 7. (CCP) Nature de un , vn , où
un= arctan (n2+ 1)−√
arctann2 , vn= sin arctan (n2+ 1) −sin √
arctann2 .
8. (X) Soit (an) une suite de réels positifs etσ une bijection de Ndans N. Montrer que an converge si et seulement si aσ(n) converge. Qu’en est-il si σ est seulement injective ? Surjective ?
9. (Mines) Soit f :x→ln x2+ 1 −arctanx. Étudier les zéros def(n) pour toutn∈N∗. 10. (CCP) Primitives de x→√
1 + sinx.
11. (Centrale) Déterminer les limites en 0 et+∞deα→α·
∞
n=1
1 nα+1.
12. (Centrale) Limite et équivalent deIn=
1 0
ln (1 +tn) dt(poser tn=x).
13. (Centrale) Soit In=
1 0
xnf(x)dx, où f est continue sur[0,1], à valeurs réelles.
Trouver les limites des suites (In) et (n+ 1)In . 14. (CCP) Rayon de convergence de (−1)n n!
nn ·x3n−1. Étudier la convergence au bord.
15. (Centrale) Rayon de convergence et calcul de la somme de anxn,où an= 1 +1
2 +...+ 1 n. 16. (CCP) Existence et calcul de +∞
1
arcsin1 x −1
x dx.
17. (CCP) Montrer que fn:t→ sinnt
1 +nt+t2 est intégrable sur R+. Déterminer lim
n→∞
+∞
0
fn(t) dt.
18. (Mines) Calculer f(x) =
+∞
0
arctan(tx) t(1 +t2) dt.
19. (Centrale) Pourx >0, développer s(x) =
+∞
0
sint
ext−1dt en série de fractions rationnelles.
Montrer que : s(x) ∼
0+
π 2x.
20. (X) Étudier la suite(un) où un=
n k=1
1
k −lnn. Calculer +∞
0
e−t−e−kt
t dtpour k dansN∗. Montrer que (un) converge vers +∞
0
1
1−e−t −1
t e−tdt.
21. (Centrale) Étudier l’arc défini parx(t) = et
1 +t , y(t) = tet
1 +t ; préciser les points d’inflexion.
22. (ENS PT) Étudier puis tracer la courbe donnée par M(t) = −2 t2, 1
t3 . Donner les équations de la tangente et de la normale au point de paramètre t.
Montrer qu’il existe exactement deux droites qui sont à la fois tangente et normale à la courbe.
23. (Centrale) Trouver les f ∈ C1(R,R) telles que f′(x) =f(1−x).
24. (Mines) Intégrer2xy′+y= ln(1 +x).
25. (Centrale) Soitf continue et intégrable surR; on considère l’équation différentielle(E)y′−y+f = 0.
Montrer que (E) admet une unique solutionF bornée surR; comment se comporte F à l’infini ? 26. (CCP) Résoudre sur ]0, π[ : y′′+y= 1
sinx.
27. (Mines) Intégrerxy′′−y′+ 4x3y= 0(changement de variable x2 =t).
28. (CCP) Montrer que (E) t2y′′+ 4ty′+ 2−t2 y−1 = 0 admet une unique solution développable en série entière en 0 ; l’exprimer à l’aide des fonctions usuelles. Montrer que t → −1/t2 est solution de (E). En déduire la solution générale de(E).
29. (Centrale) Soit f : (x, y)→
∞ n=1
un x2+y2 où un:t→ e−nt n2 .
Montrer que f est continue surR2 et qu’elle est de classe C1 surR2\ {(0,0)}. 30. (CCP) SurR+∗×R,x∂f
∂x +y∂f
∂y = y
x. Trouver f à l’aide du changement de variablesu=x etv= y x. 31. (Centrale) Calculer min
(a,b)∈R2 1 0
(tlnt−at−b)2dt.
32. (Mines) Trouver maximum et minimum def : (x, y, z)→xy+yz+zx sur
∆ = (x, y, z)∈(R+∗)3 / x+y+z= 1 .
33. (CCP) Soit la parabole P/ y2 = 2px; la normale en M recoupe P en N. Quelle est la longueur minimale de la corde [M, N]?
34. (CCP) Soient dans le plan E/4x2+y2 = 1etD/ x−y= 0.
Trouver les tangentes à E parallèles à D. Déterminer les points de contact.
35. (CCP) Soit S / x3+y3= 1. Déterminer les plans tangents àS passant par le point(1,1,0).
