CONTRÔLE COMMUN

CONTRÔLE COMMUN

.

L'usage de

la

calculatrice est autorisé.

.

_{Le sujet n'est pas} à rendre avec

la

copie.

'

^{2 points de} présentation seront réservés à

la

rédaction, au soin et à la présentation _de la copie.

Exercicel (3points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune

justifîcation

n'est demandée.

Pour chaque questioq 4 réponses sont proposées, une seule est exacte.

Sur la copie. indiquer le numéro de la question et recopier la bonne réponse.

Exercice2 (3points)

Un décagone est un polygone à 10 côtés.

Construire un décagone régulier inscrit dans un cercle de rayon 5 cm.

Exercice3 (6points)

Les quatre couleurs d'un

jeu

_{de cartes} sont : cæur, carreau, trèfle et pique.

Les carreaux et les cæurs sont rouges, les trèfles et les piques sont noirs.

Les valets, les dames et les rois sont appelés les fîgures.

Marc tire

au hasard une carte dans un

jeu

_de

32

caftes (chaque couleur comporte les cartes

7,

8,

g, _lO,

valet, dame,

roi

et as).

Paul

tire

au hasard une carte dans un

jeu

de 52 cartes (chaque couleur comporte les cartes

2,3,4,5,6,7,

8, 9, 10, valet, dame,

roi

et as).

1)

Calculer la probabilité qu'a chaque garçon de

tirer le

10 de caffeau.

2)

Calculer la probabilité qu'a chaque garçon de

tirer

le 3 de trèfle.

3)

Chaque garçon

a-t-il

la même probabilité de

tirer

un pique

?

Justifier.

4)

_Qui ^a la plus grande probabilité de

tirer

un

roi ?

Justifier.

5) _Qui

a la plus grande probabilité de

tirer

une carte rouge

?

Justifier.

6)

_Qui ^a la plus grande probabilité _de

tirer

une fîgure noire

?

Justifier.

1 Quelle ^est l'expression développée de ^(3;r +

5)'

^?

9x2+15aa25

9x2 + ₂₅

9x2+3gva25

9x2

+ l0

2 Quelle ^est I'expression factorisée de l6x2

-

^{49 ?}

(4x

-

⁷⁾²

(4x+7)(4x-7) (16x+7)(t6x-7) (4x-49)(4x+49)

3 Si -r

: _-2,

alors I'expression

5x'+

2a

-

^{3 est égale à :}

-27 -73 t7

13

Exercice

4

⁽ 2-5 noints )

Le schéma ci-contre représente un tabouret pliant.

Ona:CG:DG:30cm, AG: BG:45

cm,

arma

AB:51

cm.

Pour des raisons de confort, I'assise

[CD]

^est parallèle au sol représenté par la droite

(AB)

Calculer la longuew CD de I'assise.

Exercice

5

⁽ 4-5 noints )

1) Ondonne A: Jn+5Jn-J300

Montrer que

A

peut s'écrire plus

simplement

3^11

asslse

où a et ô sont entiers,

b

étant le plus petit possible.

sol

2) on

donne

B : 'f 49Ym

./5

Montrer que

B

est un nombre entier.

3)

Ondonne C: ,Fn-2.[50

Écrire C sous la

forme

o nlb

Exercice6 (5poinls)

ABCDE

est un pentagone régulier de centre O.

Calculer les mesures des

angles É6e , m ^{et em}

ExerciceT (3points)

Un

vendeur possède un stock

de

120 flacons de parfum _au tiare

ü de

144 savonnettes au monoT.

Il

veut écouler

tout

ce stock en confectionnant

le plus

grand nombre de coffrets « Souvenirs de Polynésie

»

de sorte que ^:

.

le nombre de flacons de parfum soit le même dans chaque coffret

.

le nombre de savonnettes soit le même dans chaque coffret

.

tous les flacons et toutes les savonnettes soient utilisés.

Trouver le nombre de

coftets

^à préparer et la composition de chaque coffret.

Exercice

I

⁽ 4,5 points )

La figure ci-dessous n'est pas en vraie grandeur et n'est pas à reproduire.

AB :

_6,25

_{cm; AC} :

_{5 cm ; BC}

:

_{3,75 cm.}

M

appartient au segment

[AC]

^{tel que}

AM:

^{4 cm.}

N

appartient au segment

[AB] ^tel

^que

AN:

^{5 crn.}

Montrer que le triangle

ABC

est rectangle. Préciser en quel point.

Les droites

(I\fl§)

et @C) sont-elles parallèles

?

Justifier.

Exercice

9

⁽ 6,5 points )

1)

Recopier et compléter les égalités suivantes ^: (4x

+ ...)': ... +

24x

+

...

( -...)': ^30x+9

2)

On donne D

:

_(2x

_{- 3)' et E: (2x-}

3)(-5-r + 2).

a)

Déveiopper et réduire

D

et E.

b) FactoriserD+E.

3)

On désigne respectivement par x et

y

deux nombres, x étant le plus petit des deux.

On

sait que

la

différence entre ces deux nombres est

3

et que

la

différence entre leurs deux carrés est 57.

1) 2)

En utilisant une identité remarquable, calculer combien vaut la sofirme de ces deux nombres.

Exercice 1

(3x+5)'z :9x2+30x+25. (1) 16x2-49 : (4x+7)(4x-7). ⁽¹

₎

Six : _{-2,alors 5xz+Zx-3} : 5(-Z)'+2(-2)-3 : 5x4-4-3 :20-7:13. ^{( 1)}

Exercice 2

1 point pour le calcul : 360o

: 10 : _{36o et}

_{2 points} pour la construction du décagone régulier.

Exercice 3

1) PourMarc

^: p(«

tirer le

¹⁰ de carreau

») :

+ .

^{( 0,5 )}

Pour Paul, p(«

tirer le

10 de carreau

») :

+ .

^{( 0,5 )}

2) PourMarc:p(«tirerle3detrèfle»):0 (iln'yapasde3dansunjeude32cartes). (0,5)

Pour Paul ; p(«

tirer

le 3 de

trèfle ») :

+ .

^{( 0,5 )}

3)

Pour

Marc

: p(« tirer un pique

») '324 : * + : ^0,25.

Pour Paul : p(«

tirer

un pique

») : # :

+ : _0,25.

Les deux probabilités sont

égales. ⁽

¹

₎ 4)

Pour

Marc

: p(« tirer un

roi ») :

+ * : _0,125.

PourPaul

; p(«

tirer

rut

roi

>r)

:

* : 44 *

32

^5"

5)

Pour

Marc

^: p(« tirer une carte rouge

») :

* + :

_0,5.

Pour Paul : p(«

tirer

une carte rouge

») :

# + :

_0,5.

Les deux probabilités sont

égales. ⁽

¹ ₎

6)

^Pour

^Marc

^{: p(«}

^tirer

^une figure noire

») :

* :

* :

_0,1875.

Pour Paul : p(«

tirer

une figure noire

») :

* *

33

Exercice 4

C e

(GB),

D e (GA)

et (CD)

i/ (AB).

⁽ _{0,5 )}

DanslesfiianglesCDGetGAB, d'aprèslethéorèmedeThalès,ona' ffi: H: ffi ^{( I}

⁾

Calcul de

CD

^.

cD - qc _{---) cD} - ³⁰

^-.--+

cr-1x45:51x30 --+ cDx45:1530

AB GB 51 45 -u,{45:51x30 ^--+ CDx45:1530

^---+

CD: Ïfl

-+ CD:34cm. (1)

Exercice 5

1) A: ,[n+s.,!r-J300 : ,6x:+s/4x3-^/'i00x3

Jsx/5+sx/4xJ5-Jtoox/: : _3xi,6+ sx2xd:-loxJ5

: :J3+toJr-to.,6 3\ry ⁽

1,5 )

2)B: @P: "tr: W: W: ^W:14

14 est un nombre

entier. ⁽

_{1,5 )}

3) c :

"81-zt$ : .t36x2-2x,[25x2 : tt-NxrT.-zxtl-xx'[i

ax^[1-zxsx'[1 6'[2-10^[2 : _-4^[, . ⁽

1,5 ) Exercice 6

L'angle É6e

^est un angle au centre du pentagone

régulierABCDE.

360"

-> BOC -î : ^{72". ( 1)}

L'angle ffi

^{est un angle inscrit} dans le cercle de centre O.

L'angle ÉOe

^est un angle au ceritre de ce cercle. Ces deux angles interceptent le même arc de cercle,

Propriété

:

dans

un

cercle,

si un

angle au centre et

un

angle

inscrit

interceptent

le

même arc de cercle, alors la mesure de l'angle inscrit est égale à la

moitié

de celle de I'angle au centre.

Donc Ém ry ^{-+ ÉEô T----) EB- : 36o (2)}

L'angle

rentrant ÔOE

^est un angle au centre du cercle de centre O.

Il

mesure72" x 3, soit

216o. ⁽

¹ ₎

L'angle ffi

^{est un angle inscrit dans ce} cercle. Ces deux angles interceptent le même arc de cercle.

D'après 1a même propriété, on a

: ÔDÈ ry ^--+ effi 4i

^---+

^Ôæ : _108o. (

1 )

Exercice 7

Pour trouver le nombre de coffrets à préparer,

il

faut déterminer le PGCD des nombres 120 et 144.

On utilise I'algorithme dEuclide.

144 | r20 t20 |

²⁴

24 i I t44:t20xt+24 0 l5 ^t20:24x5

Le PGCD de 120

et

144 est24 donc le vendeur va préparer 24 coffrets

. ⁽²⁾

144 24:6 et 120.24:5doncchaquecoffretcontiendra6savonnetteset5flaconsdeparfum. (1)

Exercice

I

1)

On considère le

triangleABC ; ^AB :

_6,25

_cm,AC :

₅

_{cm et BC} :

_{3,75 cm.}

On calcule les carrés des trois longueurs ^:

AR2

:

_6,252

: _{39,0625, AC'} :

₅₂

: _{25, BCz} :

_3,752

: _{14,0625 (}

_{1 )}

On remarque que 14,0625 +

25 :

_39,0625

_{-+ AB2} :

_{BC2 + AC2.}

D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle

ABC

est rectangle en

C. ⁽

¹ ₎

2)

On calcule les deux

quotients # ^et H

AMIAN55oo!-

AC 5 , AB 6,25 625 5

^ces deux quotients sont

égaux. (

1 )

Les

points

A, N, B

d'une

part

et les points

A, M, C

d'autre

part

sont alignés dans

le

même ordre.

D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (IvSD et

(BC)

sont parallèles.

(

_{1,5 )} Exercice 9

\ ^{(ax+3)'?: l6xz+24x+ 9 et} (5x-3)'z:25x2-30x+9. (1) 2) a) D : _(2x-3)' : 4x2-12x+9. ⁽

¹

₎

E : _(L\-

3)(-5"t

+2) : _{-llxz * 4x-t}

_15x

_{- 6} :

_-10x2

+

19x

- 6. ⁽

¹

₎

b) D

⁺

E : _{(2x- 3)'+}

_(2x

_{- 3)(-5x}

+

2) :

_(2x

_{- 3)[(2x-}

_{3) + (}

_{- 5x+}

_2)]

: (2x-3)(2x-3-5x+2): (2x-3)(-3r- 1). ^{( 1,5)}

3)

On sait que

.y ³

^{et que}

ÿ - *' :

^57.

Onsaitquel-f : (y+x)(y-x) etoncherche ÿ+x.

57 :3(y*r) * y+x: + _J" ^-, y+x:

^19.

La somme des deux nombres est donc

19. (2)