Centre Universitaire d´Ain Temouchent Domaine: SM
Physique 3 3
ersemestre - 2013-2014
Fiche TD 4: Mouvement Harmonique Amorti-libre / Amorti-forcé à 1-DL
Chargé du module: Demmouche & Bensaid 01.12.2013
Devoir 4: Question de cours:
1. Quel est le type d´amortissement de la suspension de la voiture ?
2. En allant de l´équation: mx¨+βx˙+kx= 0montrer que la diminution (dE) de l´energie totale du système amorti-libre est dûe au travaildWf des forces de frottement pendant undt.
3. Expliquer comment le décrément logarithmiqueδ peut être utilisé expérimentalement pour déter- miner le cofficient de frottement d´un amortisseur.
Exercice 4.1:
Le système mécanique représenté dans la figure 3 est constitué d´une masse m fixée à l´extrémité d´une tige de masse négligeable et de longueur 3a (OA = AB = Bm = a). Cette tige peut osciller sans frottement autour d´un axe fixe perpondicu- laire au plan du mouvement enO.
Deux amortisseurs de coefficient de frottementβ/2 relient le point B aux bâtis fixes. Deux ressorts identiquesk/2relient le pointAaux bâtis fixes. La position de la masse est repérée par l´angle θ. A l´équilibre la tige est en position verticale. On con- sidérera les mouvements de faibles amplitudes.
Fig.1 O
B
A θ
m
β/2 β/2
k/2 k/2
Epp= 0
Calculer:
1. L´energie cinétiqueEc.
2. L´energie potentielleEp (voir la référenceEpp = 0).
3. La fonction de dissipationD.
4. Ecrire l´équation différentielle de Lagrange pour ce système (la forme).
5. Etablir l´équation différentielle du mouvement.
6. En déduire le coefficient d´amortissementγ et la pulsation propreω0.
7. Quelle est la condition d´oscillation dans le cas d´amortissement faible (ω0> γ).
Exercice 4.2:
On considère le système ci-dessus: masse (M) - ressort (k) -amortisseur (α) . Calculer
1. L´énergie cinétiqueT et potentielle V. 2. La fonction de dissipationD
3. Donner le LagrangienLdu système.
4. Ecrire l´équation de Lagrange pour ce sys- tème (la forme).
5. Etablir l´équation différentielle du mouve- ment pour petites oscillations.
6. En déduire le coefficient d´amortissement γ, la pulsation propreω0 et la pseudo-période.
7. Calculer le décrément logarithmique.
On applique maintenant à la masse m une force extérieure horizontale (sur l´axe Ox) de la forme Fext=F0cos Ωt. oùΩest la pulsation excitatrice.
1. Reécrire la forme de l´équation de Lagrange dans ce cas.
2. Donner la forme de la réponse en régime permanent, en déduire l´amplitude en fonction deΩet le déphasage entre la réponse et a force extérieure.
3. Déterminer l´impédance d´entrée de ce système. En dèduire la pulsation de la résonance.
Exercice 4.3:
Donner l´analogie en circuits électriques des systèmes mécaniques de la figure 1 et 2, et écrire l´équation différentielle pour chaque cas.
Fig.2
00 00 00 00 00 11 11 11 11 11
00000 00000 11111 11111
00 00 00 00 00 11 11 11 11 11
00
11 00 11 00 11
00000 00000 11111 11111
Fig.1
Exercice 4.4:
On considère le système ci-dessus: masse (M) -ressort (k) -amortisseur (α) . Calculer 1. L´énergie cinétiqueT, L´énergie potentielleV et La fonction de dissipationD.
2. Etablir l´équation différentielle du mouvement.
3. Donner la forme de la solution en régime permanent.
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