EXERCICES DE VIBRATIONS
EXERCICE 8-1:
On suppose un système mécanique constitué d'une tige OA de masse négligeable, de longueur L articulée au point O; au bout A de la tige se trouve fixée une masse m. Un ressort de raideur K est fixée à la masse m. Quand la tige-masse est en position verticale, le ressort est au repos.
La position de la tige-masse est repérée par l'angle qu'elle fait avec la verticale.
Ce système est supposé conservatif,
1) Montrez que les expressions des énergies cinétique et potentielle du système sont et
2) En supposant que la rotation est petite, montrez que l'équation du mouvement de la tige- masse peut s'écrire:
3) Déterminez la pulsation propre 0 du système.
4) Déterminez la réponse L(t) du système en vibrations libres.
5) On applique une force F0.sint horizontale à la masse m. Déterminez la réponse F(t) du système en vibrations forcés.
6) Discutez du résultat en fonction des valeurs de .
EXERCICE 8-2:
Soit un demi-disque (D) de centre C de masse M, de rayon R, et d'axe de révolution . Soit T0 le repère de référence fixe et T1 le repère mobile lié à (D).
1è Partie
1) Calculez la surface de (D)
2) Précisez la position du centre de gravité G de (D), On notera .R la distance CG.
3) Calculez la matrice d'inertie de (D) au point C dans b1. Montrez que les termes E et F sont nuls.
4) En déduire la matrice d'inertie de (D) au point G dans b1. On notera:
2è Partie
Le demi-disque de (D) repose sur un plan horizontal (P) fixe.
Les paramètres de position du disque (D) sont: et
5) En admettant l'hypothèse de roulement sans glissement en I, trouvez la relation entre y et .
6) En tenant compte de la relation entre y et , calculez la vitesse absolue du point G exprimée dans la base b1.
7) Calculez en fonction de , l'énergie cinétique du disque (D) 8) Calculez en fonction de , l'énergie potentielle du disque (D) 9) Ecrire l'équation de conservation de l'énergie
10) En déduire l'équation du mouvement en , on supposera que les valeurs de restent petites.
3è Partie
On se propose de retrouver le résultat précédent en utilisant le principe fondamental de la dynamique:
11) Isolez le disque (D) et exprimez le torseur résultant des actions extérieures au point G.
12) Calculez au point G le torseur cinétique et le torseur dynamique du solide (D).
13) Ecrire les équations résultant du principe fondamental de la d ynamique.